1.5: Більше додатків

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59715

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

1.5 Інші додатки
Іноді рішення задач, пов'язаних з прямими трикутниками, вимагає використання системи рівнянь. Поширеним методом визначення висоти об'єкта, основа якого недоступна, є вимірювання кута піднесення з двох різних місць перед об'єктом. Якщо ви виміряєте кут піднесення до верхньої частини радіоантени, як 74, потім йти назад 50 футів і виміряти кут піднесення до верхньої частини антени як 61 ', то у нас буде щось на зразок діаграми нижче:
$clipboard_e9d77e4a8da0b7038b07812ec941d4551.png$
Один з перших речей, які ми можемо зробити, це ввести деякі мітки для невідомих відстаней:
$clipboard_e1aadd8f7694a34b66a329e592c7f0a78.png$
Тоді ми можемо сказати, що:
$\tan 74^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\tan 61^{\circ}=\frac{h}{x+50}$

Для розв'язання цієї системи рівнянь встановимо перше рівне$h:$
\ [ \ begin {масив} {c}
\ tan 74^ {\ circ} =\ frac {h} {x}\
x *\ tan 74^ {\ circ} =h
\ end {array}
\] Потім підставимо це в друге рівняння:
\ [ \ tan 61^ {\ circ} =\ frac {h} {x+30}
\] \ [ \ tan 61^ {\ circ} =\ frac {x\ tan 74^ {\ circ}} {x+50}
\] Помножте з обох сторін на$x+50:$
$(x+50) \tan 61^{\circ}=\frac{x \tan 74^{\circ}}{x+30}(x+50)$
$(x+50) \tan 61^{\circ}=x \tan 74^{\circ}$
Є два варіанти вирішення цього рівняння - ми можемо триматися тангенси
такими, якими вони є, і вирішити для$x$ термінами$\tan 74^{\circ}$ і$\tan 61^{\circ},$ або ми можемо наблизити$\tan 74^{\circ}$$\tan 61^{\circ}$ і згенерувати приблизне значення для$x$ і$h .$ Спочатку ми наблизимо:
$(x+50) \tan 61^{\circ}=x \tan 74^{\circ}$
\ [ (x+50) * 1 .804\ приблизно 3,4874 х
\] $1.804 x+90.2024 \approx 3.4874 x$
$90.2024 \approx 1.6834 x$

\ [ 53.58\ приблизно х
\]\ [ $x * \tan 74^{\circ}=h$
\ begin {масив} {c}
53.58 *\ tan 74^ {\ circ}\ приблизно h\
186.87\ text {фути}
\ приблизно h\ end {масив}
\] Інший метод трохи складний алгебраїчно:
\ [ (x+50)\ тан 61^ {\ цирк} = х\ тан 74^ {\ цирк}
\] \ [ \ почати {масив} {л}
х\ тан 61^ {\ цирк} +50\ тан 61^ {\ цирк} = х\ тан 74^ {\ цирк}\
50\ тан 61^ {\ цирк} = х\ тан 74^ {\ цирк} c} -х\ тан 61^ {\ цирк}\\
50\ тан 61^ {\ цирк} = х\ лівий (\ тан 74^ {\ цирк} -\ тан 61^ {\ цирк}\ праворуч)\
\ frac {50\ tan 61^ {\ circ}} {\ left (\ tan 74^ {\ circ} -\ tan 61^ {\ circ}
\ право)} =x
\ end {масив}\] На цьому етапі ви можете наблизити значення$x$ і вирішити для$h$, або висловити значення$h$ точно як
\ [ \ засмага 74^ {\ цирк} *\ розриву {50\ тан 61^ {\ цирк}} {\ circ} {\ tan 74^ {\ circ} -\ тан 61^ {\ circ}\ праворуч)} =h
\]

Вправи 1.5
1. Знайдіть зазначену висоту$h$
$clipboard_e1e3996f82aeb0b97991146463fcea77d.png$
2. Знайдіть зазначену висоту$h$
$clipboard_e6af12b844fbee52557d8fb89fe02959a.png$
3. Невеликий літак, що летить на висоті 5300 футів, прицілів два автомобілі перед літаком, що подорожують по дорозі безпосередньо під ним. Кут западини до найближчого автомобіля є$62^{\circ}$ і кут западини до більш віддаленого автомобіля дорівнює$41^{\circ}$. Наскільки далеко один від одного знаходяться автомобілі?
4. Повітряна куля летить над прямою дорогою. Для того, щоб оцінити їх висоту, люди в повітряній кулі вимірюють кути депресії до двох послідовних міль маркерів на тій же стороні повітряної кулі. Кут до маркера дозатора дорівнює$17^{\circ}$ і кут до дальнього -$13^{\circ} .$ На якій висоті летить повітряна куля?
5. Щоб оцінити висоту гори, кут піднесення від місця
на рівні землі до вершини гори вимірюється бути$32^{\circ} .$ З точки

1000 футів ближче до гори, кут піднесення вимірюється$35^{\circ}$ як висока гора над землею, з якої були зроблені вимірювання?
6. Кут піднесення від точки на землі до вершини піраміди є$35^{\circ} 30^{\prime} .$ Кут піднесення від точки 135 футів далі назад до вершини піраміди$21^{\circ} 10$. Яка висота піраміди?
7. Спостерігач у маяку 70 футів над рівнем моря прицілює кут западини корабля, що наближається, щоб бути$15^{\circ} 50^{\prime} .$ Через кілька хвилин кут депресії видно на$35^{\circ} 40^{\prime} .$ Знайти відстань, пройдену кораблем за цей час.
8. Щоб оцінити висоту дерева, один лісник стоїть на захід від дерева, а інший лісник стоїть на північ від дерева. Два лісники знаходяться на однаковій відстані від основи дерева, і вони знаходяться в 45 футах один від одного. Якщо кут піднесення для кожного лісника -$40^{\circ},$ наскільки високе дерево?
9. Корабель стоїть на якорі від довгої прямої берегової лінії, яка проходить зі сходу на захід. З двох оглядових пунктів, розташованих в 10 милі один від одного на береговій лінії, підшипники корабля від кожної точки спостереження знаходяться$S 35^{\circ} E$ і$S 17^{\circ} W .$ Як далеко від берега знаходиться корабель?
10. Від пожежної оглядової станції Альфа підшипник лісової пожежі знаходиться$N 52^{\circ} E .$ Від оглядової станції Бета, розташований 6 миль на схід від станції Альфа, підшипник є$N 38^{\circ} \mathrm{W}$ Як далеко пожежа від станції Альфа?
11. Від точки 200 футів від підстави церкви, кут піднесення до вершини шпиля, в$28^{\circ},$ той час як кут піднесення до нижньої частини шпилі є$20^{\circ} .$ Наскільки високо від землі є вершина шпиль?
12. Телевізійна вежа висотою 75 футів встановлена на вершині будівлі. Від точки на землі перед будівлею кут піднесення до вершини вежі$62^{\circ}$ і кут піднесення до нижньої частини вежі є$44^{\circ} .$ Наскільки висотою є будівля?