2.5: Поєднання перетворень

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59676

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У попередніх розділах ми бачили, як різні перетворення діють на тригонометричні функції, і ми працювали з першими трьома (амплітудою, періодом та вертикальним зсувом) у поєднанні один з одним. Поєднання фазового зсуву з іншими перетвореннями складно через те, як період і фазовий зсув взаємодіють один з одним.
Тепер у нас є два стандартних рівняння для синусоїди:
\ [ Y=A\ sin (B x+c) +D
\] і
\ [ Y=a\ cos (B x+c) +D
\] $A$ і амплітуда і$D,$ вертикальний зсув впливають на$y$ -вісь, в той час як$B$ і$C$ вплинути на$x$ -вісь.
$clipboard_ebb824a9ee2cb6a5a8ede008abf31e3a4.png$
Давайте розглянемо приклад, в якому нам потрібно поєднати зміну періоду графіка зі зсувом фаз.

Приклад 1
Графік принаймні одного періоду заданої функції. Вкажіть важливі значення по$y$ осях$x$ і.
$y=\cos (4 x+\pi)$
Перетворення в цьому прикладі впливають лише на$x$ -вісь. Період функції$\frac{2 \pi}{B}=\frac{2 \pi}{4}=\frac{\pi}{2} .$ так, функція завершить один повний цикл на відстані$\frac{\pi}{2}$ вздовж$x$ -осі.

Однак через зсув фаз цей графік не буде починатися з 0 і закінчуватися на$\frac{\pi}{2} .$ Нам потрібно знайти нову початкову точку, яка викликана зсувом фази. Отже, ми беремо те, що називається «аргумент», або що це ми знаходимо косинус:$(4 x+\pi)$ і встановити, що дорівнює нулю.
\ [ \ begin {масив} {c}
4 x+\ pi = 0\\
4 x=-\ pi\\
x=-\ frac {\ pi} {4}
\ end {масив}
\] Це наша нова відправна точка. Щоб визначити критичні значення вздовж$x$ -осі, нам потрібно визначити, наскільки далеко кожному «стрибка»$^{\prime \prime}$ буде дано період$\frac{\pi}{2}$
\ [\ frac { \ pi} {2} *\ frac {1} {4} =\ frac {\ pi} {8}
\] Отже, кожне наступне критичне значення вздовж$x$ -осі буде бути на відстані$\frac{\pi}{8}$ від попереднього. Якщо ми почнемо з нашої нової відправної точки для цієї функції,$-\frac{\pi}{4},$ то якщо ми$\frac{\pi}{8}$ додамо в цілому 4 рази, ми прийдемо до кожного з п'яти критичних значень для цієї функції.

Так, кожне наступне критичне значення по$x$ -осі буде на відстані$\frac{\pi}{8}$ від попередньої. Якщо ми почнемо з нашої нової відправної точки для цієї функції,$-\frac{\pi}{4},$ то якщо додати$\frac{\pi}{8}$ в цілому 4 рази, ми дійдемо до кожного з п'яти критичних значень для цієї функції
\ [\ begin {array} {c}
-\ frac {\ pi} {4} +\ frac {\ pi} {8} =-\ frac {2\ pi} {8} c {\ pi} {8}\ \
-\ гідророзриву {\ pi} {8} +\ гідророзриву {\ pi} {8} =0\\
0+\ гідророзриву {\ pi} {8} =\ гідророзриву {\ pi} {8} +
\ frac {\ pi} {8} =\ гідророзриву {2\ pi} {8} =\ гідророзриву {2\ pi} {8} =\ frac {\ pi} 4}
\ end {array}
\] Таким чином, критичні значення вздовж$x$ -осі будуть:
\ [ -\ frac {\ pi} {4}, -\ frac {\ pi} {8}, 0,\ frac {\ pi} {\ pi} {8},\ text {і}\ frac {
\ pi} {4}\] Зауважте, що відстань між початковою точкою$-\frac{\pi}{4}$ і кінцевою точкою$\frac{\pi}{4}$ дорівнює періоду, який ми знайшли на початку завдання, який був$\frac{\pi}{2} .$ Тепер давайте пографуємо функцію:

$clipboard_e494673ad294ae4db40a0769177f19287.png$

так як змін$y$ -осі не було, то амплітуда для функції дорівнює 1, а вертикальний зсув дорівнює 0. Уздовж$x$ -осі ми бачимо позитивну синусоїдальну функцію, яка починається$\operatorname{at}\left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)$ потім йде вгору вниз через (0,0) до$\left(\frac{\pi}{8},-1\right)$ і назад$\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ до завершення одного повного циклу графіка.$\left(-\frac{\pi}{8}, 1\right),$

Давайте розглянемо приклад, в якому є деякі зміни до$y$ -осі, а також$x$ -осі.

Приклад 2
Графік принаймні одного періоду заданої функції. Обов'язково визначте критичні значення по$y$ осях$x$ і.
\ [ y=-\ frac {5} {2} +\ cos (3 x-\ pi)
\] Запам'ятайте, які коефіцієнти впливають на яку вісь у графіку:
$clipboard_e257de31928815f066ea32cb3d39313f4.png$
У цьому прикладі амплітуда є,$1,$ оскільки перед функцією косинуса немає коефіцієнта. Вертикальний зсув - це те,$-\frac{5}{2},$ що змістить функцію вниз на відстань 2,5 на$y$ осі. Так, серединна лінія або «нуль» точки графіка будуть при$-2.5,$ максимальному$y$ значенні буде -1,5, а мінімальне$y$ значення буде -3,5

Уздовж$x$ -осі період для графіка буде$\frac{2 \pi}{B}=\frac{2 \pi}{3},$ так як коефіцієнт$B$ в цій задачі -$3 .$ Щоб знайти нову початкову точку, ми візьмемо аргумент функції косинус і встановимо його рівним нулю.
\ [ \ begin {масив} {c}
3 x-\ pi = 0\\
3 x=\ pi\\
x=\ pi *\ frac {1} {3} =\ frac {\ pi} {3}
\ end {масив}
\] Отже, наша нова відправна точка буде в$\frac{\pi}{3} .$ Щоб визначити інші критичні значення вздовж$x$ -осі, ми можемо дізнатися, наскільки далеко буде кожен «стрибок» між критичними значеннями. Для цього беремо період$\left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ і ділимо його на 4 (або множимо на
$\left.\frac{1}{4}\right)$
\ [ \ frac {2\ pi} {3} *\ frac {1} {4} =\ frac {2\ pi} {12} =\ frac {\ pi} {6}
\] Тепер ми можемо додати це значення до нашої нової відправної точки чотири рази, щоб визначити іншу критичну значення вздовж$x$ -осі.

\ [ \ begin {масив} {c}
\ гідророзриву {\ pi} {3} +\ гідророзриву {\ pi} {6} =\ гідророзриву {2\ pi} {6} =\ frac {3\ пі} {6} =\ гідророзриву {\ pi} {2}\\ гідророзриву {3\ pi} {6} =\ гідророзриву {
\ pi} {2}\\ гідророзриву {3\ pi} {6} +\ frac {\ pi} {6} =\ гідророзриву {4\ pi} {6} =\ гідророзриву {2
\ пі} {3}\\ гідророзриву {4\ pi} {6} +\ розриву {\ pi} {6} =\ frac {5\ pi} {6}\
\ гідророзриву {5\ pi} {6} +\ frac {\ pi } {6} =\ pi
\ end {масив}
\] Таким чином, критичними значеннями вздовж$x$ -осі будуть:
\ [\ frac {2\ pi} {6},\ frac {3\ pi} {6},\ frac {5\ pi} {6},\ text {і}\ frac {6\ pi} {6} [
\ begin {масив} {c}
\ текст {або} \\
\ гідророзриву {\ pi} {3},\ frac {\ pi} {2},\ frac {2\ pi} {3},\ frac {5\ pi} {6},\ text {і}\ pi
\ end {масив}
\]

Знову ж таки, зверніть увагу, що відстань вздовж$x$ -осі від початкової точки до кінцевої точки - це період:$\frac{2 \pi}{3} .$ Тепер давайте графік функції:

$clipboard_edcc0cbd5debd85380f2c4067dcc0d705.png$

Давайте розглянемо ще один приклад.
Приклад 3
Іноді коефіцієнт$B$ відображається з аргументу, як це робиться в наведеній нижче задачі.

Графік принаймні одного періоду заданої функції. Обов'язково включайте критичні значення по$y$ осях$x$ і.
$y=4 \sin 2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1$
Спочатку давайте подивимося, як впливають на$x$$y$ осі і перетворення в цій задачі.

$clipboard_e57cd6c1f6a18211f732d5957d71dd855.png$

\ [ y=4\ sin 2\ left (x+\ frac {\ pi} {3}\ right) -1
\] Амплітуда у цій задачі дорівнює 4, а вертикальний зсув дорівнює -1
Період для цього графіка$\frac{2 \pi}{B}=\frac{2 \pi}{2}=\pi .$ Зауважте, що значення$B$ дорівнює 2 в цьому прикладі, хоча воно було враховано з решти аргументу.

Нову відправну точку для графіка насправді легше знайти в задачах такого типу. Якщо взяти аргумент таким, яким він є і встановимо його рівним нулю:
\ [ 2\ left (x+\ frac {\ pi} {3}\ право) =0\] ми можемо розділити через обидві сторони на 2, щоб скасувати множник$B$:
\ [\ begin {масив} {c}
\ frac {2 \ left (x+
\ frac {\ pi} {3}\ правий)} {2\ left (x+\ frac {\ pi} {3}\ право)} {2} =\ гідророзриву {0} {2}\\
x+\ гідророзриву {\ pi} {3} =0\\
x=-\ гідророзриву {\ pi} {3}
\ end {масив}
\]

Отже, нова відправна точка для функції -$-\frac{\pi}{3}$
Тепер давайте знайдемо інші критичні значення вздовж$x$ -осі. Період для цього графіка полягає в$\pi,$ тому, що «стрибок» між критичними значеннями вздовж$x$ -осі складе:
\ [ \ pi *\ frac {1} {4} =\ frac {\ pi} {4}
\]

Щоб знайти решту критичних значень, нам потрібно$\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ чотири рази додати$\frac{\pi}{4}$ до початкової точки графа:
\ [ \ begin {масив} {c}
-\ frac {\ pi} {3} +\ frac {\ pi} {4} =-\ frac {4\ pi} {12} +\ frac {3\ pi} {12} =-\ frac {\ pi} {12}
-\ гідророзрив {\ pi} {12} +\ гідророзриву {3\ pi} {12} = \ гідророзриву {2\ pi} {12} =\ гідророзриву {\ pi} {6}\
\ гідророзриву {2\ пі} {12} +\ гідророзриву {3\ pi} {12} =\ гідророзриву {5\ pi} {12} +
\ гідророзриву {3\ пі} {12} {12} =\ гідророзриву {12} =\ гідророзриву {8\ пі} 12} =\ frac {2\ pi} {3}
\ end {масив}
\] Таким чином, критичні значення вздовж$x$ -осі будуть:
\ [ -\ розрив {4\ pi} {12}, -\ розрив {1\ pi} {12},\ frac {2\ pi} {12},\ frac {5\ pi} {12},\ text {і}\ frac {8\ pi} {12}
\] Або
\ [ -\ frac {\ pi} {3}, -\ frac {\ pi} {12},\ frac {\ pi} {6},\ frac {5\ pi} {12},\ text {and}\ frac {2\ pi} {3}
\]

Тепер, коли ми розглянули кожне з чотирьох перетворень, давайте використаємо цю інформацію, щоб намалювати графік. Спочатку$y$ -вісь - амплітуда дорівнює 4, а вертикальний зсув -1:

$clipboard_ed07838c200c939d01124cf05f1974c6c.png$

Тепер давайте заповнимо інформацію для$x$ -осі. Критичні значення вздовж$x$$\operatorname{are}-\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{12},$ -осі і$\frac{2 \pi}{3}$

$clipboard_ef1bd587979bfb1f4500b1c3c05fc8f8b.png$

Функція, яку ми графуємо, є додатною синусоїдальною функцією, тому вона почнеться з «середньої лінії» або нульового значення (яке в даному випадку -1), підніметься до максимуму, назад через середню лінію до мінімуму і назад до середини лінії:

$clipboard_e6208561bbb241ccb8faf491311d6e17e.png$

1. $\quad y=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$
2. $\quad y=\sin (x-\pi)$
3. $\quad y=3 \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)$
4. $y=\frac{1}{2} \cos (x+\pi)$
5. $\quad y=3+\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$
6. $\quad y=-2+\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$
7. $\quad y=\sin (2 x-\pi)$
$8 . \quad y=\sin \left(4 x+\frac{\pi}{4}\right)$
$9 . \quad y=2 \cos \left(\frac{x}{2}+\pi\right)$
$10 . \quad y=-3 \sin (6 x-\pi)$
11. $y=-\frac{1}{3} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right) \quad$

12. $\quad y=\frac{1}{2} \cos \left(\frac{x}{2}-\pi\right)$
13. $\quad y=2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)-1$
$14 . \quad y=1+2 \cos \left(3 x+\frac{\pi}{2}\right)$
15. $\quad y=3 \cos 2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$
16. $\quad y=-4 \sin 2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$
$17 . \quad y=\sin \frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$
18. $\quad y=3+2 \sin 3\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$

У$19-22,$ задачах визначають рівняння для показаної функції.

$clipboard_e6cbcc40aacf8e397aedba539b157bf21.png$

$clipboard_e54ab2619b26d18c0c359eac70cfb15a8.png$

Зіставте функцію з відповідним графіком
23. $\quad y=-\cos 2 x$
24. $\quad y=\frac{1}{2} \sin x-2$
25. $\quad y=2 \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$
26. $\quad y=-3 \sin \frac{1}{2} x-1$
27. $\quad y=\sin (x-\pi)-2$
28. $\quad y=-\frac{1}{2} \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$
29. $\quad y=\frac{1}{3} \sin 3 x$
30. $\quad y=\cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)$

$clipboard_e4ea47b6f6c31e05d333002172c1ad9ac.png$

$clipboard_e56e548380a90b8e6c070529cd038a1ea.png$

Визначте амплітуду, період, вертикальний зсув та фазовий зсув для кожної функції та графік принаймні одного повного періоду. Обов'язково визначте критичні значення по$y$ осях$x$ і.
31. $\quad y=2 \cos \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)-1$
32. $\quad y=-4 \cos (3 x-2 \pi)$
33. $\quad y=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$
$34 . \quad y=-\sin (3 x+\pi)$
35. $\quad y=3 \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+1$
36. $\quad y=-2 \sin \left(3 x-\frac{\pi}{2}\right)+4$
37. $\quad y=-\frac{1}{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)-2$
38. $\quad y=2-\cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$