2.1: Пропозиції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64097

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Правила логіки дозволяють розрізняти вагомі і недійсні аргументи. Крім математики, логіка має численні застосування в інформатиці, включаючи проектування комп'ютерних схем і побудова комп'ютерних програм. Щоб проаналізувати, чи є певний аргумент дійсним, спочатку витягуємо його синтаксис.

Приклад$\PageIndex{1}\label{eg:prop-01}$

Ці два аргументи:

Якщо$x+1=5$, то$x=4$. Тому якщо$x\neq4$, то$x+1\neq5$.
Якщо я дивлюся футбол у понеділок ввечері, то я пропущу наступний вівторок 8 ранку клас. Тому, якщо я не пропущу свій клас у вівторок 8 ранку, то я не дивився футбол попереднього понеділка ввечері.

використовувати той самий формат:

Якщо р, то q Тому якщо$q$ є помилковим, то$p$ є помилковим.

Якщо ми можемо встановити обґрунтованість цього типу аргументів, то ми відразу довели, що обидва аргументи є законними. Насправді ми також довели, що будь-який аргумент, який використовує той самий формат, також заслуговує довіри.

практичні вправи$\PageIndex{1}\label{he:prop-01}$

Чи можете ви навести інший аргумент, який використовує той самий формат в останньому прикладі?

У математиці нас цікавлять твердження, які можна довести або спростувати. Ми визначаємо пропозицію (іноді її називають твердженням, або твердженням) як речення, яке є істинним або хибним, але не обидва.

Приклад$\PageIndex{2}\label{eg:prop-02}$

Наступні речення:

Барак Обама - президент Сполучених Штатів.
$2+3=6$.

є пропозиціями, тому що кожне з них є або істинним, або хибним (але не обидва).

Приклад$\PageIndex{3}\label{eg:prop-03}$

Ці два речення:

Ой!
О котрій година?

не є пропозиціями, тому що вони нічого не проголошують; вони є вигуком і питанням відповідно.

Приклад$\PageIndex{4}\label{eg:prop-04}$

Поясніть, чому наступні речення не є пропозиціями:

$x+1 = 2$.
$x-y = y-x$.
$A^2 = 0$має на увазі$A = 0$.

Рішення

Це рівняння не є твердженням, тому що ми не можемо сказати, чи є воно істинним чи хибним, якщо ми не знаємо значення$x$. Це правда, коли$x=1$; це помилково для інших$x$ -значень. Оскільки речення іноді є істинним, а іноді помилковим, воно не може бути твердженням.
З тієї ж причини, оскільки іноді$x-y=y-x$ є істинним, а іноді помилковим, це не може бути твердженням.
Це виглядає як твердження, тому що це здається правдою весь час. Тим не менш, це не твердження, тому що ми ніколи не говоримо, що$A$ являє собою. Твердження є істинним, якщо$A$ є дійсним числом, але воно не завжди вірно, якщо$A$ це матриця ¹. Таким чином, це не пропозиція.

практичні вправи$\PageIndex{2}\label{he:prop-02}$

Поясніть, чому ці речення не є пропозиціями:

Він є захисником нашої футбольної команди.
$x+y=17$.
$AB=BA$.

Приклад$\PageIndex{5}\label{eg:prop-05}$

Хоча речення «$x+1=2$» не є твердженням, ми можемо змінити його на твердження, додавши деяку умову на$x$. Наприклад, наступне є істинним твердженням:

Для деякого реального числа$x$, у нас є$x+1=2$.

і заяву

Для всіх дійсних$x$ чисел ми маємо$x+1=2$.

є помилковим. Частини цих двох тверджень, які говорять «для деякого дійсного числа$x$» і «для всіх дійсних чисел$x$», називаються квантифікаторами. Вивчимо їх в Розділі 6.

Приклад$\PageIndex{6}\label{eg:prop-06$

Говорячи, що

«Заява не є пропозицією, якщо ми не можемо вирішити, чи є воно істинним чи хибним».

відрізняється від того, щоб сказати, що

«Заява не є пропозицією, якщо ми не знаємо,
як перевірити, чи є воно істинним чи хибним».

Більш важливим питанням є те, чи можна визначити істинну цінність висловлювання в теорії. Розглянемо речення

Кожне парне число більше 2 можна записати як суму двох простих чисел.

Ніхто ніколи не доводив і не спростовував це твердження, тому ми не знаємо, чи це правда чи помилково, хоча обчислювальні дані свідчать про те, що це правда. Тим не менш, це пропозиція, оскільки вона або істинна, або хибна, але не обидва. Неможливо, щоб це речення було істинним іноді, а помилковим в інший час. З розвитком математики хтось зможе або довести, або спростувати це в майбутньому. Наведений вище приклад - знаменита гіпотеза Гольдбаха, яка датується 1742 роком.

Ми зазвичай використовуємо малі$q$ літери$p$, і$r$ для представлення пропозицій. Це можна порівняти як з використанням змінних$x$, так$y$ і$z$ для позначення дійсних чисел. Оскільки істинні значення$p$$q$, і$r$ змінюються, вони називаються пропозиційними змінними. Пропозиція має лише два можливих значення: воно або істинне, або хибне. Ми часто скорочуємо ці значення як T і F відповідно.

З огляду на пропозицію$p$, ми формуємо іншу пропозицію, змінюючи його істинну цінність. Результат називається запереченням$p$, і позначається$\neg p$ або$\altneg p$, обидва з яких вимовляються як «не»$p$. Схожість між позначеннями$\neg p$ і$-x$ очевидна.

Ми також можемо написати заперечення$p$ as$\overline{p}$, яке вимовляється як «$p$бар». Істинна$\overline{p}$ цінність протилежна цінності$p$. Отже, якщо$p$ є істинним, то$\overline{p}$ буде помилковим; і якщо$p$ є помилковим, то$\overline{p}$ буде істинним. Ми підсумовуємо ці результати в таблиці істинності:

$p$	$\overline{p}$
Т	F
F	Т

Приклад$\PageIndex{7}\label{eg:prop-07}$

Знайдіть заперечення наступних тверджень:

Джордж Буш-молодший є президентом Сполучених Штатів.
Неправда, що Нью-Йорк - найбільший штат США.
$x$це реальне число таке, що$x=4$.
$x$це реальне число таке, що$x<4$.

При необхідності ви можете перефразувати заперечені твердження та змінити математичне позначення на більш відповідне.

Відповідь

Джордж Буш-молодший не є президентом Сполучених Штатів.
Це правда, що Нью-Йорк - найбільший штат США.
Фраза «$x$є дійсним числом» описує, які види чисел ми розглядаємо. Основна частина пропозиції - це проголошення, що$x=4$. Значить, нам потрібно лише звести нанівець «$x=4$». Відповідь така:\[\mbox{$x$ is a real number such that $x\neq4$}.\]
$x$це реальне число таке, що$x\geq4$.

практичні вправи$\PageIndex{3}\label{he:prop-03}$

$x$є цілим числом більше 7. 0.4in
Ми можемо множити 144 у добуток простих чисел. 0.4in
Число 64 - ідеальний квадрат.

Оскільки ми будемо вивчати цифри протягом усього цього курсу, зручно вводити деякі позначення, щоб полегшити нашу дискусію. Нехай

\[\begin{aligned} \mathbb{N} &=& \mbox{the set of natural numbers (positive integers),} \\ \mathbb{Z} &=& \mbox{the set of integers,} \\ \mathbb{R} &=& \mbox{the set of real numbers, and} \\ \mathbb{Q} &=& \mbox{the set of rational numbers.} \end{aligned}\]

Нагадаємо, що раціональне число - це число, яке можна виразити у вигляді співвідношення двох цілих чисел. Отже, раціональне число може бути записано як$\frac{m}{n}$ для деяких цілих чисел так$m$ і$n$, де$n\neq0$. Якщо ви використовуєте текстовий процесор і не можете знайти, наприклад, символ$\mathbb{N}$, ви можете використовувати жирне обличчя N як заміну.

Зазвичай ми використовуємо великі літери, такі як$A$$B$,$C$,$S$ і$T$ для представлення множин, і позначаємо їх елементи відповідними малими літерами$a$$b$,$c$,$s$, і$t$, відповідно. Щоб вказати, що$b$ є елементом$B$ множини, приймаємо позначення

\[b \in B \qquad\mbox{[pronounced as ``$b$ belongs to $B$'']}.\]

Іноді ми також використовуємо позначення

\[B \ni b \qquad\mbox{[pronounced as ``$B$ contains $b$'']}.\]

Отже, кажучи$x\in\R$ - це ще один спосіб сказати$x$ - це реальне число.

Позначимо безліч позитивних дійсних чисел, набір від'ємних дійсних чисел і безліч ненульових дійсних чисел, вставивши відповідний знак у верхній індекс:

\[\begin{aligned} \mathbb{R}^+ &=& \mbox{the set of all positive real numbers}, \\ \mathbb{R}^- &=& \mbox{the set of all negative real numbers}, \\ \mathbb{R}^* &=& \mbox{the set of all nonzero real numbers}. \end{aligned}\]

Ця ж конвенція застосовується$\mathbb{Z}$ і до і$\mathbb{Q}$. Зверніть увагу, що$\mathbb{Z}^+$ таке ж, як$\N$.

Крім того, якщо$S$ це набір чисел, і$k$ це число, ми іноді використовуємо позначення$kS$ для позначення набору чисел, отриманих множенням$k$ на кожне число в$S$.

Приклад$\PageIndex{8}\label{eg:kS}$

Позначення$2\Z$ позначають множину всіх парних цілих чисел. Зверніть увагу, що парне число може бути додатним, від'ємним або навіть нулем.

Резюме та огляд

Пропозиція (твердження або твердження) - це речення, яке завжди є істинним або завжди хибним.
$p$Позначається заперечення твердження$\neg p$,$\altneg p$, або$\overline{p}$.
Ми можемо описати ефект логічної операції шляхом відображення таблиці істинності, яка охоплює всі можливості (з точки зору значень істинності), що беруть участь в операції.
Позначення,$\mathbb{R}$,$\mathbb{Q}$$\mathbb{Z}$, і$\mathbb{N}$ представляють собою набір дійсних чисел, раціональних чисел, цілих і натуральних чисел (натуральних чисел) відповідно.
Якщо$S$ позначає набір чисел,$S^+$ означає набір позитивних чисел в$S$,$S^-$ означає набір від'ємних чисел в$S$, і$S^*$ означає набір ненульових чисел в$S$.
Якщо$S$ позначає набір чисел, і$k$ є дійсним числом, то$kS$ означає набір чисел, отриманих множенням$k$ на кожне число в$S$.

Вправи$\PageIndex{}$

Вправа$\PageIndex{1}\label{ex:prop-01}$

Вкажіть, які з перерахованих нижче є пропозиціями (припустимо, що$x$ і$y$ є дійсними числами).

Ціле число 36 парне.
Ціле число$3^{15}-8$ парне?
Твір 3 і 4 дорівнює 11.
Сума$x$ і$y$ дорівнює 12.
Якщо$x>2$, то$x^2\geq3$.
$5^2-5+3$.

Вправа$\PageIndex{2}\label{ex:prop-02}$

Які з перерахованих нижче є пропозиціями (припустимо, що$x$ це дійсне число)?

$2\pi+5\pi = 7\pi$.
Продукт$x^2$ і$x^3$ є$x^6$.
Неможливо бути як парним$3^{15}-7$, так і непарним.
Якщо ціле число$x$ непарне,$x^2$ непарне?
Ціле число$2^{524287}-1$ є простим.
$1.7+.2 = 4.0$.

Вправа$\PageIndex{3}\label{ex:prop-03}$

Визначте істинні значення цих тверджень:

Добуток$x^2$ і$x^3$ є$x^6$ для будь-якого дійсного числа$x$.
$x^2>0$для будь-якого дійсного числа$x$.
Число$3^{15}-8$ парне.
Сума двох непарних цілих чисел парна.

Вправа$\PageIndex{4}\label{ex:prop-04}$

Визначте істинні значення цих тверджень:

$\pi\in\Z$.
$1^3+2^3+3^3 = 3^2\cdot4^2/4$.
$u$є голосним.
Це твердження є і правдивим, і помилковим.

Вправа$\PageIndex{5}\label{ex:prop-05}$

Звести нанівець твердження в Задача [ex:prop-04].

Вправа$\PageIndex{6}\label{ex:prop-06}$

Визначте істинні значення цих тверджень:

$\sqrt{2}\in\Z$
$-1\notin\Z^+$
$0\in\N$
$\pi\in\R$
$\frac{4}{2}\in\Q$
$1.5\in\Q$

Вправа$\PageIndex{7}\label{ex:prop-07}$

Визначте, чи є ці твердження істинними чи хибними:

$0\in\Q$
$0\in\Z$
$-4\in\Z$
$-4\in\N$
$2\in3\Z$
$-18\in3\Z$

Вправа$\PageIndex{8}\label{ex:prop-08}$

Звести нанівець такі твердження про дійсне число$x$:

$x>0$
$x\leq-5$
$7\leq x$

Вправа$\PageIndex{9}\label{ex:prop-09}$

Поясніть, чому$7\Q=\Q$. Це все ще правда$0\Q = \Q$?

Вправа$\PageIndex{10}\label{ex:prop-10}$

Знайти число (и)$k$ такі, що$k\Z=\Z$.

\(p\)	\(\overline{p}\)
Т	F
F	Т