1.1.6: Масштабування та площа

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57765

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте побудуємо масштабовані форми і досліджуємо їх області.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Scaling a Pattern Block

Використовуйте аплети для вивчення блоків шаблонів. Працюйте зі своєю групою, щоб створити масштабовані копії, описані в кожному питанні.

Скільки блоків синього ромба потрібно для побудови масштабованої копії малюнка А:
1. Де кожна сторона вдвічі довша?
2. Де кожна сторона в 3 рази довша?
3. Де кожна сторона довша в 4 рази?
Скільки блоків зеленого трикутника потрібно для побудови масштабованої копії малюнка B:
1. Де кожна сторона вдвічі довша?
2. Де кожна сторона в 3 рази довша?
3. Використовуючи масштабний коефіцієнт 4?
Скільки червоних трапецієподібних блоків потрібно для побудови масштабованої копії малюнка C:
1. Використовуючи масштабний коефіцієнт 2?
2. Використовуючи масштабний коефіцієнт 3?
3. Використовуючи масштабний коефіцієнт 4?
Складіть прогноз: Скільки блоків знадобиться для створення масштабованих копій цих фігур, використовуючи масштабний коефіцієнт 5? Використовуючи масштабний коефіцієнт 6? Будьте готові пояснити свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Scaling More Pattern Blocks

Ваш викладач призначить вашій групі одну з цих фігур, кожна з яких зроблена з блоків оригінального розміру.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): 3 фігури, що складаються з блоків візерунка. Перша форма, позначена фігурою D, складена з 3 синіх ромбів. По-друге, позначена фігура Е складається з 2 червоних трапецій. По-третє, позначена фігура F складається з 4 зелених трикутників.

В аплеті перемістіть повзунок, щоб побачити масштабовану копію призначеної вами фігури, використовуючи масштабний коефіцієнт 2. Використовуйте блоки оригінального розміру, щоб побудувати фігуру, щоб відповідати їй. Скільки блоків це зайняло?
Ваш однокласник думає, що масштабовані копії в попередній задачі будуть приймати 4 блоки для побудови. Ви згодні чи не згодні? Поясніть вам міркування.
Перемістіть повзунок, щоб побачити масштабовану копію призначеної вами фігури, використовуючи масштабний коефіцієнт 3. Почніть будувати фігуру з блоків оригінального розміру, щоб відповідати їй. Зупиніться, коли ви зможете точно сказати, скільки блоків це займе. Запишіть свою відповідь.
Прогнозуйте: Скільки блоків знадобиться для створення масштабованих копій з використанням масштабних коефіцієнтів 4, 5 та 6? Поясніть або покажіть свої міркування.
Як закономірність у цій діяльності така ж, як візерунок, який ви бачили в попередній діяльності? Чим вона відрізняється?

Ви готові до більшого?

Як ви думаєте, скільки блоків знадобиться, щоб побудувати масштабовану копію одного жовтого шестикутника, де кожна сторона вдвічі довша? У три рази довше?
З'ясувати спосіб створення цих масштабованих копій.
Ви бачите шаблон для кількості блоків, які використовуються для побудови цих масштабованих копій? Поясніть свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Area of Scaled Parallelograms and Triangles

Ваш викладач видасть вам цифру з вимірами в сантиметрах. Яка площа вашої фігури? Звідки ти знаєш?

Працюйте зі своїм партнером, щоб намалювати масштабовані копії вашої фігури, використовуючи кожен масштабний коефіцієнт в таблиці. Доповніть таблицю вимірами масштабованих копій.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
масштабний коефіцієнт	основа (см)	висота (см)	площа (см ²)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{3}\)

Порівняйте свої результати з групою, яка працювала з іншою фігурою. Що ж стосується ваших відповідей? Чим відрізняється?
Якби ви намалювали масштабовані копії своєї фігури з наступними масштабними факторами, якими були б їхні області? Обговоріть своє мислення. Якщо ви не згодні, працюйте, щоб досягти згоди. Будьте готові пояснити свої міркування.

Таблиця\(\PageIndex{2}\)
масштабний коефіцієнт	площа (см ²)
\(5\)
\(\frac{3}{5}\)

Резюме

Масштабування по-різному впливає на довжину і області. Коли ми робимо масштабовану копію, всі вихідні довжини множаться на коефіцієнт масштабування. Якщо ми зробимо копію прямокутника з довжиною сторін 2 одиниці і 4 одиниці, використовуючи масштабний коефіцієнт 3, довжина сторін копії складе 6 одиниць і 12 одиниць, тому що\(2\cdot 3=6\) і\(4\cdot 3=12\).

Однак площа копії змінюється в рази (масштабний коефіцієнт) ². Якщо довжина кожної сторони копії в 3 рази більше, ніж довжина вихідної сторони, то площа копії буде в 9 разів більше площі оригіналу, тому що\(3\cdot 3\), або\(3^{2}\), дорівнює 9.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Два прямокутника. Перший прямокутник має вертикальну сторону з позначкою 2 і горизонтальну сторону з позначкою 4. Другий прямокутник має вертикальну сторону з позначкою 6 і горизонтальну сторону з позначкою 12. У другому прямокутнику малюються дві горизонтальні пунктирні лінії і 2 вертикальні пунктирні лінії, що розділяють його на 9 однакових менших прямокутників.

У цьому прикладі площа вихідного прямокутника дорівнює 8 одиницям ², а площа масштабованої копії - 72 одиниці ², тому що\(9\cdot 8=72\). Ми бачимо, що великий прямокутник покритий 9 копіями маленького прямокутника, без зазорів або перекриттів. Ми також можемо перевірити це, помноживши довжини сторін великого прямокутника:\(6\cdot 12=72\).

Довжини одновимірні, тому в масштабованій копії вони змінюються за рахунок масштабного коефіцієнта. Площа двовимірна, тому вона змінюється на квадрат масштабного коефіцієнта. Ми бачимо, що це вірно для прямокутника з довжиною\(l\) і шириною\(w\). Якщо масштабувати прямокутник за масштабним коефіцієнтом\(s\), ми отримаємо прямокутник з довжиною\(s\cdot l\) і шириною\(s\cdot w\). Площа масштабованого прямокутника дорівнює\(A=(s\cdot l)\cdot (s\cdot w)\), так\(A=(s^{2})\cdot (l\cdot w)\). Той факт, що площа множиться на квадрат масштабного коефіцієнта, вірно для масштабованих копій інших двовимірних фігур теж, а не тільки для прямокутників.

Записи глосарію

Визначення: Площа

Площа - це кількість квадратних одиниць, які охоплюють двовимірну область, без будь-яких зазорів або перекриттів.

Наприклад, площа області А становить 8 квадратних одиниць. Площа затіненої області В -\(\frac{1}{2}\) квадратна одиниця.

Визначення: Відповідний

Коли частина оригінальної фігури збігається з частиною копії, ми називаємо їх відповідними частинами. Це можуть бути точки, відрізки, кути або відстані.

Наприклад, точка\(B\) в першому трикутнику відповідає точці\(E\) в другому трикутнику. Сегмент\(AC\) відповідає сегменту\(DF\).

Визначення: Взаємний

Ділення 1 на число дає зворотне це число. Наприклад, зворотне 12 є\(\frac{1}{12}\), а\(\frac{2}{5}\) зворотне є\(\frac{5}{2}\).

Визначення: Масштабний коефіцієнт

Щоб створити масштабовану копію, множимо всі довжини в вихідній фігурі на однакове число. Це число називається масштабним коефіцієнтом.

У цьому прикладі коефіцієнт масштабу дорівнює 1,5, тому що\(4\cdot (1.5)=6\),\(5\cdot (1.5)=7.5\), і\(6\cdot (1.5)=9\).

Визначення: Масштабована копія

Масштабована копія - це копія фігури, де кожна довжина вихідної фігури множиться на однакове число.

Наприклад, трикутник\(DEF\) - це масштабована копія трикутника\(ABC\). Довжина кожної сторони трикутника\(ABC\) множилася на 1,5, щоб отримати відповідну довжину сторони на трикутнику\(DEF\).

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

На сітці намалюйте масштабовану копію Polygon Q, використовуючи масштабний коефіцієнт 2. Порівняйте периметр та площу нового багатокутника з периметром Q.

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Багатокутник, вирівняний за квадратною сіткою, позначається як Q. Форма складається з 3 прямокутників. Ліва частина фігури - 2 квадрата заввишки і 1 квадрат шириною. Наступна частина фігури - 3 квадрата заввишки і 2 квадрата шириною. Наступна частина фігури починається на 1 квадрат вгору від нижньої частини фігури і становить 2 квадрата заввишки на 4 квадрати шириною.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Прямокутний трикутник має площу 36 квадратних одиниць.

Якщо ви намалюєте масштабовані копії цього трикутника, використовуючи масштабні коефіцієнти в таблиці, якими будуть області цих масштабованих копій? Поясніть або покажіть свої міркування.

Таблиця\(\PageIndex{3}\)
масштабний коефіцієнт	площа (одиниці ²)
\(1\)	\(36\)
\(2\)
\(3\)
\(5\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{2}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Дієго намалював масштабовану версію багатокутника P і позначив його Q.

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Багатокутник, вирівняний за квадратною сіткою з міткою Q. Багатокутник складається з 4 фігур, з'єднаних між собою вздовж їх країв. Зліва - прямокутний трикутник з підставою в 1 одиницю і висотою 2 одиниці. Праворуч від трикутника знаходиться 2 одиниці на 1 одиницю прямокутника, вирівняний з його стороною 2 одиниці поруч із стороною 2 одиниці трикутника. Праворуч від цього знаходиться квадрат 1 одиниці, зверху півтора одиничного трикутника.

Якщо площа багатокутника P становить 72 квадратних одиниць, який масштабний коефіцієнт використовував Дієго для переходу від P до Q? Поясніть свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Ось багатокутник без міток, разом з його масштабованими копіями Полігони A—D. Для кожної копії визначте масштабний коефіцієнт. Поясніть, як ви знаєте.

Малюнок\(\PageIndex{11}\): Немаркований чотиристоронній багатокутник з чотирма різними масштабами копій, позначені A, B, C і D на квадратній сітці. Багатокутник без маркування має 4 сторони, з вертикальною висотою 2 з лівого боку. Висота вертикальної сторони в кожному багатокутнику така: Багатокутник A: 1 одиниця. Багатокутник B: 4 одиниці. Багатокутник C: 3 одиниці. Багатокутник D: 2 одиниці.

(Від одиниці 1.1.2)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Вирішіть кожне рівняння подумки.

\(\frac{1}{7}\cdot x=1\)
\(x\cdot\frac{1}{11}=1\)
\(1\div\frac{1}{5}=x\)

(Від одиниці 1.1.5)