1.3: Як читати та писати математику

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64173

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Читання математики важко для початківців. Потрібно терпіння і практика, щоб навчитися читати математику. Можливо, вам доведеться прочитати речення або абзац кілька разів, перш ніж ви його повністю зрозумієте. Існують стилі письма та нотаційні умовності, які ви набуваєте лише читаючи та звертаючи увагу на те, як пишеться математика. У міру того, як ми продовжимо курс, ми обговоримо деталі. В якості стартера запропонуємо кілька пропозицій.

Переконайтеся, що ви знаєте визначення математичних термінів, значення та правильне використання математичних символів та позначень. Хоча це може здатися очевидним, багато початківців мають труднощі з розумінням математичного аргументу, оскільки вони не пам'ятають точного значення певних математичних понять.
Часто причина позову криється в реченні перед ним. Іноді це можна знайти в попередньому абзаці, і це не дивно, що вам може знадобитися перевірити кілька речень або абзаців перед ним. Потрібно брати активну роль в читанні математики, і потрібно пам'ятати прочитане.
Математики воліють короткі і витончені докази. Для цього вони пригнічують подробиці того, що вони вважають «очевидними» причинами. Але те, що очевидно для одного читача, може бути не таким очевидним для іншого. У всякому разі, з практичних міркувань не можна включати кожен хвилинний крок в математичний аргумент. Отже, тримайте поруч свій олівець і папір, і будьте готові перевірити розрахунок і заповнити відсутні реквізити.
Це може допомогти спробувати деякі приклади, щоб побачити, як працює аргумент.
Після того, як ви закінчите читати доказ, перейдіть по ньому ще раз і спробуйте підсумувати його ключові кроки (іншими словами, спробуйте намалювати контур доказу) своїми словами.

Написати математику ще складніше! Щоб навчитися писати математику, потрібно набагато більше часу. Звичайно, найголовніше в математичному аргументі - це його правильність. Коли ми говоримо «хороше» математичне письмо, ми говоримо про точність, чіткість та звукову логіку.

Будьте точні! Наприклад, не просто говорите «це», коли незрозуміло, на яку кількість ви маєте на увазі. Це особливо вірно в тривалому суперечці. У зв'язку з цим це допомагає ідентифікувати і, отже, розрізняти різні величини за їх назвами\(x\), такими як\(y\)\(z\), і т.д.
Правильно використовуйте математичні терміни! Поширеною помилкою є плутання виразу з рівнянням. Рівняння має знак рівності, як у,\[x+y = 5, \nonumber\] але вираз ні, як у\[x+y. \nonumber\]
Так само наступне є нерівність:\[x+y \geq 5. \nonumber\] Не називайте це рівнянням!
Не зловживайте словом «вирішувати». Наприклад, багато студентів сказали б «вирішити»\(5^2+7^3\). Більш відповідною приказкою має бути «обчислити значення\(5^2+7^3,\)» або просто «оцінити»\(5^2+7^3\).

На початку це допомагає стежити за тим, що роблять інші. Це знову ж таки означає, що вам потрібно читати багато математичного письма, і підібрати стилі, які вам зручні. Ми часто дотримуємося деяких умовностей (неписаних правил, якщо ви віддаєте перевагу), яких дотримуються всі.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо цей аргумент, щоб показати, що\((x-y)(x+y) = x^2-y^2\):

Ми хочемо показати, що
\[ (x-y)(x+y) = x^2-y^2. \label{eg:readmath-01}\]
Після розширення продукту на лівій стороні, ми знаходимо,
\[ {} = x^2+xy-yx-y^2 = x^2-y^2, \nonumber\]
що саме ми хочемо довести.

Логіка і математика в аргументі правильні, але не позначення. У формальному письмі кожне рівняння має бути окремим рівнянням. Останнє рівняння є неповним, тому що в ньому немає нічого з лівого боку знака рівності. Ось правильний спосіб написати аргумент:

Рішення

Ми хочемо показати, що
\[ (x-y)(x+y) = x^2-y^2. \nonumber\]
Після розширення продукту на лівій стороні, ми знаходимо,
\[ (x-y)(x+y) = x^2+xy-yx-y^2 = x^2-y^2, \nonumber\]
що саме ми хочемо довести.

Виправлення просте: просто повторіть ліву сторону.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Короткі та прості математичні вирази або рівняння, такі як\(a^2+b^2=c^2\) можуть бути записані в абзаці. Довші та важливі вирази або рівняння повинні відображатися окремо, а по центру, на власних лініях, як в\[x^3-y^3 = (x-y) (x^2+xy+y^2). \nonumber\]

Якщо ми маємо намір звернутися до рівняння пізніше, призначте йому число і укладіть число в дужки:

\[x^2-y^2 = (x-y) (x+y). \label{eqn:example}\]

Тепер, наприклад, можна сказати, через те, що ми знаходимо\(\ref{eqn:example}\)

\[135 = 144-9 = 12^2-3^2 = (12-3) (12+3) = 9\cdot 15. \nonumber\]

Для більш тривалого рівняння, такого як

\[(x+y)^2 = (x+y)(x+y) = x^2+xy+xy+y^2 = x^2+2xy+y^2, \nonumber\]

це може виглядати краще і легше слідувати, якщо ми розбиваємо його на кілька рядків і вирівнюємо їх уздовж рівних знаків:

\[\begin{align} (x+y)^2 &= (x+y)(x+y) \\ &= x^2+xy+xy+y^2 \\ &= x^2+2xy+y^2. \end{align} \nonumber\]

Хоча ми відображаємо рівняння в трьох рядках, вони разом утворюють одне рівняння. Знаки рівності на початку другої і третьої рядків вказують на те, що вони є продовженням попереднього рядка. Оскільки це насправді одне довге рівняння, нам потрібно сказати лише\((x+y)^2\) один раз, а саме на початку.

Коли частина правої сторони виходить за межі поля, ви можете збалансувати зовнішній вигляд всього рівняння, перемістивши ліву сторону:

\ [\ почати {масив} {l}
{(x^2+2xy+y^2) (x^2+2xy+y^2)}\
= x^4+2x^3y+x^2y+x^2y^3y^3 + x^2y^2xy^2xy^3xy^3xy^3+y^4\
= x^4+4x^3y^3 +6x^2y^2+4xy^3+y^4.
\ end {масив}\ nonumber\]

У багаторядковому форматі відображення завжди записуйте знаки рівності на початку рядків. Не забудьте вирівняти знаки рівності.

Коли частина правої частини занадто довга, щоб відобразити як єдиний шматок, ми можемо розділити її на кілька частин:

\[\begin{align} (x+y)^5 &= (x+y)^2 (x+y)^3 \\ &= (x^2+2xy+y^2) (x^3+3x^2y+3xy^2+y^3) \\ &= x^5+3x^4y+3x^3y^2+x^2y^3+2x^4y+6x^3y^2+6x^2y^3+2xy^4 \\ & \quad {} +x^3y^2+3x^2y^3+3xy^4+y^5 \\ &= x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5. \end{align} \nonumber\]

Звичайною практикою є використання відступів для позначення продовження частини рядка в наступну.

Буде більше дискусій, як ми продовжуємо. Не будемо забувати: найкращий спосіб навчитися - спостерігати і спостерігати за тим, як це роблять інші. Читання є обов'язковим! Читання та аналіз технічних документів, безсумнівно, покращить ваші математичні знання, а також ваше письмо.