4.1: Закон Сінеса

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59738

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Закон синусів заснований на зв'язках прямокутного трикутника, які можуть бути створені з висотою трикутника. Часто при такому типі завдання кути позначаються великими літерами, а відповідні їм сторони позначаються літерами нижнього регістру.

$clipboard_eac733ee8f364a15422bb0e27b3f1b8a8.png$

Якщо ми скинемо перпендикуляр до основи трикутника з точки вершини, то$\angle C$ це створює два прямокутні трикутники, за допомогою яких ми можемо використовувати тригонометрію прямокутного трикутника, розглянутої в главі 1. Цей перпендикуляр буде висотою трикутника.

$clipboard_e7b09721a399178375fc67e4c99f94ca5.png$

Закон синусів походить від цієї конфігурації і дозволяє обчислити значення сторін і кутів в трикутнику без прямого кута, спираючись на інформацію про відомі сторони і кути. З огляду на правильні трикутники на діаграмі вище, ми бачимо, що:
\ [\ sin B=\ frac {h} {a}
\] і
\ [ \ sin A=\ frac {h} {b}
\]

Очистивши знаменник в кожному дробі, ми можемо побачити, що:
\ [ a\ sin b=h
\] і
\ [ \ begin {масив} {c}
b\ sin A=h\
\ text {so}\
a\ sin b\ sin A
\ end {array}
\]

Щоб поставити це в тому вигляді, в якому нормально викладено Закон синусів, ми можемо розділити по обидва боки попереднього виразу на$a b$:
\ [ \ begin {масив} {c}
a\ sin B\
\ frac {a\ sin B} {a\ sin B} =\ frac {b\ sin A} {a b}
\\ frac {\ sin B} {b} {\ sin A} {a}
\ end {array}
\] Подібний процес покаже, що$\frac{\sin C}{c}$ еквівалентний$\frac{\sin B}{b}$ і$\frac{\sin A}{a} .$ Діаграма, яку ми вивели з цього, використовувала гострий трикутник, в якому всі кути були меншими, ніж
$90^{\circ} .$ Процес, щоб показати, що це правда для тупого трикутника (який має один кут більше, ніж$90^{\circ}$) є відносно простим і залишається читачеві, щоб виявити або подивитися в іншому ресурсі.
Закон синусів
\ [ \ frac {\ sin A} {a} =\ frac {\ sin B} {b} =\ frac {\ sin C} {c}
\]

Іноді буває зручно встановити задачу з довжиною сторін в чисельнику:
Закон синусів
\ [\ frac {a} { \ sin A} =\ frac {b} {\ sin B} =\ frac {c} {\ sin C}
\]\

Розв'яжіть трикутник. Довжини округлих сторін до найближчої$100^{\text {th }}$.

$clipboard_ecd7108ed631699e9328306b1877cc836.png$

У цій задачі ми дали два кути і одну сторону. Важливо, щоб сторона, яку ми дали, відповідала одному з відомих кутів, інакше ми не зможемо використовувати Закон синусів.

$clipboard_efd6162a6b041a9fc357f97e51d067642.png$

так як ми знаємо два кути, то третій буде просто$180^{\circ}-\left(45^{\circ}+95^{\circ}\right)=$$180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}=\angle A .$ знайти довжини невідомих сторін, ми будемо використовувати Закон синусів. Ми повинні почати з вибору пари бічних кутів, для якої ми знаємо як сторону, так і кут. У цьому випадку ми знаємо, що$\angle C=95^{\circ}$ і сторона$c=5$
\ [ \ begin {масив} {c}
\ frac {c} {\ sin C} =\ frac {b} {\ sin B}\
\ frac {5} {\ sin 95^ {\ circ}} =\ frac {b} {\ sin 45^ {\ circ}}
\ end {масив}
\] Якщо помножити з обох сторін на$\sin 45^{\circ},$ потім
\ [ \ sin 45^ {\ circ} *\ розрив {5} {\ sin 95^ {\ circ}} =б
\]

Щоб прийти до приблизного значення для$\sin 45^{\circ} * \frac{5}{\sin 95^{\circ}},$ ми можемо сказати:
\ [ \ begin {array} {c}
0.7071 *\ frac {5} {0.9962}\ приблизно b\\
3.55
\ приблизно b
\ end {масив}\] Щоб знайти довжину сторони$a,$ я рекомендую використовувати точну бічний кут пара, яка була дана в задачі, а не використання приблизного значення сторони$b$, що ми тільки що вирішили для.

Це зробить наше значення для сторони$a$ більш точним:
\ [ \ begin {масив} {c}
\ frac {c} {\ sin C} =\ frac {a} {\ sin A}\
\ frac {5} {\ sin 95^ {\ circ}} =\ frac {a} {\ sin 40^ {\ circ}}
\ end {масив}
\] Множення з обох сторін$\sin 40^{\circ},$ потім
\ [ \ sin 40^ {\ circ} *\ frac {5} {\ sin 95^ {\ circ}} =a
\] Щоб прийти до приблизного значення для$\sin 40^{\circ} * \frac{5}{\sin 95^{\circ}},$ ми можемо сказати:
\ [ \ begin {масив} {c}
0.6428 *\ frac {5} {0.9962}\ приблизно\\
3.23\ приблизно
\ кінець {масив}
\]

\ begin {масив} {lll}
\ кут A = 40^ {\ circ} & a\ приблизно 3.23
\\ кут B = 45^ {\ circ} & b\ приблизно 3.55\
\ кут C = 95^ {\ circ} & c = 5
\ кінець {масив}

Приклад 2
Деякі проблеми не пов'язані з діаграмами:
Вирішіть трикутник, якщо:$\quad \angle A=40^{\circ}, \quad \angle B=20^{\circ}, \quad a=2$
округлення довжини сторін до найближчої$100^{\text {th }}$.
Так само, як і в попередньому прикладі, ми можемо почати з пошуку міри третього кута$\angle C .$ Це було б$180^{\circ}-\left(40^{\circ}+20^{\circ}\right)=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}=\angle C$
Щоб знайти відсутні сторони, ми повинні використовувати повну пару бічних кутів, яка вказана в задачі:$\angle A=40^{\circ}$ і$a=2$

Ми можемо знайти сторону$b$ першої або першої сторони$c$, неважливо, яка:
\ [ \ begin {масив} {c}
\ frac {a} {\ sin A} =\ frac {b} {\ sin B}\
\ frac {2} {\ sin 40^ {\ circ}} =\ frac {b} {\ sin 20^ {\ circ}}\
\ sin 20^ {\ circ} c} *\ гідророзриву {2} {\ sin 40^ {\ circ}} =b
\ end {масив}
\] Потім,
\ [ 0.3420 *\ frac {2} {0.6428}\ приблизно b
\] \ [ 1.06\ приблизно б
\]

Для боку$c:$
\ [ \ почати {масив} {c}
\ розриву {a} {\ sin A} =\ гідророзриву {c} {\ sin C}\
\ розриву {2} {\ sin 40^ {\ circ}} =\ розрив {c} {\ sin 120^ {\ circ}}\
\ sin 120^ {\ circ} *\ frac {2} {\ sin 40^ {\ circ}} =c
\ end {масив}
\] Потім,
\ [ 0.8660 *\ гідророзриву {2} {0.6428}\ приблизно c
\] \ [ 2.69\ приблизно c
\]

\ begin {масив} {ll}
\ кут A = 40^ {\ circ} & a = 2
\\\ кут B = 20^ {\ circ} & b\ приблизно 1,06\
\ кут C = 120^ {\ circ} & c\ приблизно 2.69
\ кінець {масив}

Вправи 4.1
У кожній задачі нижче вирішуйте трикутник. Довжини округлих сторін до найближчої$100^{t h}$

$clipboard_eb35eb9b7e4974af18f57af53957eaa70.png$

$clipboard_e2a41e1a1ec69a12f42d183fa5e3586eb.png$

$clipboard_eefcff0db20941dbb5f13172b2abfabe8.png$

7. $\quad \angle A=50^{\circ}, \quad \angle C=27^{\circ}, \quad a=3$
8. $\quad \angle B=70^{\circ}, \quad \angle C=10^{\circ}, \quad b=5$
9. $\quad \angle A=110^{\circ}, \quad \angle C=30^{\circ}, \quad c=3$
10. $\quad \angle A=50^{\circ}, \quad \angle B=68^{\circ}, \quad a=230$
11. $\quad \angle A=23^{\circ}, \quad \angle B=110^{\circ}, \quad c=50$
12. $\quad \angle A=22^{\circ}, \quad \angle B=95^{\circ}, \quad a=420$
13. $\quad \angle B=10^{\circ}, \quad \angle C=100^{\circ}, \quad c=11$
14. $\quad \angle A=30^{\circ}, \quad \angle C=65^{\circ}, \quad b=10$
15. $\quad \angle A=82^{\circ}, \quad \angle B=65.4^{\circ}, \quad b=36.5$
16. $\quad \angle B=28^{\circ}, \quad \angle C=78^{\circ}, \quad c=44$
17. $\quad \angle A=42^{\circ}, \quad \angle B=61^{\circ}, \quad a=12$
18. $\quad \angle A=42.5^{\circ}, \quad \angle B=71.4^{\circ}, \quad a=215$