2.3: Наслідки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64091

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Більшість теорем в математиці з'являються у вигляді складних тверджень, званих умовними і біумовними твердженнями. Ми вивчимо біумовне твердження в наступному розділі. Умовні твердження також називають наслідками.

Імплікацією є складне твердження виду «якщо$p$, то»$q$. Він позначається$p \Rightarrow q$, який читається як «$p$має на увазі»$q$. Це помилково лише тоді, коли$p$ є$q$ істинним і помилковим, і є істинним у всіх інших ситуаціях.

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	Т
F	F	Т

Твердження$p$ в імплікації$p \Rightarrow q$ називається його гіпотезою, передумовою або попередником, а також$q$ висновком або наслідком.

Наслідки приходять у багатьох замаскованих формах. Є кілька альтернатив для висловлювання$p \Rightarrow q$. Найбільш поширені з них:

$p$має на увазі$q$,
$p$тільки якщо$q$,
$q$якщо$p$,
$q$, За умови, що$p$.

Всі вони означають$p\Rightarrow q$.

Наслідки відіграють ключову роль у логічному аргументі. Якщо відомо, що імплікація є правдою, то всякий раз, коли гіпотеза виконується, наслідок також має бути вірним. Ось чому імплікацію ще називають умовним оператором.

Приклад$\PageIndex{1}\label{eg:imply-01}$

Квадратична формула стверджує, що,\[b^2-4ac>0 \quad \Rightarrow \quad ax^2+bx+c=0 \mbox{ has two distinct real solutions}.\] отже, рівняння$x^2-3x+1=0$ має два різних дійсних рішення, оскільки його коефіцієнти задовольняють нерівності$b^2-4ac>0$.

практичні вправи$\PageIndex{1}\label{he:imply-01}$

Якщо говорити загалом,

Якщо$b^2-4ac>0$, то рівняння$ax^2+bx+c=0$ має два різних дійсних рішення. Насправді$ax^2+bx+c = a(x-r_1)(x-r_2)$, де$r_1\neq r_2$ знаходяться два чітких кореня.
Якщо$b^2-4ac=0$, то рівняння$ax^2+bx+c=0$ має тільки одне реальне рішення$r$. У такому випадку,$ax^2+bx+c = a(x-r)^2$. Отже, називаємо$r$ повторний корінь.
Якщо$b^2-4ac=0$, то рівняння не$ax^2+bx+c=0$ має реального рішення.

Використовуйте ці результати, щоб визначити, скільки розв'язків мають ці рівняння:

$4x^2+12x+9=0$
$2x^2-3x-4=0$
$x^2+x=-1$

Приклад$\PageIndex{2}\label{eg:imply-02}$

Ми вже зазначали раніше, що багато теорем в математиці мають форму наслідків. Ось приклад:

Якщо$|r|<1$, то$1+r+r^2+r^3+\cdots = \text{F}rac{1}{1-r}$.
Це означає, символічно,$|r|<1 \Rightarrow 1+r+r^2+r^3+\cdots = \text{F}rac{1}{1-r}$.

практичні вправи$\PageIndex{2}\label{he:imply-02}$

Висловіть в символах наступне твердження:

Якщо$x>y>0$, то$x^2>y^2$.

Приклад$\PageIndex{3}\label{eg:imply-03}$

Якщо батько обіцяє своїм дітям: «Якщо завтра сонячно, ми підемо на пляж», діти сприймуть це як справжнє твердження. Отже, якщо вони прокинуться наступного ранку і знайдуть сонячно на вулиці, вони очікують, що підуть на пляж. Батько порушує свою обіцянку (отже, роблячи підтекст помилковим) лише тоді, коли сонячно, але він не бере своїх дітей на пляж.

Якщо на вулиці на наступний ранок хмарно, вони не знають, чи підуть вони на пляж, тому що ніякого висновку не можна зробити з підтексту (обіцянки батька), якщо погода погана. Тим не менш, вони все одно можуть піти на пляж, навіть якщо йде дощ! Оскільки їх батько не суперечить його обіцянці, підтекст все ще вірний.

Багатьох студентів турбує обгрунтованість імплікації навіть тоді, коли гіпотеза є помилковою. Це може допомогти, якщо ми зрозуміємо, як ми використовуємо імплікацію.

Рішення

Припустимо, ми хочемо показати, що$q$ певне твердження вірно.

Спочатку знаходимо результат форми$p\Rightarrow q$. Якщо ми не можемо знайти його, ми повинні довести, що$p\Rightarrow q$ це правда.
Далі покажіть, що гіпотеза$p$ виконана.
Ці два кроки разом дозволяють зробити висновок, що$q$ має бути правдою.

Отже, якщо$p$ це false, ми не очікуємо використання імплікації$p\Rightarrow q$ взагалі. Оскільки ми не збираємося його використовувати, ми можемо визначити його істинну цінність до всього, що нам подобається. Тим не менш, ми повинні підтримувати узгодженість [pg:consistence] з іншими логічними зв'язками. Ми наведемо обгрунтування нашого вибору в кінці наступного розділу.

Приклад$\PageIndex{4}\label{eg:imply-04}$

Щоб показати, що «$x=2$if, то$x^2=4$» вірно, нам не потрібно турбуватися про ті$x$ -значення, які не рівні 2, тому що підтекст відразу істинний if$x\neq 2$. Досить припустити$x=2$, що, і спробувати довести, що ми дістанемо$x^2=4$. Оскільки ми маємо$x^2=4$ коли$x=2$, обгрунтованість імплікації встановлюється.

На відміну від цього, щоб визначити, чи правда підтекст «якщо$x^2=4$, то$x=2$», ми припускаємо$x^2=4$, і спробуємо визначити, чи$x$ має бути 2. Оскільки$x = -2$ робить$x^2=4$ істинним, але$x=2$ помилковим, підтекст є помилковим.

Взагалі, щоб спростувати підтекст, досить знайти контрприклад, який робить гіпотезу правдивою, а висновок помилковим.

практичні вправи$\PageIndex{3}\label{he:imply-0}$

Визначте, чи є ці два твердження істинними чи хибними:

Якщо$(x-2)(x-3)=0$, то$x=2$.
Якщо$x=2$, то$(x-2)(x-3)=0$.

Поясніть.

Приклад$\PageIndex{5}\label{eg:imply-05}$

Хоча ми сказали приклади можуть бути використані для спростування претензії, самі приклади ніколи не можуть бути використані як докази. Якщо вас попросять показати, що

\[\mbox{if $x>2$, then $x^2>4$},\]

Ви не можете довести це, перевіривши лише кілька значень$x$, тому що ви можете знайти контрприклад, спробувавши ще кілька обчислень. Тому приклади наведені лише в ілюстративних цілях, вони не прийнятні як докази.

Приклад$\PageIndex{6}\label{eg:imply-06}$

Заява

«Якщо$PQR$ трикутник рівнобедрений, то два його кути мають рівну міру».

приймає форму імплікації$p\Rightarrow q$, де

\[\begin{array}{l@{\quad}l} p: & \mbox{The triangle $PQR$ is isosceles} \\ q: & \mbox{Two of the angles of the triangle $PQR$ have equal measure} \end{array}\]Я

У цьому прикладі ми повинні перефразувати твердження$p$ і$q$, тому що кожен з них повинен бути окремим твердженням. Якщо залишити$q$ як «два його кути мають однакову міру», незрозуміло, що «його» має на увазі. Крім того, це хороша звичка викладати деталі. Це допомагає нам зосередити нашу увагу на тому, що ми розслідуємо.

Приклад$\PageIndex{7}\label{eg:isostrig}$

Заява

«Квадрат також повинен бути паралелограмом».

може бути виражений як імплікація: «якщо чотирикутник$PQRS$ - квадрат,$PQRS$ то чотирикутник - паралелограм».

Аналогічно, заява

«Всі рівнобедрені трикутники мають два рівні кути».

можна перефразувати як «якщо трикутник$PQR$ рівнобедрений, то трикутник$PQR$ має два рівних кута». Оскільки ми висловили твердження у вигляді підтексту, нам більше не потрібно включати слово «все».

практичні вправи$\PageIndex{1}\label{he:imply-04}$

Перепишіть кожне з цих логічних тверджень:

Будь-квадрат - це теж паралелограм.
Просте число - це ціле число.
Всі многочлени диференційовні.

як підтекст$p\Rightarrow q$. Вкажіть, що$p$ і$q$ є.

Приклад$\PageIndex{8}\label{eg:imply-08}$

Що означає «$p$хіба що$q$» перекладається, логічно кажучи? Ми знаємо, що$p$ це правда, за умови, що цього$q$ не відбувається. Це означає, в символі,$\overline{q}\Rightarrow p$. Тому,

Чотирикутник не$PQRS$ є квадратом, якщо чотирикутник не$PQRS$ є паралелограмом

це те саме, що сказати

Якщо чотирикутник не$PQRS$ є паралелограмом, то чотирикутник$PQRS$ - це не квадрат.

Аналогічно, «$p$хіба$q$» означає$\overline{p}\Rightarrow q$, тому що$q$ є необхідною умовою, яка$p$ заважає цьому статися.

Враховуючи підтекст$p \Rightarrow q$, ми визначаємо три пов'язані наслідки:

Його зворотне визначається як$q \Rightarrow p$.
Його зворотна визначається як$\overline{p} \Rightarrow \overline{q}$.
Його контрапозитивний визначається як$\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$.

Серед них найбільш важливим$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ є контрапозитив. Вивчимо його ще раз в наступному розділі.

Приклад$\PageIndex{9}\label{eg:imply-09}$

Зворотний, зворотний і контрапозитивний «$x>2\Rightarrow x^2>4$» перераховані нижче. \[% \arraygap{1.25} \begin{array}{l@{\quad}rcl} \mbox{converse:} & x^2>4 &\Rightarrow& x>2, \\ \mbox{inverse:} & x\leq2 &\Rightarrow& x^2\leq4, \\ \mbox{contrapositive:}& x^2\leq4 &\Rightarrow& x\leq2. \end{array}\]Ми можемо змінити позначення, коли ми заперечуємо твердження. Якщо це доречно, ми можемо навіть перефразувати речення, щоб зробити заперечення більш читабельним.

Приклад$\PageIndex{5}\label{he:imply-05}$

Перерахуйте зворотне, зворотне та контрапозитивне твердження «якщо$p$ просте,$\sqrt{p}$ то ірраціональне».

Зворотне значення імплікації рідко використовується в математиці, тому ми будемо вивчати лише істинні значення зворотного та контрапозитивного.

\[\begin{array}{|*{7}{c|}} \hline p & q & p\Rightarrow q & q\Rightarrow p & \overline{q} & \overline{p} & \overline{q}\Rightarrow\overline{p} \\ \hline \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{F} & \text{T} \\ \text{T} & \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{T} \\ \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline \end{array}\]

Імплікація та його контрапозитив завжди мають однакову істинну цінність, але це не вірно для зворотного. Що це означає, хоча ми знаємо, що$p\Rightarrow q$ це правда, немає жодної гарантії, що$q\Rightarrow p$ це також правда. Це важливе спостереження, особливо коли у нас є теорема, викладена у вигляді імплікації. Отже, скажемо ще раз:

\[\fbox{The converse of a theorem in the form of an implication may not be true.}\]

Відповідно, якщо ви тільки знаєте, що$p\Rightarrow q$ це правда, не думайте, що його$q\Rightarrow p$ зворотність також вірна. Так само, якщо вас попросять довести, що$p\Rightarrow q$ це правда, не намагайтеся довести$q\Rightarrow p$, оскільки ці два наслідки не однакові.

Приклад$\PageIndex{10}\label{eg:imply-provingID}$

Ми знаємо, що це$p\Rightarrow q$ не обов'язково означає, що ми також маємо$q\Rightarrow p$. Це важливе спостереження пояснює недійсність «доказу»$21=6$ у прикладі [наприклад: wrongpf2].

\ [\ почати {екнаррай*}
21 &= & 6\\
6 &=21\\
27 &= & 27
\ кінець {екнаррай*}\]

Аргумент, який ми використовуємо тут, складається з трьох рівнянь, але вони не є окремими непов'язаними рівняннями. Вони пов'язані імплікацією.

\ [\ begin {еканаррей*}
\ фантом {\ Rightarrow\ qquad} 21 &=& 6
\\\\ Rightarrow\ quad\ фантом {2} 6 &= & 21
\\\\ Raquad 27 &= & 27
\ end {еканаррей*}\]

Оскільки наслідки не є оборотними, хоча ми і маємо$27=27$, ми не можемо використовувати цей факт, щоб довести це$21=6$. Зрештою, імплікація вірна, якщо його гіпотеза хибна. Тому наявність справжнього підтексту не означає, що його гіпотеза повинна бути правдою. У цьому прикладі логіка звукова, але це не доводить цього$21=6$.

Є ще два способи описати імплікацію$p\Rightarrow q$ словами. Вони абсолютно відрізняються від тих, які ми бачили до цього часу. Вони зосереджуються на тому, чи можемо ми сказати одну з двох складових$p$ і$q$ є істинною чи помилковою, якщо ми знаємо істинну цінність іншого.

$p$є достатньою умовою для$q$
$q$є необхідною умовою для$p$.

Їх важко запам'ятати, і їх можна легко сплутати. Можливо, ви захочете візуалізувати його наочно:

\ [\ fbox {$\ mbox {достатня умова}\ Стрілка вправо
\ mbox {необхідна умова} $.}\]

Ідея полягає в тому, якщо припустити, що$p\Rightarrow q$ це правда, то

Для$q$ того, щоб бути правдою, достатньо знати або показати, що$p$ це правда. Отже, знання$p$ є істинним, достатньо для нас, щоб зробити висновок, що також$q$ має бути правдою.
$p$Для того, щоб бути правдою, необхідно також$q$ бути правдою. Таким чином, знання$q$ є істинним не обов'язково означає, що$p$ має бути правдою.

Приклад$\PageIndex{11}\label{eg:imply-11}$

Розглянемо підтекст\[x=1 \Rightarrow x^2=1.\] Якщо$x=1$, ми повинні мати$x^2=1$. Отже, знання$x=1$ достатньо для того, щоб зробити висновок про це$x^2=1$. Ми говоримо, що$x=1$ є достатньою умовою для$x^2=1$.

Якщо$x=1$, це обов'язково так$x^2=1$, тому що, наприклад, неможливо мати$x^2=2$. Тим не менш, знання$x^2=1$ одного недостатньо для нас, щоб вирішити$x=1$, тому що$x$ може бути$-1$. Тому не$x^2=1$ є достатньою умовою для$x=1$. Замість цього$x^2=1$ є лише необхідною умовою для$x=1$.

практичні вправи$\PageIndex{6}\label{he:imply-06}$

Напишіть такі заяви:

$x^2>1$Для цього достатньо$x>1$.
Для$x^2>1$, це необхідно, що$x>1$.

у вигляді$p\Rightarrow q$. Обов'язково уточніть, що$p$ і$q$ є.

Резюме та огляд

Підкреслення$p\Rightarrow q$ є помилковим лише тоді, коли$p$ є$q$ істинним і помилковим.
Ось як ми зазвичай використовуємо імплікацію. Припустимо, ми хочемо показати, що$q$ це правда. Ми повинні знайти або довести теорему, яка говорить$p\Rightarrow q$. Далі нам потрібно показати, що гіпотеза$p$ виконана, звідси випливає, що$q$ має бути правдою.
Імплікація може бути описана кількома іншими способами. Чи можете ви назвати декілька з них?
Конверс, зворотний і контрапозитивний отримують з імплікації шляхом перемикання гіпотези та слідства, іноді разом із запереченням.
У$p\Rightarrow q$ підтексті компонент$p$ називається достатньою умовою, а компонент$q$ - необхідною умовою.

Вправа$\PageIndex{1}\label{ex:imply-01}$

Дозволяти$p$$q$, і$r$ представляють такі твердження:

$p$:	Вчора ввечері Сем мав піцу.
$q$:	Кріс закінчив домашнє завдання.
$r$:	Пет дивився новини сьогодні вранці.

Дайте формулу (використовуючи відповідні символи) для кожного з цих тверджень:

Якби Сем мав піцу минулої ночі, то Кріс закінчив домашнє завдання.
Пет дивився новини сьогодні вранці, тільки якщо Сем мав піцу минулої ночі.
Кріс закінчив домашнє завдання, якщо у Сем не було піци минулої ночі.
Це не так, якщо Сем мав піцу вчора ввечері, то Пет дивився новини сьогодні вранці.
Сем не мав піци минулої ночі, і Кріс закінчив домашнє завдання означає, що Пет дивився новини сьогодні вранці.

Вправа$\PageIndex{2}\label{ex:imply-02}$

Визначте пропозиційні змінні, як у задачі 1. Висловлюйте словами висловлювання, представлені наступними формулами.

$q\Rightarrow r$
$p\Rightarrow(q\wedge r)$
$\overline{p}\Rightarrow (q\vee r)$
$r\Rightarrow(p\vee q)$

Вправа$\PageIndex{3}\label{ex:imply-03}$

Розглянемо наступні твердження:

$p$:	Ніагара-Фолс знаходиться в Нью-Йорку.
$q$:	Нью-Йорк — столиця штату Нью-Йорк.
$r$:	У Нью-Йорку буде більше 40 дюймів снігу в 2525.

Твердження$p$ вірне, а твердження$q$ помилкове. Представляємо кожне з наступних тверджень за формулою. Яка їхня істинна цінність$r$, якщо це правда? Що робити$r$, якщо помилково?

Якщо Ніагарський водоспад знаходиться в Нью-Йорку, то Нью-Йорк - столиця штату Нью-Йорк.
Ніагарський водоспад знаходиться в Нью-Йорку тільки в тому випадку, якщо в Нью-Йорку буде більше 40 дюймів снігу в 2525.
Ніагарський водоспад знаходиться в Нью-Йорку або Нью-Йорку є столицею штату Нью-Йорк означає, що Нью-Йорк матиме більше 40 дюймів снігу в 2525.
Щоб Нью-Йорк був столицею штату Нью-Йорк, необхідно, щоб у Нью-Йорку було більше 40 дюймів снігу в 2525.e
Щоб Ніагарський водоспад був у Нью-Йорку, достатньо, щоб у Нью-Йорку було більше 40 дюймів снігу в 2525.

Вправа$\PageIndex{4}\label{ex:imply-04}$

Висловіть символічно кожне з наступних складених тверджень:

Якщо$ABC$ трикутник рівносторонній, то він рівнобедрений.
Якщо$\sqrt{47089}$ більше 200 і$\sqrt{47089}$ є цілим числом, то$\sqrt{47089}$ є простим.
Якщо$\sqrt{47089}$ більше 200, то, якщо$\sqrt{47089}$ просте, воно більше 210.
Лінія$L_1$ перпендикулярна лінії$L_2$ і лінія$L_2$ паралельна лінії має на$L_3$ увазі те, що$L_1$ перпендикулярно до$L_3$.
Якщо$x^3-3x^2+x-3=0$, то або$x$ позитивний, або$x$ негативний або$x=0$.

Вправа$\PageIndex{5}\label{ex:imply-05}$

Висловіть кожне з наступних складених тверджень в символах.

$x^3-3x^2+x-3=0$тільки якщо$x=3$.
Необхідною умовою для$x^3-3x^2+x-3=0$ є$x=3$.
Достатня умова для$x^3-3x^2+x-3=0$ є$x=3$.
Якщо$e^\pi$ є дійсним числом, то$e^\pi$ є або раціональним, або ірраціональним.
Всі гравці НФЛ величезні.

Вправа$\PageIndex{6}\label{ex:imply-06}$

Знайдіть зворотне, зворотне та контрапозитивне наступне:

Якщо чотирикутник$ABCD$ - прямокутник, то$ABCD$ це паралелограм.

Вправа$\PageIndex{7}\label{ex:imply-07}$

Побудувати таблиці істинності для наступних виразів:

$(p\wedge q)\vee r$
$(p\vee q)\Rightarrow (p\wedge r)$

Підказка

Щоб допомогти вам розпочати роботу, заповніть пропуски.]

(а)$\setlength{\arraycolsep}{3pt} \begin{array}[t]{|*{5}{c|}} \noalign{\vskip-9pt}\hline p & q & r & p\wedge q & (p\wedge q)\vee r \\ \hline \text{T} &\text{T} &\text{T} && \\ \text{T} &\text{T} &\text{F} && \\ \text{T} &\text{F} &\text{T} && \\ \text{T} &\text{F} &\text{F} && \\ \text{F} &\text{T} &\text{T} && \\ \text{F} &\text{T} &\text{F} && \\ \text{F} &\text{F} &\text{T} && \\ \text{F} &\text{F} &\text{F} && \\ \hline \end{array}$ (б)$\begin{array}[t]{|c|c|c|c|c|c|} \noalign{\vskip-9pt}\hline p & q & r & p\vee q & p\wedge r & (p\vee q)\Rightarrow(p\wedge r) \\ \hline \text{T} &\text{T} &\text{T} &&& \\ \text{T} &\text{T} &\text{F} &&& \\ \text{T} &\text{F} &\text{T} &&& \\ \text{T} &\text{F} &\text{F} &&& \\ \text{F} &\text{T} &\text{T} &&& \\ \text{F} &\text{T} &\text{F} &&& \\ \text{F} &\text{F} &\text{T} &&& \\ \text{F} &\text{F} &\text{F} &&& \\ \hline \end{array}$

Вправа$\PageIndex{8}\label{ex:imply-08}$

Побудувати таблиці істинності для наступних виразів:

$(p\Rightarrow q) \vee (\overline{p}\Rightarrow q)$
$(p\Rightarrow q) \wedge (\overline{p}\Rightarrow q)$

Вправа$\PageIndex{9}\label{ex:imply-09}$

Визначте (ви можете використовувати таблицю істинності) значення істинності$p$ якщо

$(p\wedge q)\Rightarrow (q\vee r)$є помилковим
$(q\wedge r)\Rightarrow (p\wedge q)$є помилковим

Вправа$\PageIndex{10}\label{ex:imply-10}$

Припустімо$p\Rightarrow q$, що це правда.

Якщо$p$ це правда, має$q$ бути правдою? Поясніть.
Якщо$p$ помилково, має$q$ бути істинним? Поясніть.
Якщо$q$ істинно, має$p$ бути помилковим? Поясніть.
Якщо$q$ якщо false, має$p$ бути помилковим? Поясніть.

\(p\):	Вчора ввечері Сем мав піцу.
\(q\):	Кріс закінчив домашнє завдання.
\(r\):	Пет дивився новини сьогодні вранці.

\(p\)	\(q\)	\(p \Rightarrow q\)
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	Т
F	F	Т