1.4: Доведення ідентичності

Існує багато методів, які можна використовувати для підтвердження особи. Найпростішим є використання алгебраїчної маніпуляції, як ми продемонстрували в попередніх прикладах. У алгебраїчному доказі існує три прийнятні підходи:

• Зліва направо: розгорніть або спрощуйте ліву сторону, поки не отримаєте праву сторону.
• Справа наліво: розгорніть або спрощуйте праву частину, поки не отримаєте ліву сторону.
• Зустрітися посередині: розгорніть або спрощуйте ліву і праву частину окремо, поки не отримаєте однаковий результат з обох сторін.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Довести, що\[x^3-y^3 = (x-y) (x^2+xy+y^2), \nonumber\] починаємо з правого боку, тому що це складніше, ніж з лівого боку. Доказ проходить наступним чином:

Рішення

\[\begin{array}{l c l} (x-y)(x^2+xy+y^2) &=& x^3-x^2y+x^2y-xy^2+xy^2-y^3 \\ &=& x^3-y^3.\end{array}\label{eg:provingID-01}\]Пам'ятайте: починайте з одного боку і працюйте над нею, поки не отримаєте іншу сторону.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Наступний «доказ»\[x^4+x^2y^2+y^4 = (x^2+xy+y^2) (x^2-xy+y^2) \nonumber\] є неправильним:

\ [\ почати {еканрай*} х
^4+х ^ 2y^2y^4
&=& (х ^ 2+xy+y^2) (x^2-xy+y^2)\\
&=& x^4-x3y+x^2y^2y^2y^2y^2y^2y^2y^2y^2y^2y^2y^2y^2y^2y^2y^2y^2y^2y^2y^2y ^ 4\\
&=& х ^ 4+х ^ 2y^2+y^4. \ етикетка {наприклад: wrongpf1}
\ кінець {еканаррей*}\]

Ось причина. Коли ми розміщуємо

\[x^4+x^2y^2+y^4 = (x^2+xy+y^2) (x^2-xy+y^2) \nonumber\]

на початку доказу, за угодою, ми проголошуємо, що дійсно\(x^4+x^2y^2+y^4\) дорівнює\((x^2+xy+y^2) (x^2-xy+y^2)\). Однак це те, що нас просять довести. Перш ніж ми фактично довели, що це правда, ми ще не знаємо, чи рівні вони. Тому починати доказ з нього неправильно.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

З цієї ж причини неприпустимо наступне «доказ» особи\[x^3-y^3 = (x-y) (x^2+xy+y^2) \nonumber\]:

\ [\ begin {масив} {lcl} х ^
3-й ^ 3 &=& (x-y) (х ^
2+xy+y^2)\\ x^3-y^3 &= &
x^3-x^2y+xy^2y^2+xy^2-y^3\\ x^3-y^3\ мітка {eg:wrongpf2}
\ end {масив}\]

\(x^3-y^3\)Поклавши ліву частину кожного рядка, це стає (за умовністю) сукупністю з трьох рівнянь. У двох словах, аргумент починається з рівняння, і ми спрощуємо, поки не отримаємо те, що ми знаємо, є істинним. Якщо цей формат є дійсним, ми можемо «довести»\(21=6\), що наступним чином:

\ [\ почати {екнаррай*}
21 &= & 6\\
6 &=21\\
27 &= & 27
\ кінець {екнаррай*}\]

Написавши\(21=6\) на початку доказу, те, що ми насправді говоримо, це «Припустіть, що\(21=6\) це правда». Але це те, що ми маємо намір довести. Таким чином, по суті, ми ставимо візок перед конем, що логічно невірно. Є ще одне пояснення, чому цей доказ невірний. Про це ми обговоримо в розділі 2.3.

Коротко: ми не можемо почати з даної ідентичності та спростити обидві сторони, поки не отримаємо рівність (або рівняння форми\(0=0\)).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Покажіть, що\(\frac{1}{6}\,k(k+1)(2k+1) + (k+1)^2 = \frac{1}{6} (k+1)(k+2)(2k+3)\).

Рішення 1

Ми можемо використовувати підхід «зустрітися посередині». Нагадаємо, що ми не можемо спростити обидві сторони одночасно. Замість цього ми повинні розширити дві сторони окремо, а потім порівняти результати. Ми також пропонуємо додати більше написання (словами), щоб допомогти з поясненням.

Після розширення лівою стороною стає

\ [\ почати {еканаррей*}
\ стиль тексту\ frac {1} {6}\, k (k+1) (2k+1) + (k+1) ^2
&= &\ стиль тексту\ frac {1} {6} (2k^3+3k^2+k) + (k^2+2k+1)\\
&= &\ textstyle\ frac {1} {3}}\, k^3+\ гідророзриву {3} {2}\, k^2+\ frac {13} {6}\, k+1.
\ label {EG:Провінція-02}\ end {екнаррай*}\]

Права сторона розширюється в

\ [\ почати {еканаррей*}
\ стиль тексту\ frac {1} {6} (k+1) (k+2) (2к+3)
&= &\ стиль тексту\ frac {1} {6} (2k^3+9k^2+13k+6)\\
&= &\ стиль тексту\ frac {1} {3}\, k^3+\ frac {3} {2}\, k^2+\ гідророзриву {13} {6}\, k+1.
\ end {еканаррей*}\]

Так як обидві сторони дають однаковий результат, вони повинні бути рівними.

Хоча доказ є правильним, він вимагає двох наборів обчислень. Набагато простіше використовувати або підхід зліва направо, або справа наліво.

Рішення 2

Краща альтернатива - почати з лівого боку і спростити її, поки ми не отримаємо праву сторону. Наша секретна зброя - факторизація:

\ [\ почати {еканаррей*}
\ стиль тексту\ frac {1} {6}\, k (k+1) (2k+1) + (k+1) ^2
&=&\ стиль тексту\ frac {1} {6} (k+1) [k (2k+1) +6 (k+1)]\\
&= &\ textstyle\ frac {1} {6} (k+1) (2к^2+7к+6)\\
&= &\ стиль тексту\ розриву {1} {6} (к+1) (к+2) (2к+3).
\ end {еканаррей*}\]

Такий підхід, як правило, кращий і безпечніший, тому що ніяких брудних обчислень не бере участь.

Практичні вправи\(\PageIndex{1}\)

Показати, що\ [\ label {he:Провінгід-01}\ frac {k (k+1) (k+2)} {3} + (k+1) (k+2)
=\ frac {(k+1) (k+2) (k+3)} {3}. \ nonumber\] Обов'язково використовуйте один з трьох методів, про які ми говорили вище.

Резюме та огляд

• Існує всього три способи підтвердити особу: зліва направо, справа наліво або зустріч посередині.
• Ніколи не підтверджуйте особу, спрощуючи обидві сторони одночасно.

Вправи\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\label{ex:provingid-01}\)

\(y\)Дозволяти\(x\) і бути будь-якими дійсними числами. Доведіть, що\[ (x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3. \nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{2}\label{ex:provingid-02}\)

\(y\)Дозволяти\(x\) і бути будь-якими дійсними числами. Доведіть, що\[ (a-b)^4 = a^4-4a^4b+6a^2b^2-4ab^3+b^4. \nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{3}\label{ex:provingid-03}\)

Доведіть, що для будь-яких різних дійсних чисел\(x\) і\(y\),\[ \frac{x^3-y^3}{x-y} = x^2+xy+y^2. \nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{4}\label{ex:provingid-04}\)

Доведіть, що для будь-якого цілого числа\(k\),\ [\ frac {k (k+1) (k+2) (k+3)} {4} + (k+1) (k+2) (k+3)
=\ frac {(k+1) (k+2) (k+3) (k+4)} {4}. \ номер\]

Вправа\(\PageIndex{5}\label{ex:provingid-05}\)

Доведіть, що для будь-якого цілого числа\(k\),\ [\ frac {k^2 (k+1) ^2} {4} + (k+1) ^3
=\ frac {(k+1) ^2} {4}. \ номер\]