4.4: Додатки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59737

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У попередніх розділах про додатки ми бачили ситуації, в яких тригонометрія прямокутного трикутника використовувалася для пошуку відстаней і кутів. У цьому розділі ми будемо використовувати Закон синусів і Закон косинусів, щоб знайти відстані та кути.

Приклад$\PageIndex{1}$

Автомобіль їде по прямій дорозі, прямуючи на захід протягом 1 години, потім їде по іншій прямій дорозі на північний захід протягом півгодини. Якщо швидкість автомобіля була постійною 50 км/год, наскільки далеко автомобіль від початкової точки?

Рішення

Для початку намалюємо схему:

$clipboard_eefb87e096135b608e3c071bb2b6a2d34.png$

На малюнку вище ми знаємо кути$45^{\circ}$ і$135^{\circ}$ через напрямок їхав автомобіль. Напрямок північний захід прорізає рівно на півдорозі між північчю і заходом, створюючи$45^{\circ}$ кут. На іншій стороні цього$45^{\circ}$ кута знаходиться кут, який знаходиться в$135^{\circ}$ трикутнику, який ми будемо використовувати, щоб відповісти на питання (трикутник$A B C$).

Довжина$\overline{A B}$ становить 50 миль, а довжина$\overline{B C}$ становить 25 миль. Це виходить з інформації про швидкість і час подорожі, наведеної в проблемі. Отже, потрібний нам трикутник, щоб відповісти на питання, зображений нижче:

$clipboard_e23d81ccb6e827cadc4d35bf2c19d0a84.png$

Ми можемо використовувати Закон косинусів для вирішення цієї задачі:
\ [ \ begin {масив} {c}
b^ {2} =a^ {2} +c^ {2} -2 a c\ cos B\\
b^ {2} =25^ {2} -2 * 25 * 50 *\ cos 135^ {\ circ}\\
b^ {2}\ приблизно 625+2500-2500 * (-0,7071)\\
b^ {2}\ приблизно 3125+1767.75\\
b^ {2}\ приблизно 4892,75\\
b\ приблизно 69.9\ mathrm {милі}
\ кінець {масив}
\]

Приклад$\PageIndex{2}$

Пілот летить літаком прямим шляхом протягом 2,5 годин, а потім робить корекцію курсу, прямуючи$10^{\circ}$ ліворуч від початкового курсу. Потім пілот летить в цьому напрямку протягом 1 години. Якщо швидкість літака постійна$350 \mathrm{mph}$, як далеко знаходиться літак від початкового положення?

Рішення

Знову почнемо зі складання схеми:

$clipboard_eb3040ee063bcae03ab1ab4b0fd57b530.png$

У цій задачі ми будемо працювати з трикутником$A B C$, показаним нижче. Ми можемо обчислити довжини$\overline{A B}$ і на$\overline{B C}$ основі інформації, наведеної в задачі, і використовувати це для обчислення довжини$\overline{A C}$:

$clipboard_e14b6edb5c6ea673728038bdd527053b0.png$

Використання Закону косинусів:
\ [ \ begin {масив} {c}
b^ {2} =a^ {2} +c^ {2} -2 a c\ cos B\\
b^ {2} =350^ {2} +875^ {2} -2 * 350 * 1050 *\ cos 170^ {\ circ}\\
b^ {2}\ приблизно 122,500+765,65,665 735 000 * (-0,9848)\\
b^ {2}\ приблизно 888,125+723 828\\
b^ {2}\ приблизно 1,611,953\\
b\ приблизно 1270\ mathrm {милі}
\ кінець {масив}
\]

Приклад$\PageIndex{3}$

Пілот залишає аеропорт у Бенді, прямуючи до Корвалліса з підшипником$N 70^{\circ} W .$ Він подорожує 103 милі і робить доставку, перш ніж злітати і літати на підшипнику 72 миль, щоб прибути в Портленд.$N 25^{\circ} E$

$clipboard_e4a878b214c3780120c6cc84548bb086d.png$

а) Виходячи з цієї інформації, знайти повітряну відстань між Портлендом і Бендом.
б) Знайдіть підшипник від Портленда до Бенда.

Рішення

У цій задачі наведено діаграму. Ми змінимо це, щоб перетворити його в трикутник:

$clipboard_e6e922fa6811a503062ed12271bdfea17.png$

Заповнення мірок кутів складно в цій задачі, тому давайте подивимося на оригінальну схему ще раз:

$clipboard_e9b6e88aef01d33bedd9a60709e3a0d8c.png$

Якщо ми
продовжимо пунктирну лінію на схід від Корвалліса так, що вона відповідає пунктирній лінії, що йде на північ від вигину, ми можемо створити трикутник, який показує нам, що кут$\angle B C X=20^{\circ} .$ також, зверніть увагу, що$\angle P C X=\left(90^{\circ}-25^{\circ}\right)=65^{\circ}$

$clipboard_e569c96fb8116fd223f7cc19a426d3bb8.png$

Це означає, що$\angle B C P=85^{\circ} .$ Ми знаємо з проблеми, що$\overline{B C}=103$ і$\overline{C P}=72 .$ Нам потрібно буде знайти довжину$\overline{B P}$ і міру$\angle C P B$ відповісти на питання.

$clipboard_eab31d43d501c6ebe9f0d67cb71091a78.png$

Тепер ми працюємо з трикутником, подібним до зображеного вище, тому ми можемо використовувати Закон косинусів, щоб знайти відстань повітря від Портленда до Вигину:
\ [ \ begin {array} {c} {c}
c^ {2} =b^ {2} +p^ {2} -2 b\ cos C\\
c^ {2} =72^ {2} +103^ {2} -2 * 72 * 103\ * cos 85^ {\ коло}\
c^ {2}\ приблизно 5184+10,609-14,832 * (0,087156)\\
c^ {2}\ приблизно 15,793-1292,7\\
c^ {2}\ приблизно 14,500.3\\
c\ приблизно 120,4\ текст {милі}
\ кінець {масив}
\]

Щоб знайти,$\angle P,$ ми будемо використовувати Закон синусів:

\ [ \ почати {масив} {c}
\ розрив {\ sin 85^ {\ circ}} {120.4} =\ гідророзриву {\ sin P} {103}\
103 *\ гідророзриву {\ sin 85^ {\ circ}} {120,4} =\ sin P\\
103 *\ гідророзриву {0.9962} {120,4}\ приблизно\ sin P\\
0.85 223\ приблизно\ sin P\\
58.4^ {\ circ}\ приблизно P
\ кінець { масив}
\]

Тепер, коли ми знаємо міру$\angle P$, ми можемо визначити підшипник Бенд з Портленда.

$clipboard_e777a83a38543c68c154a08913e7cbcf1.png$

На малюнку нижче зверніть увагу, що$\angle Y P C=25^{\circ} .$ Це означає, що підшипник від Портленда до Бенда буде на схід від півдня різницею між$\angle P=58.4^{\circ}$ і$\angle Y P C=25^{\circ} .$ Це робить підшипник Бенд від Портленда рівним$S 33.4^{\circ} E$

$clipboard_e607ed957471b3a2dd652310cadb22643.png$

Приклад$\PageIndex{4}$

125-футова вежа розташована на стороні гори, яка нахилена$32^{\circ}$ до горизонталі. Дріт хлопця повинен бути прикріплений до верхньої частини вежі і закріплений на якорі в точці 55 футів вниз від основи вежі. Знайдіть найкоротшу довжину дроту, необхідної.

$clipboard_e97e32ee9b35fc1468ea09c5dc18bf322.png$

Рішення

Важливим аспектом у вирішенні цієї проблеми є виявлення трикутника в задачі, який включає невідому величину, яку нас просять знайти. Якщо ми шукаємо довжину дроту хлопця, ми можемо використовувати трикутник, який включає провід, відстань від дроту до центру вежі та висоту вежі:

$clipboard_e8437a8310f0fb2d91f4cccc48cbeda34.png$

Кут між горизонталлю і пагорбом буде триматися$32^{\circ}$ в будь-якій точці пагорба. Якщо ми скинемо перпендикуляр до горизонталі, ми зможемо знайти кут, включений між двома заданими сторонами.

У маленькому прямокутному трикутнику ми знаємо 32 'кут. Це означає, що інший гострий кут повинен бути$58^{\circ}$, а додатковий кут (який знаходиться в трикутнику, який нас цікавить,$)$ буде$122^{\circ}$

$clipboard_e8934372938e8799c812483c131ae43e9.png$

Тепер ми можемо скористатися Законом косинусів, щоб знайти довжину дроту хлопця:

\ [ \ почати {масив} {c}
x^ {2} =125^ {2} +55^ {2} -2 * 125 * 55 *\ cos 122^ {\ circ}\\
x^ {2} =15,625+3025-13,750 *\ cos 122^ {\ circ}\\
x^ {2}\ приблизно 18,650+7286.39\\
x^ {2}\ приблизно 25,936,39\
x\ приблизно 161\ текст {фути}
\ кінець { масив}
\]

Вправи

1. Дві прямі дороги розходяться під кутом$50^{\circ}$. Дві машини залишають перехрестя на$1 \mathrm{pm},$ одному$60 \mathrm{mph}$ проїжджаючому, а інший їде$45 \mathrm{mph}$. Як далеко один від одного знаходяться машини (як ворона летить) на$1: 30 \mathrm{pm} ?$
2. Два човни залишають один і той же порт одночасно. Один подорожує зі швидкістю
$40 \mathrm{mph}$ в напрямку,$N 30^{\circ} E$ а інший їде зі швидкістю 28 миль/год у напрямку$S 75^{\circ} E .$ Як далеко один від одного два човни через годину?

$clipboard_e53b75464208953795c61b2bb994cc5dd.png$

3. Аеропорт в Desert Junction знаходиться в 350 милі від аеропорту в Valley Center на підшипнику$N 57^{\circ} E .$ Пілот, який хоче літати з Valley Center до Desert Junction помилково летить через схід на 225 миль/год протягом 30 хвилин, перш ніж виправити помилку. Як далеко літак від місця призначення, коли пілот помічає помилку? Який підшипник повинен використовувати літак, щоб прибути на Desert Junction?

$clipboard_e10c97479a12e866e23875c61c0feb03f.png$

4. Літак залишає аеропорт$A$ і подорожує 520 миль до$B$ аеропорту в підшипнику Літак залишає аеропорт$B$ і подорожує до аеропорту$C 310$ милі в підшипнику$S 65^{\circ} W$ від аеропорту$B .$$A$ Знайти відстань від аеропорту$N 35^{\circ} W .$$C .$

5. Два літаки одночасно злітають з аеропорту. Перший літак летить зі швидкістю 300 миль/год на$S 45^{\circ} E .$ підшипнику Другий літак летить на підшипнику$S 5^{\circ} W$ зі швидкістю 330 миль/год. Наскільки вони знаходяться один від одного через 3 години?

6. Два літаки залишають аеропорт одночасно. Їх швидкість є$180 \mathrm{mph}$$110 \mathrm{mph},$ і кут між їх траєкторіями польоту -$43^{\circ} .$ Наскільки вони знаходяться один від одного через 2,5 години?

7. Два кораблі залишають вхід в гавань одночасно. Перший їде зі швидкістю 23 миль/год, а другий їде зі швидкістю 17 миль/год. Якщо кут між курсами кораблів полягає в тому,$110^{\circ},$ наскільки далеко вони знаходяться один від одного через годину?

8. Корабель залишає вхід в гавань і проїжджає 15 миль з ведмедем$\operatorname{ing} S 10^{\circ} W,$ потім повертається і подорожує 45 миль з підшипником$N 43^{\circ} W .$ Як далеко від входу в гавань знаходиться корабель і що несе корабель з гавані?

9. Крута гора нахилена$77^{\circ}$ до горизонталі і піднімається на 3000 футів над навколишньою рівниною. Буде встановлена канатна дорога, яка з'єднає рівнину з вершиною гори. Відстань від підніжжя гори до зони завантаження канатної дороги становить 1200 футів (див. Схему нижче). Знайдіть найкоротшу необхідну довжину кабелю.

$clipboard_e1b5fe1f971897b6e9969db67ed7b6a51.png$

10. Дерево на схилі пагорба відкидає тінь$208 \mathrm{ft}$ вниз по пагорбу. Якщо кут нахилу схилу пагорба$25^{\circ}$ дорівнює горизонталі і кут підйому$51^{\circ},$ знаходять висоту дерева.$\operatorname{sun}$

$clipboard_ebf5e859d1e63cb61dcd8ce59a859afee.png$