5.5.5: Циліндри, конуси та сфери

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57436

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте знайдемо обсяг фігур.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Sphere Adjustments

Чотири учні підрахували об'єм сфери радіусом 9 сантиметрів, і вони отримали чотири різні відповіді.

Хан вважає, що це 108 кубічних сантиметрів.
Джада отримала\(108\pi\) кубічні сантиметри.
Тайлер підрахував 972 кубічних сантиметра.
Май каже, що це\(972\pi\) кубічні сантиметри.

Чи згодні ви з будь-яким з них? Поясніть свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Sphere's Radius

Обсяг цієї сфери з радіусом\(r\) дорівнює\(V=288\pi\). Це твердження вірно:

\(288\pi =\frac{4}{3}r^{3}\pi\). Яка цінність\(r\) для цієї сфери? Поясніть, як ви знаєте.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Info Gap: Unknown Dimensions

Ваш викладач видасть вам або проблемну карту, або картку даних. Не показуйте і не читайте свою картку партнеру.

Якщо ваш викладач дає вам проблемну картку:

Мовчки читайте свою карту і подумайте, яка інформація вам потрібна, щоб мати можливість відповісти на питання.
Попросіть свого партнера конкретну інформацію, яка вам потрібна.
Поясніть, як ви використовуєте інформацію для вирішення проблеми.
Продовжуйте задавати питання, поки у вас не буде достатньо інформації для вирішення проблеми.
Поділіться проблемною картою і вирішуйте проблему самостійно.
Прочитайте картку даних і обговоріть свої міркування.

Якщо ваш викладач дає вам картку даних:

Мовчки читайте свою картку.
Запитайте свого партнера «Яка конкретна інформація вам потрібна?» і чекайте, поки вони попросять інформацію.
Якщо ваш партнер запитує інформацію, якої немає на карті, не робіть розрахунків за них. Скажіть їм, що у вас немає такої інформації.
Перш ніж ділитися інформацією, запитайте «Навіщо вам ця інформація? » Прислухайтеся до міркувань свого партнера і задайте уточнюючі питання.
Прочитайте проблемну карту і вирішите проблему самостійно.
Поділіться карткою даних і обговоріть свої міркування.

Пауза тут, щоб ваш викладач міг переглянути вашу роботу. Попросіть свого вчителя новий набір карток і повторіть діяльність, торгуючи ролями зі своїм партнером.

Вправа\(\PageIndex{4}\): The Right Fit

Балон діаметром 3 сантиметри і висотою 8 сантиметрів заповнюється водою. Вирішіть, які цифри описані тут, якщо такі є, могли б утримувати всю воду з балона. Поясніть свої міркування.

Конус висотою 8 сантиметрів і радіусом 3 сантиметри.
Циліндр діаметром 6 сантиметрів і висотою 2 сантиметри.
Прямокутна призма довжиною 3 сантиметри, шириною 4 сантиметри, висотою 8 сантиметрів.
Сфера радіусом 2 сантиметри.

Ви готові до більшого?

Спраглива ворона хоче підняти рівень води в циліндричній ємності, щоб дзьобом вона могла дістатися до води.

Контейнер має діаметр 2 дюйми і висоту 9 дюймів.
Рівень води в даний час становить 6 дюймів.
Ворона може дійти до води, якщо вона знаходиться в 1 дюймі від верхньої частини ємності.

Для того щоб підняти рівень води, ворона кладе в ємність кулясті камінчики. Якщо галька діаметром приблизно\(\frac{1}{2}\) дюйм, яка найменша кількість гальки вороні потрібно впустити в ємність, щоб дістатися до води?

Резюме

Формула

\(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\)

дає об'єм кулі з радіусом\(r\). Ми можемо використовувати формулу, щоб знайти об'єм сфери з відомим радіусом. Наприклад, якщо радіус сфери дорівнює 6 одиницям, то об'єм буде

\(\frac{4}{3}\pi (6)^{3}=288\pi\)

або приблизно\(904\) кубічні одиниці. Ми також можемо використовувати формулу, щоб знайти радіус сфери, якщо ми знаємо лише її об'єм. Наприклад, якщо ми знаємо, що об'єм сфери є\(36\pi\) кубічними одиницями, але ми не знаємо радіуса, то це рівняння вірно:

\(36\pi = \frac{4}{3}\pi r^{3}\)

Це означає\(r^{3}=27\), що радіус\(r\) повинен бути 3 одиниці для того, щоб обидві сторони рівняння мали однакове значення.

Багато загальних предметів, від пляшок з водою до будівель до повітряних куль, схожі за формою на прямокутні призми, циліндри, конуси та сфери - або навіть комбінації цих форм! Використання формул об'єму для цих фігур дозволяє порівняти обсяг різних типів об'єктів, іноді з дивовижними результатами.

Наприклад, коробка у формі куба з довжиною сторони 3 сантиметри вміщує менше сфери радіусом 2 сантиметри, оскільки об'єм куба становить 27 кубічних сантиметрів (\(3^{3}=27\)), а об'єм сфери становить близько 33,51 кубічних сантиметрів (\(\frac{4}{3}\pi\cdot 2^{3}\approx 33.51\)).

Практика

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Совок морозива має 3-дюймовий діаметр. Наскільки високим повинен бути конус морозива однакового діаметру, щоб містити все морозиво всередині конуса?

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Обчисліть обсяг наступних фігур з наданою інформацією. Для перших трьох питань дайте кожну відповідь як з точки зору, так\(\pi\) і за допомогою\(3.14\) приблизного\(\pi\). Переконайтеся, що включають одиниці.

Сфера діаметром 6 дюймів
Циліндр висотою 6 дюймів і діаметром 6 дюймів
Конус висотою 6 дюймів і радіусом 3 дюйми
Як пов'язані ці три томи?

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Монетний надувний кульовий дозатор має велику скляну сферу, яка вміщує багато сферичних кульок. Велика скляна сфера має радіус 9 дюймів. Кожен надувний куля має радіус 1 дюйм і сидить всередині дозатора.

Якщо у великій скляній сфері є 243 надувні кулі, яку частку об'єму великої скляної сфери займають надувні кулі? Поясніть, як ви знаєте.

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Фермер має резервуар для води для корів у формі циліндра радіусом 7 футів і висотою 3 фути. Резервуар оснащений датчиком, щоб попередити фермера, щоб заповнити його, коли вода падає до 20% ємності. Яким буде обсяг бака при включенні датчика?

(Від блоку 5.4.3)