2.4: Зсув фаз

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59668

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Останньою формою перетворення ми поговоримо в графіку тригонометричних функцій є зсув фаз, або горизонтальне зміщення. Поки ми розглянули амплітудні, періодні та вертикальні зсувні перетворення тригонометричних функцій. У стандартному рівнянні$y=A \sin (B x)+D,$ вони відповідають коефіцієнтам$A, B$ і$D .$ Зверніть увагу, що коефіцієнти амплітуди та вертикального зсуву,$(A \text { and } D),$ які впливають на$y$ вісь -, відбуваються поза тригонометричною функцією, тоді як коефіцієнт, який впливає на період графіка. вздовж$x$ -осі відбувається всередині синусоїдальної функції. Це справедливо і щодо фазового зсуву.
Якщо розглядати загальне рівняння:
\ [ Y=A\ sin (B x+c) +D
\] константа$C$ вплине на зсув фази, або горизонтальне зміщення функції. Давайте розглянемо простий приклад.

Графік хоча б одного періоду заданої функції:$\quad y=\sin (x+\pi)$ Обов'язково вкажіть важливі точки вздовж$y$ осей$x$ і.
Давайте розглянемо цю функцію, подивившись на таблицю значень.
$clipboard_eea838b016f267b5815be7961be0f71cd.png$

Тепер давайте розглянемо графік в$y=\sin (x+\pi)$ порівнянні зі стандартним графіком$y=\sin x$

$clipboard_ea97568fc29ad3b695c44e798e3a63cb4.png$

Зверніть увагу, що якщо ми візьмемо стандартний графік$y=\sin x$ і перетягнути його назад вздовж$x$ -осі відстань$\pi,$ ми б мати графік Це тому$y=\sin (x+\pi)$, що кожне$x$ значення має$\pi$ додав до нього, так щоб прийти до$x$ значення, яке виробляє конкретний $y$-value, нам потрібно було б відняти$\pi$. Ось приклад:

$clipboard_eafd6029e16e02557d6bd444bbcdec9f2.png$

У таблиці вище ми бачимо стандарт$x$ і$y$ значення для графіка синусоїдальної функції. У наведеній нижче таблиці ми додаємо стовпець, який показує значення, яке$x$ повинно бути для того,$x+\pi$ щоб бути стандартними значеннями:

$clipboard_e05ce85703e45666c62b4cfea8cf799fa.png$

Ось графік цих значень:

$clipboard_e95f548b13685dffd12f70d8af31280de.png$

Це той самий графік$y=\sin (x+\pi)$, який ми бачили на попередній сторінці, але прив'язаний до різних точок на$x$ -осі. Будь-який граф буде правильною відповіддю на питання, яке запитує принаймні один період графіка$y=\sin (x+\pi)$
Давайте розглянемо інший приклад:

Приклад 2
Графік хоча б одного періоду заданої функції:$y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ Обов'язково вкажіть важливі точки вздовж$y$ осей$x$ і.
У цьому спрощеному прикладі ми дійсно маємо лише одне перетворення, про яке слід турбуватися - фазовий зсув. Зверніть увагу, що амплітуда, період та вертикальний зсув були залишені. При розгляді синусоїдального або косинусного графіка, який має фазовий зсув, хорошим способом для початку графіка функції є визначення нової відправної точки графіка. У попередньому прикладі ми бачили, як функціонує функція$y=\sin (x+\pi)$

зрушили графік на відстань вліво і зробили нову початкову точку синусоїдальної кривої$\pi$$-\pi$

При побудові графіків стандартної синусоїдальної кривої ми, як правило, зацікавлені в квадратних кутах, які створюють максимальну, мінімальну та нульову точки графіка. У графіку функції$y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right),$ ми хочемо знати, які значення$x$ буде виробляти квадратні кути, коли ми додамо$\frac{\pi}{3}$ до них.

Отже, для визначення нової відправної точки ми хочемо знати рішення рівняння$x+\frac{\pi}{3}=0$
\ [\ qquad \ begin {масив} {r}
x+\ frac {\ pi} {3} =0\
-\ frac {\ pi} {3} -\ frac {\ pi} {3}\\
x=-\ frac {\ pi} {3}
\ end {масив}
\]

Це нова відправна точка для графіка$y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) .$ Оскільки цей графік має стандартний період, «стрибок» між кожним з квадратних кутів буде
$\frac{\pi}{2} .$ Для графіка одного періоду типової тригонометричної функції нам знадобиться принаймні п'ять квадратних значень кута. Отже, якщо наша нова відправна точка$-\frac{\pi}{3}$, то наступним критичним значенням вздовж$x$ -осі буде:
\ [ -\ frac {\ pi} {3} +\ frac {\ pi} {2} =-\ frac {2\ pi} {6} +\ frac {3\ pi} {6} =\ frac {\ pi} {6}
\] Тоді наступні критичні значення будуть:
\ [почати {масив} { c}
\ гідророзриву {\ pi} {6} +\ гідророзриву {\ pi} {2} =\ гідророзриву {\ pi} {6} +\ гідророзриву {3\ pi} {6} =\ гідророзриву {2\ pi} {3}\\ гідророзриву {4
\ pi} {6} +\ гідророзриву {3\ pi} {6}} =\ гідророзриву {7\ pi} {6}\\ гідророзриву {7
\ pi} {6} +\ гідророзриву {3\ pi} {6} =\ гідророзриву {10\ пі} {6} =\ frac {5\ pi} {3}
\ end {масив}
\]

Отже, п'ять критичних значень вздовж$x$ -осі:
\ [ -\ frac {2\ pi} {6},\ frac {\ pi} {6},\ frac {4\ pi} {6},\ frac {6}\ text {і}\ frac {10\ pi} {6}
\] або, у зменшеному вигляді:
\ [ -\ frac {pi} {3},\ гідророзриву {\ pi} {6},\ гідророзриву {2\ pi} {3},\ frac {7\ pi} {6}\ текст {and}\ frac {5\ pi} {3}
\] Для того, щоб зробити графік функції, ми поставимо ці значення вздовж$x$ -осі і побудуємо стандартні квадратні$y$ -значення, щоб вони збігалися з ними:

$clipboard_e7a2081f121713a784b96d06dec9e7796.png$

$y$Значення -значення для функції синуса починаються з нуля, піднімаються до максимуму, назад через нуль до мінімуму, а потім назад до нуля:

$clipboard_e6a3a76c56f36b6904e27204cc40f4294.png$

Підключення цих точок для створення синусоїдальної кривої дає наступний графік:

$clipboard_efb0a49759e8bd757f4daf0701154e076.png$

Вправи 2.4
Зіставте кожну функцію з відповідним графіком.
1. $\quad y=\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$
2. $\quad y=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$
3. $\quad y=\cos x-1$
4. $\quad y=\sin x+1$
5. $\quad y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$
6. $\quad y=1-\cos x$
7. $\quad y=\sin x-1$
8. $\quad y=\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$

$clipboard_e1dd2353d5fa336008d23c08401f4509c.png$

$clipboard_e9ff9ee4754f9eb6aace5fc83fee5040b.png$

$clipboard_ee6a49a80cce1635f165c4124fa154b2c.png$

$clipboard_e94fb0d33b269c67405bd879e413c6069.png$

Намалюйте принаймні один період для кожної функції. Обов'язково вкажіть важливі значення по$y$ осях$x$ і.
9. $\quad y=\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$
$10 . \quad y=\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$
11. $\quad y=\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$
12. $\quad y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$
13. $\quad y=\sin \left(x-\frac{3 \pi}{4}\right) \quad$

14. $\quad y=\cos \left(x+\frac{3 \pi}{4}\right)$
15. $\quad y=\cos \left(x+\frac{2 \pi}{3}\right) \quad$

16. $\quad y=\sin \left(x-\frac{2 \pi}{3}\right)$