2.2: Сполучники та диз'юнкції
- Page ID
- 64100
Задано два дійсних числа\(x\) і\(y\), ми можемо сформувати нове число за допомогою додавання, віднімання, множення або ділення, позначеного\(x+y\),\(x-y\),\(x\cdot y\), і\(x/y\), відповідно. Символи\(+\),,\(-\)\(\cdot\), і\(/\) є бінарними операторами, оскільки всі вони працюють на двох операндах. Насправді негативний знак в\(-x\) можна розглядати як унарний оператор, який змінює знак\(x\).
Аналогічним чином з одного або декількох логічних тверджень ми можемо сформувати складний оператор, об'єднавши їх з логічними операторами, які також називаються логічними зв'язками, оскільки вони використовуються для з'єднання логічних операторів. Очевидно, що заперечення - це унарна операція.
Оскільки складний оператор сам по собі є твердженням, він або істинний, або хибний. Тому ми визначаємо логічну операцію, описуючи значення істинності отриманого складного оператора. Перші дві бінарні операції ми вивчимо - це кон'юнкція та диз'юнкція. Вони виконують операції «і» і «або» відповідно.
| найменування | значення | позначення | істина цінність |
|---|---|---|---|
| сполучник | \(p\)і\(q\) | \(p \wedge q\) | true якщо обидва\(p\) і\(q\) є істинними, false інакше |
| диз'юнкція | \(p\)або\(q\) | \(p \vee q\) | false якщо обидва\(p\) і\(q\) є помилковими, true інакше |
Їх значення істинності зведені в наступній таблиці істинності:
| \(p\) | \(q\) | \(p\wedge q\) | \(p\vee q\) |
|---|---|---|---|
| \ (p\)» style="вирівнювання тексту: центр;» Клас = "LT-математика-8387">T | \ (q\)» style="вирівнювання тексту: центр;» Клас = "LT-математика-8387">T | \ (p\ клин q\)» style="вирівнювання тексту: центр;» Клас = "LT-математика-8387">Т | \ (p\ vee q\)» style="вирівнювання тексту: центр;» Клас = "LT-математика-8387">T |
| \ (p\)» style="вирівнювання тексту: центр;» Клас = "LT-математика-8387">T | \ (q\)» style="вирівнювання тексту: центр;» Клас = "LT-математика-8387">F | \ (p\ клин q\)» style="вирівнювання тексту: центр;» Клас = "LT-математика-8387">F | \ (p\ vee q\)» style="вирівнювання тексту: центр;» Клас = "LT-математика-8387">T |
| \ (p\)» style="вирівнювання тексту: центр;» Клас = "LT-математика-8387">F | \ (q\)» style="вирівнювання тексту: центр;» Клас = "LT-математика-8387">T | \ (p\ клин q\)» style="вирівнювання тексту: центр;» Клас = "LT-математика-8387">F | \ (p\ vee q\)» style="вирівнювання тексту: центр;» Клас = "LT-математика-8387">T |
| \ (p\)» style="вирівнювання тексту: центр;» Клас = "LT-математика-8387">F | \ (q\)» style="вирівнювання тексту: центр;» Клас = "LT-математика-8387">F | \ (p\ клин q\)» style="вирівнювання тексту: центр;» Клас = "LT-математика-8387">F | \ (p\ vee q\)» style="вирівнювання тексту: центр;» Клас = "LT-математика-8387">F |
Приклад\(\PageIndex{1} \label{eg:conjdisj-01}\)
Не використовуйте математичні позначення в якості абревіатури в письмовій формі. Наприклад, не пишіть «\(x \wedge y\)є дійсними числами», якщо ви хочете сказати «\(x\)і\(y\) є дійсними числами».
Насправді фраза «\(x \wedge y\)є дійсними числами» синтаксично некоректна. Оскільки\(\wedge\) є двійковим логічним оператором, він використовується для з'єднання двох логічних операторів. Тут «\(x\)» перед цим не\(\wedge\) є логічним твердженням. Тому ми не можемо написати «\(x \wedge y\)є дійсними числами».
До речі, твердження «\(x\)і\(y\) є дійсними числами» насправді є сполучником. Це означає «\(x\)є дійсним числом і\(y\) є дійсним числом», або\[(x\in\mathbb{R}) \wedge (y\in\mathbb{R}).\] символічно, неправильно писати «»\(x\wedge y\in\mathbb{R}\). Чи можете ви пояснити чому?
практичні вправи\(\PageIndex{1} \label{he:conjdisj-01}\)
Пишіть «\(x\)і\(y\) є раціональними» як сполучник, спочатку в словах, потім в математичних символах.
Приклад\(\PageIndex{2} \label{eg:conjdisj-02}\)
Заява «Нью-Йорк - найбільша держава в США, а Нью-Йорк - столиця штату Нью-Йорк» явно є зв'язком. Сполучення двох тверджень вірно лише тоді, коли обидва твердження вірні. Оскільки Нью-Йорк не є найбільшою державою в США, зв'язок помилковий.
Загалом, у поєднанні двох тверджень, якщо перше твердження є помилковим, подальший розгляд другого твердження не потрібно, оскільки ми знаємо, що сполучник повинен бути помилковим. В інформатиці це називається оцінкою короткого замикання.
Приклад\(\PageIndex{3} \label{eg:conjdisj-03}\)
Твердження «\(\sqrt{30}\)більше 6 або\(\sqrt{30}\) менше 5» може бути виражено символічно, оскільки\[\big(\sqrt{30}>6\big) \vee \big(\sqrt{30}<5\big).\] Обидва твердження «\(\sqrt{30}>6\)» і «\(\sqrt{30}<5\)» є помилковими. Значить, їх диз'юнкція також помилкова.
Приклад\(\PageIndex{4} \label{eg:conjdisj-04}\)
Визначити значення істинності можна за наступними твердженнями:
- \(\big(\sqrt{30}>5\big) \wedge \big(\sqrt{30}>7\big)\)
- Або\(\big(\sqrt{30}<5\big)\) або\(\big(\sqrt{30}>7\big)\)
- Рішення
-
(а) Оскільки\(\sqrt{30}>5\) є істинним, але\(\sqrt{30}>7\) помилковим, їх сполучення є помилковим.
(б) Оскільки\(\sqrt{30}<5\) є помилковим, а\(\sqrt{30}>7\) також помилковим, їх диз'юнкція є помилковою.
практичні вправи\(\PageIndex{2} \label{he:conjdisj-02}\)
Визначити значення істинності можна за наступними твердженнями:
- \(\big(\sqrt{30}<5\big)\)і\(\big(\sqrt{30}>7\big)\).
- \(\big(\sqrt{30}>5\big) \vee \big(\sqrt{30}<7\big)\).
Обов'язково показуйте свої причини.
приклад\(\PageIndex{5} \label{eg:twoleg}\)
Що насправді означає «\(0 \leq x \leq 1\)», логічно?
- Рішення
-
Воно означає сполучник «»\((0 \leq x) \wedge (x \leq 1)\). Отже, задано дійсне число\(x\), щоб перевірити чи\(0\leq x\leq 1\), ми повинні перевірити, чи є\(0\leq x\) і\(x\leq 1\).
практичні вправи\(\PageIndex{3} \label{he:conjdisj-03}\)
Пишіть\(5<x<8\) як сполучник.
практичні вправи\(\PageIndex{4} \label{he:conjdisj-04}\)
Багато студентів припускають, що вони можуть звести нанівець «\(0 \leq x \leq 1\)», змінюючи знаки. Однак ні «\(0\geq x\geq 1\)», ні «\(0 > x > 1\)» не є правильним запереченням. Наприклад, що насправді означає «\(0\geq x\geq 1\)»? Власне, твердження «\(0\geq x\geq 1\)» синтаксично коректно, і воно завжди помилкове. Чи можете ви пояснити чому?
У повсякденному використанні більшості мов, коли ми говоримо «\(p\)або»\(q\), ми зазвичай маємо на увазі виключне або, що означає\(p\) або\(q\) є істинним, але не обидва. Прикладом є «Я або проходжу, або провалюю цей курс», що насправді означає
Або я проходжу цей курс, або я провалююся цей курс.
Іноді, як проілюстровано в заяві
Або ви проходите цей курс, або я проходжу цей курс.
сполучна «або» може трактуватися як інклюзивне або. Фактичне значення «або» в людських мовах залежить від контексту. У математиці, однак, «або» завжди означає інклюзивне або.
Резюме та огляд
- Поєднання «\(p\)і\(q\)» позначається «\(p\wedge q\)». Це вірно лише тоді, коли обидва\(p\) і\(q\) є правдою.
- \(p\)Диз'юнкція «або\(q\)» позначається «\(p\vee q\)». Це помилково лише тоді, коли обидва\(p\) і\(q\) є помилковими.
- Нерівність «\(a<x<b\)» насправді є сполучником, воно означає «\((a<x) \wedge (x<b)\)».
- Так само словосполучення «\(x\)і\(y\) є раціональними» також є сполучником, воно означає «\(x\)раціональний і\(y\) раціональний». Символічно, ми можемо писати»\(x\in\mathbb{Q} \wedge y\in\mathbb{Q}\).
Вправа\(\PageIndex{1} \label{ex:conjdisj-01}\)
Дозволяти\(p\)\(q\), і\(r\) представляють такі твердження:
| \(p\): | Вчора ввечері Сем мав піцу. |
| \(q\): | Кріс закінчив домашнє завдання. |
| \(r\): | Пет дивився новини сьогодні вранці. |
Дайте формулу (використовуючи відповідні символи) для кожного з цих тверджень:
- Вчора ввечері Сем мав піцу, а Кріс закінчив домашнє завдання.
- Кріс не закінчив домашнє завдання, і Пет дивився новини сьогодні вранці.
- Вчора ввечері у Сем не було піци або Кріс не закінчив домашнє завдання.
- Або Кріс закінчив домашнє завдання, або Пет дивився новини сьогодні вранці, але не обидва.
Вправа\(\PageIndex{2} \label{ex:conjdisj-02}\)
Визначте пропозиційні змінні\(p\)\(q\), і\(r\) як у задачі 1. Висловлюйте, словами, висловлювання, представлені наступними формулами:
- \(p\vee q\)
- \(q\wedge r\)
- \((p\wedge q)\vee r\)
- \(\overline{p}\vee r\)
Вправа\(\PageIndex{3} \label{ex:conjdisj-03}\)
Розглянемо наступні твердження:
| \(p\): | Ніагара-Фолс знаходиться в Нью-Йорку. |
| \(q\): | Нью-Йорк — столиця штату Нью-Йорк. |
| \(r\): | У Нью-Йорку буде більше 40 дюймів снігу в 2525. |
Твердження\(p\) вірне, але твердження\(q\) помилкове. Представляємо кожне з наступних тверджень за формулою. Які їхні істинні цінності\(r\), якщо це правда? Що робити\(r\), якщо помилково?
- Ніагарський водоспад знаходиться в Нью-Йорку, а Нью-Йорк - столиця штату Нью-Йорк.
- Ніагарський водоспад знаходиться в Нью-Йорку або Нью-Йорк є столицею штату Нью-Йорк.
- Або Ніагарський водоспад знаходиться в Нью-Йорку, а Нью-Йорк - столиця штату Нью-Йорк, або Нью-Йорк матиме більше 40 дюймів снігу в 2525 році.
- Нью-Йорк не є столицею штату Нью-Йорк і Нью-Йорк матиме більше 40 дюймів снігу в 2525.
Вправа\(\PageIndex{4} \label{ex:conjdisj-04}\)
Визначте істинні значення цих тверджень:
(а)\((0\in\mathbb{Q}) \wedge (-4\in\mathbb{Z})\)
(б)\((-4\in\mathbb{N}) \vee (3\in2\mathbb{Z})\)
Вправа\(\PageIndex{5} \label{ex:conjdisj-05}\)
Визначте істинні значення цих тверджень:
(а)\((-3>-2) \wedge (\sqrt{3}>2)\)
(б)\((4^2-5^2\leq0) \vee (\sqrt{3^2+4^2}=3+4)\)
Вправа\(\PageIndex{6} \label{ex:conjdisj-06}\)
Побудувати таблиці істинності для наступних формул:
(а)\(p\wedge\overline{q}\)
(б)\(\overline{p}\vee q\)
(c)\(\overline{p\wedge q}\)
Вправа\(\PageIndex{7} \label{ex:conjdisj-07}\)
Перепишіть такі вирази як кон'юнкцію:
(а)\(4\leq x\leq 7\)
(б)\(4 < x\leq 7\)
(c)\(4\leq x < 7\)
Вправа\(\PageIndex{8} \label{ex:conjdisj-08}\)
У словах нерівність\(0<x<1\) означає «\(x\)знаходиться між 0 і 1». Його заперечення означає\(x\) знаходиться поза цим діапазоном. Значить, заперечення - «\(x\leq 0\)або»\(x\geq1\). Знайдіть заперечення наступних нерівностей:
(а)\(0\leq x\leq 4\)
(б)\(-2 < x\leq 5\)
(c)\(1.76\leq x<\sqrt{5}\)
Вправа\(\PageIndex{9} \label{ex:conjdisj-09}\)
У волейболі важливо знати, яка команда обслуговує, тому що команда забиває очко, тільки якщо ця команда подає і виграє залп. Якщо подаюча команда втрачає залп, то інша команда отримує подачу. Таким чином, щоб зберегти рахунок у волейбольній грі між командами\(A\) і\(B\), може бути корисно визначити пропозиції змінні\(p\) і\(q\), де\(p\) вірно, якщо команда\(A\) подає (отже, false, якщо команда\(B\) подає); і\(q\) вірно, якщо команда\(A\) виграє поточний залп (отже, false, якщо команда\(B\) виграє його).
- Дайте формулу, яка є істинною, якщо команда\(A\) набирає очко і є помилковою в іншому випадку.
- Дайте формулу, яка є істинною, якщо команда\(B\) набирає очко і є помилковою в іншому випадку.
- Дайте формулу, яка є істинною, якщо обслуговуюча команда втрачає поточний залп і є помилковою в іншому випадку.
- Дайте формулу, значення істинності якої визначає, чи буде обслуговуюча команда знову служити.
Вправа\(\PageIndex{10} \label{ex:conjdisj-10}\)
Виключна або операція, що позначається\(p\veebar q\), означає «\(p\)або\(q\), але не обидва».
\(p\veebar q\)Висловіть як логічне твердження.
Побудувати таблицю істинності для\(p\veebar q\).