1.8: Геометрія чисел

Ми вже бачили, що геометричні поняття іноді корисні для висвітлення теоретичних міркувань чисел. З введенням Мінковського геометрії чисел було досягнуто реальне зварювання важливих частин теорії чисел та геометрії. Ця галузь математики була в значній моді протягом останніх 20 років, особливо в Англії, де вона була і активно розвивається Морделлом, Девенпортом, Малером та їхніми студентами.

Ми розглянемо дуже короткий вступ до цієї теми. Спочатку ми розглянемо доказ фундаментальної теореми Мінковського через Хайоса (1934), потім обговоримо деякі узагальнення та застосування цієї теореми, і нарешті дослідимо деякі нові результати та здогадки, які тісно пов'язані між собою.

У найпростішому вигляді фундаментальна теорема Мінковського полягає в наступному.

Теорема\(\PageIndex{1}\): Fundamental Theorem of Minkowski

\(R\)Дозволяти область в\(x-y\) площині області\(A > 4\), симетрична про початок і опукла. Потім\(R\) містить точку решітки, відмінну від початку.

По-перше, деякі попередні зауваження. За умови\(A > 4\), 4 не можуть бути замінені будь-яким меншим числом. Це можна побачити, розглянувши квадрат сторони\(2 − \epsilon\), зосереджений на початку. Дійсно, цей приклад може спочатку припустити, що теорема є досить інтуїтивною, оскільки може здатися, що стискання цієї області в будь-якому напрямку та збереження її площі фіксованою обов'язково змусить область покрити якусь точку решітки. Однак справа не зовсім така проста, оскільки інші приклади показують, що ні центральна симетрія, ні опуклість не є незамінними. Що стосується опуклості, то насправді потрібно те, що з векторами\(\vec{V_1}\) і\(\vec{V_2}\) область також повинні містити\(\dfrac{1}{2} (\vec{V_1} + \vec{V_2})\). Симетрія означає, що з\(\vec{V_1}\) вектором також\(-\vec{V_1}\) повинен бути в\(R\). Таким чином, симетрія і опуклість разом означають, що, якщо\(\vec{V_1}\) і\(\vec{V_2}\) знаходяться в\(R\), так і є\(\dfrac{1}{2} (\vec{V_1} - \vec{V_2})\). Ця остання умова дійсно достатньо для нашої мети і може замінити умови симетрії і опуклості. Це мається на увазі симетрія і опуклість, але не передбачає жодної з цих умов.

Ще одним прикладом, який, можливо, висвітлює значення теореми Мінковського, є наступний. Розглянемо лінію через,\(O\) що має ірраціональний нахил\(\tan \theta\); див. Рис. Ця лінія проходить через жодну точку решітки, окрім початкової точки. Якщо взяти довгий відрізок цієї лінії, скажімо, подовження довжини\(R\) по обидва боки\(O\), то буде точка решітки найближча до, і відстань\(r\) від,

цей сегмент. Отже, незалежно від того, наскільки\(R\) великий, ми можемо побудувати прямокутник, що містить цей відрізок лінії, який не містить жодної точки решітки, крім\(O\). За фундаментальною теоремою Мінковського площа\(4rR\) цього прямокутника не перевищує 4. Таким чином\(r \le \dfrac{1}{R}\). Зверніть увагу, що якщо\((p, q)\) це точка решітки на межі прямокутника\(\dfrac{p}{q} \approx \tan \theta\), то, так що фундаментальна теорема Мінковського дасть деяку інформацію про те, наскільки близько ірраціональне число можна наблизити раціональними.

Давайте тепер повернемося до доказу Хайоса фундаментальної теореми Мінковського. Розглянемо\(x-y\) площину, розрізану на нескінченну шахову дошку з основним квадратом площі 4\(|x| \le 1\), визначеною,\(|y| \le 1\). Тепер вирізаємо шахову дошку по краях квадратів і накладаємо всі квадрати, які містять частини області\(R\). Тепер ми стиснули область > 4 в область області 4. Це означає, що буде деяке перекриття, тобто можна приклеїти шпильку через квадрат так, щоб проколоти\(R\) в дві точки скажімо\(V_1\) і\(V_2\). Тепер знову зібрати область і нехай точки\(V_1\) і\(V_2\) бути векторами\(\vec{V_1}\) і\(\vec{V_2}\). Враховуйте той факт, що\(x\)\(V_1\) і\(y\) координати і\(V_2\) відрізняються кратними 2. Пишемо\(V_1 \equiv V_2\) (мод 2), що має на увазі\(\dfrac{1}{2} (V_1 - V2) \equiv 0\) (мод 1). Таким\(\dfrac{1}{2} (V_1 - V_2)\) чином, точка решітки відрізняється від O (так як\(V_1 \ne V_2\)) в\(R\).

Фундаментальну теорему Мінковського можна легко узагальнити до\(n\) -вимірного простору. Дійсно, нам потрібно лише замінити 4 в фундаментальній теоремі Мінковського на 2n, і доказ Хайоса проходить. Наведено багато розширень і повторних уточнень фундаментальної теореми Мінковського. До деяких з них я повернуся пізніше.

Один з ранніх робіт Поля має довгий і цікавий назву «Zahlhlenteoretisches und Wahrscheinlichkeitsheittheoretisches\(\ddot{u}\) ber die Sichtweite в Вальде унд Дурх Шнефалл». Доказ головного результату Полі в цій роботі може бути значно спрощений і дещо уточнений, використовуючи фундаментальну теорему Мінковського. Проблема полягає в цьому.

Припустимо, кожна точка решітки, крім,\(O\) оточена колом радіуса\(r \le \dfrac{1}{2}\) (дерево в лісі). Чоловік стоїть на\(O\). У напрямку\(\theta\) він бачить відстань\(f(r, \theta)\). відстань f (r, θ). Що найвіддаленіший він може бачити в будь-якому напрямку? Тобто визначте

\(F(r) = \text{max}_{\theta} f(\theta, r)\)

Дивлячись повз коло з центром (1, 0) (рис. 5), ми можемо побачити майже відстань\(\dfrac{1}{r}\). З іншого боку, ми можемо це довести\(F(r) \le \dfrac{1}{r}\). Бо припустимо, що ми можемо побачити відстань\(F(r)\) у напрямку θ. Близько цієї лінії зору будуємо прямокутник зі стороною\(2r\). Цей прямокутник не містить точки решітки, бо інакше дерево з центром у такій точці решітки буде перешкоджати нашій лінії зору; див. Рисунок 6.

Звідси за фундаментальною теоремою Мінковського\(4F(r) r \le 4\) і в\(F(r) \le \dfrac{1}{r}\) міру необхідності. Зверніть увагу, що жодна точка решітки не може бути ні в одному півколі на схемі. Це дозволяє нам трохи покращити результат Полі. Я залишу деталі як вправу.

Більш значуще застосування фундаментальної теореми Мінковського стосується можливості розв'язання цілими числами множини лінійних нерівностей.

Розглянемо нерівності

\(|a_{11} x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdot\cdot\cdot + a_{1n}x_{n}| \le \lambda_1,\)
\(|a_{21} x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdot\cdot\cdot + a_{2n}x_{n}| \le \lambda_2,\)
.
.
.
\(|a_{n1} x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdot\cdot\cdot + a_{nn}x_{n}| \le \lambda_n,\)

де\(a_{ij}\) дійсні числа, а\(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n\) позитивні числа. Задача полягає в тому, щоб знайти достатні умови існування цілих чисел\(x_1, ..., x_n\), не всіх 0 задовольняють системі. Фундаментальна теорема Мінковського може бути використана для доведення того, що розв'язок буде існувати за умови, що детермінант (aij) коефіцієнтів в абсолютному значенні менше добутку\(\lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot \lambda_n\). Це відбувається наступним чином. Геометрично нерівності визначають\(n\) −мірний паралелепіпед, обсяг (або вміст) якого дорівнює

\(\dfrac{1}{\text{det} (a_{ij})} \cdot 2^n \cdot \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot \lambda_n.\)

Якщо\(\lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot \lambda_n > \text{det} (a_{ij})\) тоді вміст перевищує\(2^n\) і так містить точку решітки, відмінну від\(O\).

Зовсім недавнім аналогом фундаментальної теореми Мінковського є наступний. \(R\)Дозволяти опукла область, не обов'язково симетрична про O, але має його центроїд в\(O\). Якщо його площа перевищує\(\dfrac{9}{2}\), то вона містить точки решітки немає\(O\). Постійна знову\(\dfrac{9}{2}\) найкраще можлива, але n-мірний аналог цього результату невідомий.

Далі наведено припущене узагальнення фундаментальної теореми Мінковського, яку ми, на жаль, не змогли довести. Можливо, вам вдасться це довести або спростувати. \(R\)Дозволяти опукла область, що містить походження і визначається\(r = f(\theta)\),\(0 \le \theta < 2 \pi\). Якщо

\(\int_0^{\pi} f(\theta) f(\theta + \pi) d \theta > 4\)

потім\(R\) містить нетривіальну точку решітки. Для\(f(\theta) = f(\theta + \pi)\) симетричних областей і гіпотеза зводиться до фундаментальної теореми Мінковського.

Ось дещо споріднена і лише частково вирішена проблема. \(M(n)\)Дозволяти визначатися як найменше число таким чином, що будь-яка опукла область області\(M(n)\) може бути розміщена так, щоб покрити точки\(n\) решітки. Чітко\(M(1) = 0\). Неважко показати\(M(2) = \dfrac{\pi}{4}\), що, тобто будь-яка опукла область, площа якої перевищує площу кола діаметром 1, може бути використана для покриття 2 точок решітки. Визначити\(M(3)\) вже здається складно. Те, що можна легко довести, це те, що\(M(n) \le n -1\) і ми здогадуємося про існування позитивної константи\(c\) такого, що\(M(n) < n - c \sqrt{n}\).