4.3: Закон косинусів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59750

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Бувають ситуації, в яких Закон синусів не може бути використаний для вирішення трикутника. На наведеній нижче схемі ми маємо інформацію про дві сторони та включений кут:

$clipboard_e1d444f5ea3d12a19d0551c2f0ce8013d.png$

У наведеній вище проблемі відсутня повна кутова сторона пари, яка необхідна для налаштування розрахунку закону синусів.

Інша поширена ситуація передбачає трикутник, в якому відомі всі три сторони, але кути не відомі:

$clipboard_e6a1e6575fd4c99a23667c6b0fe5506df.png$

Знову ж таки, відсутність пари з кутовою стороною завадило б нам створити розрахунок закону синусів.

Закон Косинес - це один із способів обійти цю складність. Використання Закону косинусів складніше, ніж використання Закону синусів, однак, як ми щойно бачили, Закону синусів не завжди буде достатньо для вирішення трикутника.

Щоб вивести Закон косинусів, ми починаємо з довільного трикутника, подібного до того, що видно на наступній сторінці:

$clipboard_e767303295b4f98ae3eaea9b57e77fd92.png$

На цій схемі ми взяли довільний трикутник і створили перпендикуляр$y .$ з довжиною. З цього можна сказати, що$\sin C=\frac{y}{a}$ і що$a \sin C=y$

Ми можемо$A C$ розділити сторону на дві частини$A D$ і,$C D,$ як показано нижче, і позначити відстань$C D$ як$x$

$clipboard_e8074137b0107c3ee6140b3f843274065.png$

Потім, ми можемо сказати, що$\cos C=\frac{x}{a}$ і що$a \cos C=x$
Якщо ми потім покласти цей трикутник на координатні осі з$\angle C$ на початку (0,0) ми можемо отримати Закон косинусів. Координата вершини за адресою$\angle B$ буде,$(a \cos C, a \sin C),$ а координати вершини за адресою$\angle A$$(b, 0)$

$clipboard_e7b345a04f53ab024c9837562895b59ad.png$

Використовуючи формулу відстані, можна сказати, що:
\ [ c=\ sqrt {(a\ cos C-b) ^ {2} + (a\ sin C-0) ^ {2}}
\] Квадратування обох сторін:
\ [ c^ {2} =( a\ cos C-b) ^ {2} + (a\ sin C-0) ^ {2}
\] і
\ [ c^ {2} =^ {a^ {2}\ cos ^ {2} С-2 а б\ cos С+b^ {2} +a^ {2}\ гріх ^ {2} С
\] або
\ [ c^ {2} =a^ {2}\ sin ^ {2} C+a^ {2}\ cos ^ {2} C+b^ {2} -2 a b\ cos C
\]

Факторинг$a^{2}$ і замінивши$\sin ^{2} C+\cos ^{2} C$ на 1, ми виходимо з однією з найпоширеніших форм Закону косинусів:
\ [ \ begin {масив} {c}
c^ {2} =a^ {2}\ sin ^ {2}\ cos ^ {2} C+b^ {2} -2 a b\ cos C\\
c^ {2} ліворуч (\ sin ^ {2} C+\ cos ^ {2} C\ праворуч) +b^ {2} -2 a b\ cos C\\
c^ {2} =a^ {2} (1) +b^ {2} -2 a b\ cos C\\
c^ {2} =a^ {2} +b^ {2} -2 a b\ cos C
\ end {array}
\] Будь-яка буква може бути використана для представлення кожної зі сторін, але порядок, в якому використовуються літери, є дуже важливо. Сторона трикутника, ізольована з лівого боку, повинна відповідати куту, використаному на правій стороні.

Закон косинусів
\ [ \ begin {масив} {l}
a^ {2} =b^ {2} +c^ {2} -2 b c\ cos A\\
b^ {2} =a^ {2} +c^ {2} -2 a c\ cos B\\
c^ {2} =a^ {2} +b^ {2} -2 a b\ cos C
\ end {2}
\]

Ми розглянемо три приклади - два, в яких дві сторони і включений кут задані, і один, в якому три сторони трикутника задані.

Приклад 1
Вирішіть трикутник:$\angle A=38^{\circ}, c=17, b=8$ круглі кутові заходи та довжини сторін до найближчого$10^{\text {th }}$.

$clipboard_e6f6acd19b3a4c51338653db47eca0ba7.png$

Зазвичай це гарна ідея, щоб побачити, чи можете ви спочатку використовувати Закон синусів, оскільки його легше обчислити. У цьому випадку ми не можемо, тому що у нас немає повної пари з кутовою стороною. Отже, за допомогою Закону косинусів знайти сторону$a:$
\ [ \ begin {масив} {c}
a^ {2} =b^ {2} +c^ {2} -2 b c\ cos A\\
a^ {2} =8^ {2} +17^ {2} -2 * 8 * 17 *\ cos 38^ {\ circ}\
a^ {2}\ приблизно 64+289-272 * 0.78* 80\
a^ {2}\ приблизно 353-214.336\\
a^ {2}\ приблизно 138.664\
a\ приблизно 11.8
\ кінець {масив}
\]

Як тільки ми$a \approx 11.8$ дізнаємося, що можемо використовувати це, щоб знайти інші кути, використовуючи Закон синусів. Через питання неоднозначного випадку при використанні Закону синусів часто є гарною ідеєю знайти кути, які відповідають двом найкоротшим сторонам трикутника, тому що якщо в трикутнику є тупий кут, він повинен відповідати найдовшій стороні. Якщо ми знайдемо два менші кути, ми можемо бути впевнені, що вони обидва будуть гострими, і ми можемо відняти від,$180^{\circ}$ щоб знайти найбільший кут.

\ [ \ begin {масив} {c}
\ розриву {\ sin 38^ {\ circ}} {11.8} =\ гідророзриву {\ sin B} {8}\
8\ раз\ гідророзриву {0.61566} {11.8} =\ sin B\\
0.4174\ приблизно\ гріх B\\
24.7^ {\ circ}\ приблизно B
\ кінець {масив}
\] Так з$\angle A=38^{\circ}$ а$\angle B \approx 24.7^{\circ},$ потім:
\ [ \ кут C\ приблизно 180^ {\ circ} -\ ліворуч (38^ {\ circ} +24.7^ {\ circ}\ праворуч)\ приблизно 180^ {\ circ} -62,7^ {\ circ}\ приблизно 117,3^ {\ circ}
\]

Отже, кути та сторони трикутника будуть такими:
\ [ \ begin {масив} {lll}
\ кут A=38^ {\ circ} & a\ приблизно 11.8\
\ кут B\ приблизно 24.7^ {\ circ} & b = 8\\
\ кут C\ приблизно 117.3^ {\ circ} & c = 17
\ кінець {масив}
\] У прикладі$2,$ ми розглянемо задачу, в якій задано тупий кут.

Приклад 2
Вирішіть трикутник:$\angle A=110^{\circ}, c=30, b=35$ круглі кутові заходи та довжини сторін до найближчого$10^{\text {th }}$.

$clipboard_ed8f187ac3be0cfdf1d2de5e1a7e0043b.png$

Обчислення для цієї задачі дещо відрізняється від останньої, оскільки косинус$110^{\circ}$ буде від'ємним:
\ [\ begin {масив} {c}
a^ {2} =b^ {2} +c^ {2}
+c^ {2} +30^ {2} -2 * 35 * 30 *\ cos 110^ {\ circ}\
a^ {2}}\ прибл. 1225+900-2100 * (-0,3420)\\
a^ {2}\ приблизно 2125+718,2\
a^ {2}\ приблизно 2843,2\\
a\ приблизно 53,3
\ кінець {масив}
\]

У цій задачі, оскільки нам дали тупий кут, то інші два кути повинні бути гострими, і нам не доведеться турбуватися про неоднозначний випадок у використанні Закону синусів.

\[\frac{\sin 110^{\circ}}{53.3}=\frac{\sin B}{35} \quad \frac{\sin 110^{\circ}}{53.3}=\frac{\sin C}{30}\]

\[35 * \frac{0.9397}{53.3}=\sin B \quad 30 * \frac{0.9397}{53.3}=\sin C\]

\[0.61706 \approx \sin B \quad 0.5289 \approx \sin C\]

\[38.1^{\circ} \approx B \quad 31.9^{\circ} \approx C\]

Таким чином, кути і сторони трикутника будуть:
\ [ \ begin {масив} {lll}
\ кут A = 110^ {\ circ} & a\ приблизно 53.3\
\ кут B\ приблизно 38.1^ {\ circ} & b = 35\\
\ кут C\ приблизно 31.9^ {\ circ} & c = 30
\ кінець {масив}
\]

У прикладі$3,$ ми розглянемо задачу, в якій задано три довжини сторін і знайдемо кут, використовуючи Закон косинусів.
Приклад 3
Розв'яжіть трикутник:$a=20, \quad c=9, \quad b=15$ круглий кут вимірює до найближчого$10^{t h}$

$clipboard_e40710cd88c690b2779cd47b1c2a4eb56.png$

Не має значення, який кут ми виберемо для вирішення, але який би кут ми не вибрали, повинен відповідати стороні, ізольованої на лівій стороні формули. Якщо ми хочемо вирішити для$\angle B,$ ми б сказали:
\ [ \ begin {масив} {c}
b^ {2} =a^ {2} +c^ {2} -2 a c\ cos B\
15^ {2} =20^ {2} +9^ {2} -2 * 20 * 9 *\ cos B\\
225=400+81-360 *\ cos B\
225=48360 кос Б\\
-256=-360\ кос Б\\
\ frac {-256} {-360} =\ frac {-360\ cos B} {-360}\\
0,7\ overline {1} =\ cos B\\
44.7^ {\ circ}\ приблизно B
\ end {масив}
\] Як тільки$\angle B,$ ми дізнаємося міру, ми будемо використовувати це, щоб знайти міру,$\angle C,$ яка відповідає стороні $c,$найменша сторона. Тоді ми віднімемо, щоб знайти найбільший кут.
\ [ \ почати {вирівняний}
\ розрив {\ sin 44.7^ {\ circ}} {15} &=\ розрив {\ sin C} {9}\
9 *\ гідророзриву {0.7034} {15} &=\ sin C\\\
0.42204 &\ приблизно\ гріх C &\\\
25.0^ {\ circ} &\ приблизно C
\ кінець {вирівняний}
\]

Отже, з$\angle B \approx 44.7^{\circ}$ а$\angle C \approx 25.0^{\circ},$ потім:
\ [ \ кут A\ приблизно 180^ {\ circ} -\ лівий (44.7^ {\ circ} +25.0^ {\ circ}\ праворуч)\ приблизно 180^ {\ circ} -69.7^ {\ circ}\ приблизно 110.3^ {\ circ}
\] Таким чином, кути і сторони трикутника будуть:
\ [ \ begin} {lll}
\ кут A = 110.3^ {\ circ} & a\ приблизно 53,3\\
\ кут B\ приблизно 44.7^ {\ circ} & b = 35\\
\ кут C\ приблизно 25.0^ {\ circ} & c = 30
\ кінець {масив}
\]

Якби ми використовували Закон синусів для пошуку$\angle A$, калькулятор повернув би значення опорного кута для$\angle A$, а не кут, який насправді знаходиться в трикутнику, описаному в задачі!

Вправи 4.3
У кожній задачі вирішуйте трикутник. Довжини округлих сторін до найближчого$100^{\text {th }}$ і кут вимірює до найближчого$10^{\text {th }}$.

$clipboard_ef84b612c905145a7d7c199ad1b1b1673.png$

$clipboard_ed2e72f6f63318464e268ba5ee98c2e4c.png$

5. $\quad \angle A=52^{\circ}, \quad c=27, \quad b=36$
6. $\quad \angle B=75^{\circ}, \quad a=32, \quad c=59$
7. $\quad \angle B=135^{\circ}, \quad a=12, \quad c=18$
8. $\quad \angle C=120^{\circ}, \quad b=22, \quad a=30$
9. $\quad a=21, \quad b=26, \quad c=23$
10. $\quad a=11, \quad b=13, \quad c=17$
11. $\quad a=25, \quad b=32, \quad c=40$
12. $\quad a=60, \quad b=88, \quad c=120$
13. $\quad \angle A=77.4^{\circ}, \quad b=444, \quad c=390$
14. $\quad \angle B=10^{\circ}, \quad a=18, \quad c=30$
15. $\quad a=112.7, \quad b=96.5, \quad c=130.2$
16. $\quad a=4.7, \quad b=3.2, \quad c=5.9$