2.1: Тригонометричні функції негострих кутів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59667

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

2.1 Тригонометричні функції негострих кутів
У розділі$1,$ ми дізналися про тригонометричні функції позитивних гострих кутів, що виникають всередині прямих трикутників. Якщо ми хочемо розширити визначення тригонометричних функцій, то нам потрібно визначити, як визначити значення для синуса і косинуса інших кутів. Для цього розглянемо прямокутний трикутник, намальований на координатних осях. Позитивним гострим кутом$\theta$ буде кут, створений між$x$ -віссю і гіпотенузою трикутника. Довжини двох катетів трикутника будуть$x$ і$y$ координатами точки в першому квадранті.
$clipboard_e31c267b0cd6633f99e8553b725ec74f2.png$

$clipboard_e0d60d9059d7786e85a627372bc090510.png$

На зображенні вище ми бачимо трикутник в першому квадранті з гіпотенузою
1. У цій ситуації значення$\sin \theta=\frac{\rho p p}{h y p}=\frac{y}{1}=y,$ якої є якраз$y$ -координата точки у верхній частині трикутника. Відповідно, значення$\cos \theta=\frac{a d j}{h y p}=$$\frac{x}{1}=x,$ або значення$x$ -координати тієї ж точки.

Це дозволяє нам знайти синус або косинус для того, що відомі як квадратні кути - кути, кратні$90^{\circ} .$ Якщо ми подивимося на одиничне коло (коло з радіусом 1), то ми можемо побачити значення синуса і косинуса для цих кутів.

$clipboard_e51775e6d82d295f9257f54f13b8de9d1.png$

На попередній схемі ми бачимо значення синуса і косинуса квадратних кутів:
\ [ \ cos 0^ {\ circ} =1\ quad\ cos 90^ {\ circ} =0\ quad\ cos 180^ {\ circ} =-1\ quad\ cos 270^ {\ circ} =0
\] $\sin 0^{\circ}=0 \quad \sin 90^{\circ}=1 \quad \sin 180^{\circ}=0 \quad \sin 270^{\circ}=-1$
Якщо взяти радіус довжини 1 і повернути його лічильник- за годинниковою стрілкою в$y$ координатній площині координати$x$ і точки на кінчику будуть відповідати значенням косинуса і синуса кута, який створюється при обертанні. Давайте розглянемо приклад у другому квадранті. Якщо ми повернемо відрізок лінії довжиною 1 на 120 «, він закінчиться в квадранті II.
$clipboard_e3a1e889097ae0a19d1ee00ca837c27bb.png$
На схемі вище ми помічаємо кілька речей. Радіус довжини 1 був повернутий$120^{\text {ento }}$ квадрантом II. Якщо потім скинути перпендикулярну лінію від кінцевої точки радіуса до$x$ -осі, ми створимо трикутник у квадранті II. Зверніть увагу, що кут додатковий до$120^{\circ}$ з'являється в трикутнику, і це дозволяє нам знайти довжини сторін трикутника і, отже, значення для$x$ і$y$ координати точки на кінчику радіуса.

Всякий раз, коли кут більше ніж$90^{\circ}$ створюється на осях координат, просто скиньте перпендикуляр до$x$ -осі. Створений кут є опорним кутом. Значення тригонометричних функцій кута повороту і опорного кута будуть відрізнятися тільки своїм знаком.$(+,-) .$ На наступній сторінці наведені приклади для Квадрантів$\mathbb{1}$,
III і IV.

$clipboard_e64b03e3d4642a799307136eaa920a426.png$

$clipboard_e963abb1fb1c273cd235acf8136662014.png$

$clipboard_e653285009f7165d2cbb241cafcc9caaf.png$

Процес пошуку опорних кутів залежить від того, в якому квадранті закінчується кут.
Приклади
Знайдіть опорний кут для наступних кутів:
$1.128^{\circ}$
$2.41^{\circ}$
$3.327^{\circ}$
1. Кут$128^{\circ}$ закінчується в квадранті II. Щоб знайти опорний кут, ми б відняти кут від$180^{\circ}: \quad 180^{\circ}-128^{\circ}=52^{\circ}$

$clipboard_e937cf910af7cd6c22699c362c546b730.png$

2. Кут$241^{\circ}$ закінчується в III квадранті. Щоб знайти опорний кут, ми б відняти$180^{\circ}$ від кута:$\quad 241^{\circ}-180^{\circ}=61^{\circ}$
$clipboard_e073aff23423362f76511ecf5d0559489.png$
3. Кут$327^{\circ}$ закінчується в IV квадранті. Щоб знайти опорний кут, ми віднімаємо кут з$360^{\circ}: \quad 360^{\circ}-327^{\circ}=33^{\circ}$
$clipboard_e05098219a4b165740b59a1f7daebcb58.png$
Після того, як ми знаємо опорний кут, ми можемо знайти тригонометричні функції для самого початкового кута. У прикладі$1,$ ми мали$128^{\circ},$ кут в квадранті II з опорним кутом$52^{\circ} .$ Тому, якщо ми хочемо знайти синус, косинус і тангенс,$128^{\circ},$ то ми повинні знайти синус, косинус і тангенс$52^{\circ}$ і застосувати відповідний позитивний або негативний знак.

Приклад 1 Квадрант II
У квадранті II$x$ -координати від'ємні, а$y$ -координати - позитивні. Це означає, що$\cos \theta<0$ і$\sin \theta>0 .$ значення для цього процесу наведені нижче:
$\sin 52^{\circ} \approx 0.7880$
$\sin 128^{\circ} \approx 0.7880$
$\cos 52^{\circ} \approx 0.6157 \quad \cos 128^{\circ} \approx-0.6157$
$\tan 52^{\circ} \approx 1.280 \quad \tan 128^{\circ} \approx-1.280^{\circ}$
Приклад 2 Квадрант III
У квадранті III$x$ -координати від'ємні і$y$ -координати також негативні. Це означає, що$\cos \theta<0$ і$\sin \theta<0 .$ значення для цього процесу наведені нижче:
$\sin 61^{\circ} \approx 0.8746 \quad \sin 241^{\circ} \approx-0.8746$
$\cos 61^{\circ} \approx 0.4848$
$\cos 241^{\circ} \approx-0.4848$
$\tan 61^{\circ} \approx 1.8040 \quad \tan 241^{\circ} \approx 1.8040$
Приклад 3 Квадрант IV
У квадранті IV,$x$ -координати позитивні і$y$ -координати є негативними. Це означає, що$\cos \theta>0$ і$\sin \theta<0 .$ значення для цього процесу наведені нижче:
$\sin 33^{\circ} \approx 0.5446$
$\sin 327^{\circ} \approx-0.5446$
$\cos 33^{\circ} \approx 0.8387$
$\cos 327^{\circ} \approx 0.8387$
$\tan 33^{\circ} \approx 0.6494 \quad \tan 327^{\circ} \approx-0.6494$

$clipboard_e5dc5691f7e27a0bd4490d5ba56859b39.png$

У квадранті I ВСІ тригонометричні функції позитивні. У квадранті II функція SIN позитивна (як і КСК).
У квадранті III функція TAN позитивна (як і COT).
У квадранті IV функція COS позитивна (як і SEC).
$clipboard_ee7dbd49153c83821fc497725cbdb9b37.png$
Поширеним мневмонічним пристроєм для запам'ятовування цих відносин є фраза:
«Всі студенти беруть обчислення». Це може допомогти вам згадати, які тригонометричні функції є позитивними в кожному з чотирьох квадрантів.
$clipboard_e15b4edf9ed16f50e041c87990c22cf96.png$

Довідкові кути для негативних кутів
Негативно виміряні кути обертаються за годинниковою
$clipboard_e485f67fb5ea133e6be1b57d9466636c1.png$
Існують різні методи знаходження опорного кута для негативно оціненого кута. Ви можете знайти позитивний кут, який співтермінал з негативним кутом, а потім знайти опорний кут для позитивного кута. Ви також можете скинути перпендикуляр до$x$ -осі, щоб знайти опорний кут для негативного кута безпосередньо.

Наприклад, кут$-120^{\circ}$ закінчується в квадранті III і є співтермінальним з додатним кутом$240^{\circ}$. У будь-якому випадку, коли ви скидаєте перпендикуляр до$x$ -осі, ви виявите, що опорний кут$60^{\circ} .$

Якщо вам дано значення однієї з тригонометричних функцій кута$\theta$ і ви знаєте, в якому квадранті$\theta$ знаходиться, ви можете знайти інші тригонометричні функції для цього кута.
Приклад
наведено$\theta$ в квадранті$\mathrm{IV}$ з$\cos \theta=\frac{1}{5},$$\sin \theta$$\tan \theta$
find і If,$\cos \theta=\frac{1}{5},$ то суміжна сторона і гіпотенуза повинні бути в співвідношенні$15 .$

Ми можемо позначити ці сторони як 1 і 5, а потім знайти довжину третьої сторони в трикутнику. Це дозволить нам знайти$\sin \theta$ і$\tan \theta$
$clipboard_e38bbc5d5d3c3ae46eb646a15d63ce410.png$
Використовуючи теорему Піфагора:
13
$25-10$
$x=1$
ми виявимо, що сторона, протилежна опорному куту для$\theta$ є$\sqrt{24}$ або $2 \sqrt{6}$. Тепер ми можемо знайти$\sin \theta$ і засмагнути$\theta:$
\ [ \ sin\ theta=\ frac {\ sqrt {24}} {5}
\] і
\ [ \ tan\ theta=\ frac {\ sqrt {24}} {1} =\ sqrt {24}
\]

У задачах цього розділу використовуються взаємні функції січна, косекансна і котангенс. Пам'ятайте, що:
\ [ \ sec\ theta=\ frac {1} {\ cos\ theta} =\ frac {h y p} {a d y}
\] $\csc \theta=\frac{1}{\sin \theta}=\frac{h y p}{\alpha p p}$
$\cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}=\frac{a d j}{o p p}$
Вправи 2.1
Визначити квадрант, в якому$\theta$ лежить кут.
1. $\cos \theta>0, \tan \theta>0$
$\sin \theta<0, \cos \theta>0$
3. $\quad \sec \theta>0, \tan \theta<0$
4. $\quad \cot \theta>0, \cos \theta<0$
5. $\sin \theta>0, \cos \theta<0$
6. $\sin \theta>0, \cot \theta>0$
7. $\sin \theta<0, \cos \theta<0$
8. $\csc \theta>0, \cot \theta<0$
Визначте, в якому квадранті закінчується заданий кут, і знайдіть опорний кут для кожного.
$9.195^{\circ}$
$10.330^{\circ}$
$11.120^{\circ}$
$12.210^{\circ}$
$13.135^{\circ}$
$14.300^{\circ}$
$15 . \quad-100^{\circ}$
$16.225^{\circ}$
$17 . \quad 315^{\circ}$
$18 . \frac{5 \pi}{4}$
19. $\quad-\frac{2 \pi}{3}$
$20 . \quad \frac{7 \pi}{3}$
$21 . \quad \frac{11 \pi}{4}$
$22 . \quad \frac{7 \pi}{6}$
23. $\frac{11 \pi}{6}$

Знайти$\sin \theta, \cos \theta$ і засмагнути$\theta$ в кожній проблемі.
24. $\quad \sin \theta=-\frac{12}{13}, \theta$в IV квадранті
25. $\quad \cos \theta=-\frac{4}{5}, \theta$у квадранті II
26. $\quad \cos \theta=\frac{1}{4}, \theta$у квадранті I
27. $\quad \tan \theta=\frac{3}{2}, \theta$у квадранті III
28. $\quad \tan \theta=-\frac{4}{5}, \theta$у II квадранті
29. $\quad \sin \theta=\frac{3}{8}, \theta$у квадранті II
30. $\quad \sin \theta=-\frac{1}{3}, \theta$в третьому квадранті
31. $\quad \tan \theta=5, \theta$у квадранті$I$
32. $\quad \sec \theta=-2, \tan \theta<0$
33. $\quad \cot \theta=\sqrt{3}, \cos \theta<0$
34. $\quad \tan \theta=-\frac{1}{3}, \sin \theta<0$
35. $\quad \csc \theta=\sqrt{2}, \cos \theta>0$
36. $\quad \cos \theta=-\frac{2}{5}, \tan \theta>0$
37. $\quad \sec \theta=2, \sin \theta<0$
38. $\quad \sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}, \cos \theta>0$
39. $\quad \sin \theta=-\frac{2}{3}, \cot \theta>0$