Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.5.4: Обсяг сфери

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57442

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Давайте досліджуємо сфери та їх обсяги.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Sketch a Sphere

    Ось метод швидкого замальовування сфери:

    • Намалюйте коло.
    • Намалюйте посередині овал, краї якого стосуються сфери.
    clipboard_e0b3f61adeaf30999eb860cff78b2cc7d.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)
    1. Практикуйте замальовку деяких сфер. Намалюйте кілька різних розмірів.
    2. Для кожного ескізу намалюйте радіус і позначте його\(r\).

    Вправа\(\PageIndex{2}\): A Sphere in a Cylinder

    clipboard_e04f5531493186be27d4f232d4c052876.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Ось конус, сфера і циліндр, які мають однакові радіуси і висоту. Радіус циліндра - 5 одиниць. При необхідності висловлюйте всі відповіді в терміні\(\pi\).

    1. Яка висота циліндра?
    2. Який обсяг циліндра?
    3. Який обсяг конуса?
    4. Який обсяг сфери? Поясніть свої міркування.

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Spheres in Cylinders

    clipboard_ea3998f4e1910f3aff6912247809e934c.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Ось конус, сфера і циліндр, які мають однакові радіуси і висоту. Нехай радіус циліндра дорівнює\(r\) одиницям. При необхідності висловлюйте відповіді в терміні\(\pi\).

    1. Яка висота циліндра в перерахунку\(r\)?
    2. Який обсяг циліндра в перерахунку\(r\)?
    3. Який обсяг конуса в перерахунку\(r\)?
    4. Який обсяг сфери в перерахунку\(r\)?
    5. Обсяг конуса - це\(\frac{1}{3}\) обсяг циліндра. Обсяг сфери - це яка частка обсягу циліндра?

    Резюме

    Подумайте про сферу з радіусом\(r\) одиниць, яка щільно прилягає всередину циліндра. Циліндр тоді також повинен мати радіус\(r\) одиниць і висоту\(2r\) одиниць. Використовуючи те, що ми дізналися про обсяг, циліндр має обсяг\(\pi r^{2}h=\pi r^{2}\cdot (2r)\), який дорівнює\(2\pi r^{3}\) кубічним одиницям.

    Ми знаємо з більш раннього уроку, що обсяг конуса з тією ж основою і висотою, що і циліндр має\(\frac{1}{3}\) об'єм. В даному прикладі такий конус має обсяг\(\frac{1}{3}\cdot \pi r^{2}\cdot 2r\) або просто\(\frac{2}{3}\pi r^{3}\) кубічні одиниці.

    clipboard_e14825e3a449ada34db6f704a3f7ff085.png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Якби ми наповнили конус і сферу водою, а потім залили цю воду в циліндр, циліндр був би повністю заповнений. Це означає, що об'єм сфери та об'єм конуса складаються до об'єму циліндра. Іншими словами\(V\), якщо обсяг сфери, то

    \(V+\frac{2}{3}\pi r^{3}=2\pi r^{3}\)

    Це призводить до формули об'єму сфери,

    \(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\)

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    1. Об'єм куба становить 512 кубічних одиниць. Яка довжина її краю?
    2. Якщо куля щільно прилягає всередину цього куба, який її обсяг?
    3. Яку частку куба займає сфера? Який відсоток це? Поясніть або покажіть свої міркування.

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Сфера А має радіус 2 см. Сфера В має радіус 4 см.

    1. Розрахуйте обсяг кожної сфери.
    2. Радіус Сфери B вдвічі більше, ніж у Сфери А. У скільки разів більший об'єм B?

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Три шишки мають обсяг\(192\pi\) см 3. Конус А має радіус 2 см. Конус В має радіус 3 см. Конус С має радіус 4 см. Знайдіть висоту кожного конуса.

    (З блоку 5.4.6)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Графік представляє середню ціну звичайного бензину в США в доларах в залежності від кількості місяців після січня 2014 року.

    clipboard_ed2390699385e77cd77c73bdcbdda9c92.png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)
    1. Через скільки місяців після січня 2014 року ціна на газ була найбільшою?
    2. Середня ціна газу коли-небудь опускалася нижче $2?
    3. Опишіть, що сталося із середньою ціною газу в 2014 році.

    (Від блоку 5.2.3)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Зіставте опис кожної сфери з її правильним об'ємом.

    1. Сфера А: радіус 4 см
    2. Сфера B: діаметр 6 см
    3. Сфера C: радіус 8 см
    4. Сфера D: радіус 6 см
    1. \(288\pi\text{ cm}^{3}\)
    2. \(\frac{256}{3}\pi\text{ cm}^{3}\)
    3. \(36\pi\text{ cm}^{3}\)
    4. \(\frac{2048}{3}\pi\text{ cm}^{3}\)

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Проводячи інвентаризацію в своєму веломагазині, власник помітив, що кількість велосипедів в 2 менше, ніж в 10 разів перевищує кількість триколісних велосипедів. Вони також знають, що на всіх велосипедах і триколісних велосипедах в магазині є 410 коліс. Напишіть і вирішіть систему рівнянь, щоб знайти кількість велосипедів в магазині.

    (Від блоку 4.3.6)