2.3: Вертикальний зсув тригонометричної функції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59684

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Якщо константа додається або віднімається до тригонометричної функції, це вплине на$y$ -значення функції Якщо врахувати функцію,$y-5+\sin x,$ то кожне зі стандартних$y$ -значень буде додано 5 до if, що змістило б графік вгору на 5 одиниць.
Наведена нижче діаграма розглядає лише квадратні значення для функції синуса:
\ begin {таблична} {|c|c|c|}
\ hline$\theta$$\sin \theta$ &$5+\sin \theta$
\\ hline 0 & 0 & 5\
\ hline$\pi / 2$ & 1 & 6\\\\
\ hline$\pi$ & 0 & 5\\
\ hline$3 \pi / 2$ & -1 & 4\\
\ hline$2 \pi$ & 0 & 5\\ hline\
\ hline
\ end {табличний}

$clipboard_ede5c070d07c8fe55cf1bb0789cfb4041.png$

Іноді$x$ -вісь проводиться через лінію, яка є новим «нулем» або «середньою лінією» для функції - в цьому випадку це було б$y-5$

$clipboard_e87e20b7638d21dc26d41fc558583cbb8.png$

Так само від'ємна константа переміщує графік вниз, оскільки кожне значення y буде меншим за відповідне$y$ значення у стандартній синусоїдальній функції

$clipboard_eaa9d8adfd3a3e651563da20ddf802696.png$

У попередніх прикладах константа була записана перед функцією синуса для наочності. Часто константа записується після функції:
\ [ \ begin {масив} {c}
y-\ sin x+5\
\ mathrm {or}\\
y-\ sin x-2
\ end {масив}
\]

Зараз ми розглянули три з чотирьох перетворень тригонометричних функцій, які розглядаються в цій главі - амплітуду, період і вертикальний зсув. Загальним рівнянням для синусоїди, що включає ці три перетворення, буде:
\ [ Y=A\ sin (B x) +D
\] Або
\ [ Y=A\ cos (B x) +D
\] При визначенні рівняння з графіка, який передбачає вертикальний зсув, значення$A$ волі бути половиною відстані між максимальним і мінімальним значеннями:
\ [ A=\ frac {m a x-m i n} {2}
\] і значенням$D$ буде середнє значення максимального і мінімального значень:
\ [ D=\ frac {m a x+m i n} {2}
\]

Приклад
Визначити рівняння, яке задовольняє заданому графіку.

$clipboard_eb9a5a41b697448191e95f61ae0e448b2.png$

На цьому графіку максимальне$y$ значення дорівнює 6, а мінімальне$y$ -значення -$-2 .$ Середнє з цих двох:
\ [ \ frac {m a x+m i n} {2} =\ frac {6+ (-2)} {2} =\ frac {4} {2} =2=D
\] - значення$D,$ вертикального зсуву.
Відстань між 6 і -2 дорівнює$6-(-2)=8 .$ половині відстані між$\max$ і$\min$$4,$ є значенням$A$
\ [ \ frac {m a x-m i n} {2} =\ frac {6- (-2)} {2} =\ frac {8} {2} =4=A
\]

Графік завершує один повний цикл між 0 і$3 \pi,$ таким чином період буде$3 \pi$ і значення$B$ буде$B=\frac{2 \pi}{P}=\frac{2 \pi}{3 \pi}=\frac{2}{3}=B .$ Таким чином, правильним рівнянням для графіка буде:
\ [ y=4\ sin\ frac {2} {3} x+2
\]

Вправи 2.3
Визначте амплітуду, період і вертикальний зсув для кожної функції нижче і графік один період функції. Визначте важливі точки на$y$ осях$x$ і.
1. $\quad y=\sin x+1$
2. $\quad y=\cos x-1$
3. $\quad y=2 \cos x-\frac{1}{2}$
4. $\quad y=5 \sin x+4$
5. $\quad y=-\sin \left(\frac{1}{4} x\right)+1$
6. $\quad y=-\cos (2 x)+7$
7. $\quad y=\frac{1}{3} \sin (\pi x)-4$
8. $\quad y=-\frac{1}{2} \cos (2 \pi x)+2$
9. $\quad y=5 \cos \left(\frac{1}{2} x\right)+1$
$10 . \quad y=4 \sin \left(\frac{1}{3} x\right)-1$
11. $\quad y=3 \cos x+2$
12. $\quad y=2 \sin x+3$
13. $\quad y=2-4 \cos (3 x)$
14. $\quad y=5-3 \sin (2 x)$

Визначте рівняння, яке задовольняє заданому графіку.

$clipboard_ef06827032e823eb3136b6c1ebd4b1738.png$

$clipboard_e43a8453a2e534595bf2ec5bd31d3044e.png$