3.4: Більше тригонометричних рівнянь

Коли рішення тригонометричного рівняння є одним з квадратних кутів,\(\left(0^{\circ}, 90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ} \text { and } \mathrm{so} \text { on }\right),\) то визначення всіх розв'язків між\(0^{\circ}\) і\(360^{\circ}\) може працювати трохи інакше. Калькулятор поверне деякі з цих значень, але в деяких випадках може і не бути. Якщо ми повернемося до одиничного кола, ми можемо побачити це більш чітко:

На діаграмі вище ми можемо побачити синус і косинус для\(0^{\circ}, 90^{\circ}, 180^{\circ},\) і\(270^{\circ}\) з тих\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta},\) пір ми можемо бачити,\(\tan 0^{\circ}=0, \tan 90^{\circ}\) що не визначено,\(\tan 180^{\circ}=\)
0 і\(\tan 270^{\circ}\) також не визначено.

Реальна проблема з квадратними кутами полягає у знаходженні\(\sin ^{-1}(0), \cos ^{-1}(0)\) або\(\tan ^{-1}(0)\) Калькулятор повертає значення:
\ [ \ begin {масив} {l}
\ sin ^ {-1} (0) =0^ {\ circ}
\ cos ^ {-1} (0) =90^ {\ circ}\
\ tan ^ {-1} (0) =0^ {\ circ}
\ end {масив}
\] У кожному випадку існує інша можливість, ніж відрізняється від заданого кута\(180^{\circ}\) таким чином:

\ [ \ почати {масив} {l}
\ sin ^ {-1} (0) =0^ {\ цирк}, 180^ {\ цирк}\
\ cos ^ {-1} (0) =90^ {\ circ}, 270^ {\ circ}\
\ tan ^ {-1} (0) =0^ {\ circ}, 180^ {\ circ}
\ кінець масиву}
\] Давайте розглянемо, як це використовується при розв'язанні рівняння:

Приклад 1
Вирішити задане рівняння для\(0^{\circ} \leq x<360^{\circ}\)
\ [\ tan ^ {2} x-\ tan x=0
\] Ми могли б використовувати квадратичну формулу для вирішення цього питання, але ми також можемо вирішити факторингом:
\ [ \ begin {array} {c}
\ tan ^ {2} x-\ tan x=0\
\ tan x (\ tan x-1) =0\
\ tan x=0\ text {or}\ tan x=1
\ end {array}
\] Використання калькулятора для\(\tan ^{-1}(1),\) пошуку\(\tan ^{-1}(0)\) та\(\tan ^{-1}(1)\) повернення значень\(\tan ^{-1}(0)=0^{\circ}\) і\(\tan ^{-1}(1)=45^{\circ} .\) Після того, як ми знаємо опорний кут, ми знаємо, що так як тангенс також позитивний в квадранті\(\Pi I\), рішення тут\(45^{\circ}\) і\(225^{\circ} .\) калькулятор повертає відповідь\(0^{\circ}\) для,\(\tan ^{-1}(0),\) але ми тільки що бачили, що\(\tan 180^{\circ}=0\) також.
Відповіді на це рівняння:\(x=45^{\circ}, 225^{\circ}, 0^{\circ}, 180^{\circ}\)

Інший підхід до вирішення тригонометричних рівнянь передбачає використання Піфагоріївських тотожностей, щоб зробити підстановку, щоб рівняння можна було просто вирішити квадратичною формулою. Ось приклад:

Приклад 2
Розв'яжіть дане рівняння для\(0^{\circ} \leq x<360^{\circ}\)
\ [\ sin ^ {2}\ theta-6\ cos\ theta=4
\] Зверніть увагу, що, на відміну від завдань, які ми бачили в попередньому розділі, це рівняння включає як синус, так і косинус. Щоб виправити це, ми можемо замінити\(\sin ^{2} \theta\) термін виразом\(1-\cos ^{2} \theta\)
\ [ \ begin {масив} {c}
\ sin ^ {2}\ тета-6\ cos\ theta=4\\
1-\ cos ^ {2}\ тета-6\ cos\ theta=4\\\
0=\ cos ^ {2}\ theta+6\ cos\ theta+3
\ end {масив}
\] за допомогою квадратичної формули:
\ [\ cos \ theta\ approx-5.449, -0.5505
\]

оскільки\(\cos ^{-1}(-5.449)\) це не реальний кут, ми можемо зосередитися на іншій відповіді:
\(\cos ^{-1}(-0.5505) \approx 123.4^{\circ} .\) оскільки функція косинуса також негативна в третьому квадранті, нам потрібно знайти опорний кут, який допоможе нам визначити кут третього квадранта, який є рішенням для цього рівняння:
\ [ 180^ {\ circ} -123.4^ {\ circ} =56.6^ {\ circ}
\] Отже, опорний кут дорівнює\(56.6^{\circ}\)
\ [ 180^ {\ circ} +56.6^ {\ circ} =236.6^ {\ circ}
\] Розв'язки є\(\theta \approx 123.4^{\circ}, 236.6^{\circ}\)

Приклад 3
Розв'яжіть задане рівняння для\(0^{\circ} \leq x<360^{\circ}\)
\ [ 2\ cos ^ {2}\ тета-\ sin\ theta=\ sin ^ {2}\ theta+1
\]

Спочатку\(1-\sin ^{2} \theta\) підставимо\(\cos ^{2} \theta\)
\ [ \ begin {масив} {c}
2\ cos ^ {2}\ тета-\ sin\ theta\ sin\ theta =\ sin ^ {
2}\ тета+1\\ 2\ left (1-\ sin ^ {2}\ sin ^ {2}\ тета+1\
2-2\ sin ^ {2}\ тета-грін\ тета=\ гріх ^ {2}\ тета+1\\
0=3\ sin ^ {2}\ theta+\ sin\ theta-1
\ end {масив}
\] Розв'язування цього за допомогою квадратичної формули дає нам розв'язки\(\sin \theta \approx-0.7676,0.43426\)
\ [\ sin ^ {-1} (-0.7676)\ approx-50.1^ {
\ circ} \] \ [\ sin ^ {-1} (0.43426)\ приблизно 25.7^ {\ circ}
\]

Спочатку ми попрацюємо з позитивним рішенням. оскільки синус також позитивний у квадранті II, інший кут буде\(180^{\circ}-25.7^{\circ}=154.3^{\circ}\)

Для негативного розв'язку ми знаємо, що синус негативний у квадрантах III і\(\mathrm{IV},\) так з опорним кутом\(50.1^{\circ},\) в третьому квадранті\(180^{\circ}+50.1^{\circ}=230.1^{\circ}\) і в четвертому\(360^{\circ}-50.1^{\circ}=309.9^{\circ}\)
квадранті Набір рішень є\(\theta \approx 25.7^{\circ}, 154.3^{\circ}, 230.1^{\circ}, 309.9^{\circ}\)

Вправи 3.4
Розв'яжіть задані рівняння для\(0^{\circ} \leq x<360^{\circ}\)
1. \(\quad 9 \sin ^{2} \theta-6 \sin \theta=1\)
2. \(\quad 4 \cos ^{2} \theta+4 \cos \theta=1\)
3. \(\quad \sec ^{2} \alpha-2 \sec \alpha-3=0\)
4. \(\quad \csc ^{2} \beta+4 \csc \beta-10=0\)
5. \(\quad \csc ^{2} x+4 \csc x-7=0\)
6. \(\quad 3 \cot ^{2} x-3 \cot x-1=0\)
7. \(\quad 2 \sin ^{2} x=1-\cos x\)
8. \(\quad \cos ^{2} \alpha+4=2 \sin \alpha-3\)
9. \(\quad \cos ^{2} \beta-3 \sin \beta+2 \sin ^{2} \beta=0\)
10. \(\quad \sin ^{2} \theta=2 \cos \theta+3 \cos ^{2} \theta\)
11. \(\quad \sec ^{2} x=2 \tan x+4\)
12. \(\quad 3 \tan ^{2} x=\sec x+2\)
13. \(\quad \cos \alpha+1=2 \cos 2 \alpha\)
14. \(\quad \cos 2 x-3 \sin x-2=0\)
15. \(\quad \csc ^{2} \theta=\cot \theta+5\)
16. \(\quad \csc \theta+5=2 \cot ^{2} \theta+2\)