5.5.3: Оцінка півкулі

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57435

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Оцінимо обсяг півкуль з відомими нам цифрами.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Notice and Wonder: Two Shapes

Ось дві форми.

Що ви помічаєте? Що вам цікаво?

Вправа\(\PageIndex{2}\): Hemispheres in Boxes

У Mai є купольний прес-пап'є, який вона може використовувати як лупу. Прес-пап'є має форму півсфери з твердого скла, тому вона хоче спроектувати коробку, щоб тримати її, щоб вона не зламалася. Її прес-пап'є має радіус 3 см.
1. Якими повинні бути розміри внутрішньої частини коробки, щоб коробка була якомога менше?
2. Який обсяг коробки?
3. Яка розумна оцінка обсягу прес-пап'є?
Тайлер має різну коробку з довжиною сторін, яка вдвічі довша, ніж сторони коробки Mai. Коробка Тайлера просто досить велика, щоб вмістити різні скляні прес-пап'є.
1. Який обсяг нової коробки?
2. Яка розумна оцінка обсягу цього скляного прес-пап'є?
3. Як ви вважаєте, у скільки разів більший обсяг прес-пап'є в цій коробці, ніж обсяг прес-пап'є Mai? Поясніть своє мислення.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Estimating Hemispheres

1. Півсфера з радіусом 5 одиниць щільно вписується в циліндр однакового радіуса і висоти.

Розрахуйте обсяг циліндра.
Оцініть обсяг півкулі. Поясніть свої міркування.

2. Конус щільно прилягає всередину півсфери, і вони поділяють радіус 5.

Який обсяг конуса?
Оцініть обсяг півкулі. Поясніть свої міркування.

3. Порівняйте свою оцінку для півсфери з конусом всередині з вашою оцінкою півкулі всередині циліндра. Як вони порівнюються з обсягами циліндра і конуса?

Ви готові до більшого?

Оцініть, яку частку обсягу куба займає піраміда, яка розділяє основу і верхню вершину з кубом, як на малюнку.

Резюме

Ми можемо оцінити об'єм півсфери, порівнюючи його з іншими формами, для яких ми знаємо обсяг. Наприклад, півсфера радіусом 1 одиниці поміщається всередині циліндра радіусом 1 одиниці і висотою 1 одиниця.

Оскільки півкуля знаходиться всередині циліндра, вона повинна мати менший об'єм, ніж циліндр, що робить об'єм циліндра розумним завищенням обсягу півкулі.

Обсяг саме цього циліндра становить близько 3,14 одиниць ³ з тих пір\(\pi (1)^{2}(1)=\pi\), тому ми знаємо обсяг півсфери менше 3,14 кубічних одиниць.

Використовуючи аналогічну логіку, конус радіусом 1 одиниці і висотою 1 одиниці поміщається всередину півсфери радіусом 1 одиниці.

Оскільки конус знаходиться всередині півсфери, конус повинен мати менший обсяг, ніж півсфера, що робить об'єм конуса розумною недооцінкою для обсягу півсфери.

Обсяг саме цього конуса становить близько 1,05 одиниць ³ з тих пір\(\frac{1}{3}\pi (1)^{2}(1)=\frac{1}{3}\pi\approx 1.05\), тому ми знаємо обсяг півсфери більше 1,05 кубічних одиниць.

Усереднивши обсяги циліндра і конуса, ми можемо оцінити обсяг півсфери приблизно в 2,10 одиниць ³ з тих пір\(\frac{3.14+1.05}{2}\approx 2.10\). І, оскільки півкуля - це половина сфери, ми також можемо оцінити, що сфера з радіусом 1 буде подвоєна цей об'єм, або приблизно 4.20 одиниць ³.

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Бейсбол щільно вписується в прозорий кубик дисплея. Довжина ребра куба становить 2,9 дюйма.

Чи об'єм бейсболу більше, ніж, менше, або дорівнює\(2.9^{3}\) кубічним дюймам? Поясніть, як ви знаєте.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Існує безліч можливих конусів висотою 18 метрів. Нехай\(r\) представляють радіус в метрах і\(V\) представляють обсяг в кубічних метрах.

Напишіть рівняння, яке представляє об'єм\(V\) як функцію радіуса\(r\).

Заповніть цю таблицю для функції, наводячи три можливі приклади.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
\(r\)	\(V\)
\ (r\) ">2	\ (V\) ">
\ (r\) ">	\ (V\) ">
\ (r\) ">	\ (V\) ">

Якщо подвоїти радіус конуса, обсяг подвоюється? Поясніть, як ви знаєте.
Графік цієї функції є рядком? Поясніть, як ви знаєте.

(З блоку 5.5.2)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Півсфера щільно прилягає всередину циліндра радіусом 6 см. Конус щільно прилягає всередину тієї ж півсфери.

Який обсяг циліндра?
Який обсяг конуса?
Оцініть обсяг півсфери, обчисливши середнє значення обсягів циліндра і конуса.

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Знайти діаметр півсфери, якщо його радіус дорівнює 6 см.
Знайдіть діаметр півкулі, якщо його радіус дорівнює\(\frac{1000}{3}\) m.
Знайдіть діаметр півкулі, якщо його радіус становить 9,008 футів.
Знайдіть радіус півкулі, якщо його діаметр дорівнює 6 см.
Знайдіть радіус півкулі, якщо його діаметр дорівнює\(\frac{1000}{3}\) m.
Знайдіть радіус півкулі, якщо його діаметр становить 9,008 футів.

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Після того, як майже не вистачає місця на своєму телефоні, Олена перевіряє з парою друзів, які мають той самий телефон, щоб побачити, скільки фотографій у них на телефонах і скільки пам'яті вони займають. Результати наведені в таблиці.

Таблиця\(\PageIndex{2}\)
кількість фотографій
пам'ять, що використовується в Мб

Чи може ця інформація бути розумно змодельована за допомогою лінійної функції? Поясніть свої міркування.
Олені потрібно видалити фотографії, щоб створити 1200 Мб місця. Оцініть кількість фотографій, які вона повинна видалити.

(Від блоку 5.3.2)