4.2: Закон Сінеса - неоднозначний випадок

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59749

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У всіх прикладах і проблемах в Розділі$4.1,$ зауважте, що нам завжди давали два кути і одну сторону, хоча ми могли б використовувати Закон синусів, якби нам дали один кут і дві сторони (до тих пір, поки одна зі сторін відповідала заданому куту). Це тому, що коли ми використовуємо Закон синусів для пошуку кута, неоднозначність може виникнути через те, що функція синуса є позитивною в квадранті I та квадранті II.

Ми побачили в главі 3, що множинні відповіді виникають, коли ми використовуємо зворотні тригонометричні функції. Для задач, в яких ми використовуємо Закон синусів, заданих одним кутом і двома сторонами, може бути один можливий трикутник, два можливих трикутника або не можливі трикутники. Існує шість різних сценаріїв, пов'язаних з неоднозначним випадком Закону синусів: три призводять до одного трикутника, один призводить до двох трикутників і два призводять до відсутності трикутника.

$clipboard_e484d6452533c6f71012450d87f72306e.png$

$clipboard_e96d08b746ff59d60400f67c7e7c76ef7.png$

$clipboard_eca64508375b47cc3aba09765dadd6164.png$

Ми розглянемо три приклади: один для одного трикутника, один для двох трикутників і один для без трикутників.

Приклад$\PageIndex{1}$

Вирішити трикутник, якщо:$\angle A=112^{\circ}, \quad a=45, \quad b=24$
округлити кути і довжини сторін до найближчого$10^{t h}$

Рішення

Використовуючи Закон синусів, можна сказати, що:

\ [\ begin {масив}
{c}\ гідророзриву {\ sin 112^ {\ circ}} {45} =
\ гідророзриву {\ sin B} {24}\\
гідророзриву {0.9272} {45}\ приблизно\ гріх\\
гріх B
\ end {масив}
\]

Потім ми знаходимо$\sin ^{-1}(0.4945) \approx 29.6^{\circ} .$ Пам'ятайте з глави 3, що є кут квадранта II, який має$\sin \theta \approx 0.4945,$ з опорним кутом також$29.6^{\circ} . \mathrm{So}, \angle B$ може бути$\approx 150.4^{\circ} .$ Однак, з$\angle A=112^{\circ},$ немає ніякого способу, щоб інший кут вписувався$150.4^{\circ}$ б всередині того ж трикутника. З цієї причини ми знаємо, що$\angle B$ повинно бути$29.6^{\circ}$

\[ 29.6^{\circ} \approx B\]

Отже, зараз

\ [\ почати {масив} {c}
\ кут A = 112^ {\ circ}\\ кут B
\ приблизно 29,6^ {\ circ}\
\ ім'я оператора {і}\ кут C = 180^ {\ circ} -\ ліворуч (112^ {\ circ} +29.6^ {\ circ}\ праворуч) =180^ {\ circ} -141.6^ {\ circ} коло}\ приблизно 38.4^ {\ circ}\
\ кут C\ приблизно 38.4^ {\ circ}
\ кінець {масив}\]

Ми вже знаємо, що$a=45$ і$b=24 .$ щоб знайти сторону,$c,$ я б рекомендував використовувати найбільш точні значення, можливі в Законі синусів обчислення. Це забезпечить максимально точний результат при знаходженні довжини сторони.$c$

\ begin {масив} {cc}
\ гідророзриву {45} {\ sin 112^ {\ circ}} =\ гідророзриву {c} {\ sin 38.4^ {\ circ}}
\\ гідророзриву {45} {0.9272}\ приблизно\ гідророзриву {c} {0.6211}\
0.6211 *\ гідророзриву {45} {0.9272}\ приблизно c\\
30.1\ приблизно c\
\\ кут A = 112^ {\ circ} & a = 45\\
\ кут B \ приблизно 29,6^ {\ circ} & b = 24\\
\ кут C\ приблизно 38.4^ {\ circ} & c\ приблизно 30.1
\ кінець {масив}

Приклад$\PageIndex{2}$

Вирішити трикутник, якщо:$\angle A=38^{\circ}, \quad a=40, \quad b=52$
округлити кути і довжини сторін до найближчого$10^{\text {th }}$.

Рішення

Використовуючи Закон синусів, можна сказати, що:

\ [\ почати {масив} {c}
\ розриву {\ sin 38^ {\ circ}} {40} =\ гідророзриву {\ sin B} {52}
\\ гідророзриву {0.6157} {40}\ приблизно\ гріх\ sin B} {52}\
52 *\ гідророзриву {0.6157} {40}\ приблизно\ гріх B\
0.8004\ приблизно B
\ end {масив}
\]

Так само, як і в попередньому прикладі, ми можемо знайти$\sin ^{-1}(0.8004) \approx 53.2^{\circ} .$ Але знову ж таки, є кут Quadrant II, синус якого має те саме значення$\approx 0.8004$. Кут$126.8^{\circ}$ має синус$\approx 0.8004$ і опорний кут$53.2^{\circ} .$ З,$\angle A=38^{\circ},$ обидва ці кути потенційно$\left(53.2^{\circ} \text { and } 126.8^{\circ}\right)$ можуть поміститися в трикутник з кутом.$A$

Якщо ми повернемося до діаграм, які ми розглядали раніше в цьому розділі, ми можемо побачити, як це станеться:

$clipboard_efd12136f6531749aa2a23d7e29cd3653.png$

У першій можливості$\angle C$ було б$\approx 15.2^{\circ}$
У другій можливості$\angle C$ було б$\approx 88.8^{\circ}$

$clipboard_e790ef11af5293e522db1e3ce777d75a8.png$

Щоб знайти дві можливі довжини для сторони,$c,$ нам потрібно буде вирішити два обчислення закону синусів, один з$\angle C \approx 15.2^{\circ}$ і один з$\angle C \approx 88.8^{\circ}$

\ [\ почати {масив} {c}
\ гідророзриву {40} {\ sin 38^ {\ circ}} =\ розриву {c} {\ sin 15.2^ {\ circ}}\
\ гідророзриву {40} {0.6157}\ приблизно\ розриву {c} {0.2622}\\
0,2622 *\ гідророзриву {40} {0.6157}\ приблизно c\
17.0\ приблизно c
\ end {масив}
\]

З$\angle C \approx 88.8^{\circ}$:

\ [\ гідророзриву {40} {\ sin 38^ {\ circ}} =\ гідророзриву {c} {\ sin 88.8^ {\ circ}}
\\ гідророзриву {40} {0.6157}\ приблизно\ frac {c} {
0.9998}\\ гідророзриву {40} {0.6157}\ приблизно c\\
65.0\ приблизно с
]

Отже, наші два можливі рішення будуть такими:
\ [\ begin {масив} {lll}
\ кут A=38^ {\ circ} & a = 40\
\\ кут B\ приблизно 126.8^ {\ circ} & b = 52\\
\ кут C\ приблизно 15.2^ {\ circ} & c\ приблизно 17,0
\ кінець {масив}
\]$\mathrm{OR}$
\ [\ кут A = 38^ {\ circ}\ квад a=40
\]\ [\ почати {масив} {lll}
\ кут B\ приблизно 53.2^ {\ circ} & b = 52\\
\ кут C\ приблизно 88.8^ {\ circ} & c\ приблизно 65,0
\ кінець {масив}
\]

Приклад$\PageIndex{3}$

Вирішити трикутник, якщо:

\[\angle B=73^{\circ}, \quad b=51, \quad a=92.\]

Округлите кути і довжини сторін до найближчого$10^{\text {th }}$.

Рішення

Використовуючи Закон синусів, можна сказати, що:

\[ \frac{\sin 73^{\circ}}{51}=\frac{\sin A}{92}\]

\ [\ begin {масив} {c}
\ гідророзриву {0.9563} {51}\ приблизно\ гідророзриву {\ sin A} {92}\
92 *\ гідророзриву {0.9563} {51}\ приблизно\ sin A\\
1.7251\ приблизно\ sin A
\ end {масив}\]

Як ми бачили раніше, жоден реальний кут не має синуса більше, ніж$1 .$ Тому трикутник неможливий.

Вправи

У кожній задачі вирішуйте трикутник. Довжини округлих сторін до найближчого$100^{\text {th }}$ і кут вимірює до найближчого$10^{\text {th }}$.

1. $\quad \angle A=50^{\circ}, \quad b=20, \quad a=32$
2. $\quad \angle B=40^{\circ}, \quad b=4, \quad c=3$
3. $\quad \angle A=43^{\circ}, \quad a=23, \quad b=29$
4. $\quad \angle C=20^{\circ}, \quad c=43, \quad a=55$
5. $\quad \angle B=62^{\circ}, \quad b=4, \quad a=5$
6. $\quad \angle A=75^{\circ}, \quad b=8, \quad a=3$
7. $\quad \angle B=24^{\circ}, \quad a=17, \quad b=8$
8. $\quad \angle A=40^{\circ}, \quad a=4, \quad c=5$
9. $\quad \angle A=108^{\circ}, \quad a=12, \quad b=7$
10. $\quad \angle B=117^{\circ}, \quad b=19.6, \quad c=10.5$
11. $\quad \angle A=42^{\circ}, \quad a=18, \quad c=11$
12. $\quad \angle C=27^{\circ}, \quad a=42, \quad c=37$
13. $\quad \angle C=125^{\circ}, \quad c=2.7, \quad b=5.2$
14. $\quad \angle B=115^{\circ}, \quad b=68, \quad a=92$
15. $\quad \angle A=43^{\circ}, \quad a=31, \quad b=37$
16. $\quad \angle A=28^{\circ}, \quad b=3.5, \quad a=4.3$
17. $\quad \angle C=132^{\circ}, \quad c=22, \quad b=16$
18. $\quad \angle B=114.2^{\circ}, \quad b=87.2, \quad a=12.1$
19. $\quad \angle B=52^{\circ}, \quad c=82.7, \quad b=70$
20. $\quad \angle C=65^{\circ}, \quad b=7.6, \quad c=7.1$