Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.5.2: Масштабування двох вимірів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57441

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Давайте змінимо більше розмірів фігур.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Tripling Statements

    \(m, n, a, b\), і\(c\) всі представляють собою натуральні числа. Розглянемо ці два рівняння:\(m=a+b+c\)\(n=abc\)

    1. Які з цих тверджень відповідають дійсності? Виберіть все, що застосовується.
      1. Якщо\(a\) втричі,\(m\) то втричі.
      2. Якщо\(a\)\(b\), і\(c\) всі потроюються,\(m\) то втричі.
      3. Якщо\(a\) втричі,\(n\) то втричі.
      4. Якщо\(a\)\(b\), і\(c\) всі потроюються,\(n\) то втричі.
    2. Створіть справжнє твердження про одне з рівнянь.

    Вправа\(\PageIndex{2}\): A Square Base

    Клер замальовує прямокутну призму висотою 11 і квадратною основою і позначає краю підстави\(s\). Вона запитує Хана, що, на його думку, станеться з об'ємом прямокутної призми, якщо вона потроїться\(s\).

    Хан каже, що обсяг буде в 9 разів більше. Він правий? Поясніть або покажіть свої міркування.

    Ви готові до більшого?

    Циліндр можна спорудити з аркуша паперу, скрутивши його так, щоб можна було склеїти між собою два протилежних краю (пунктирні краю на малюнку).

    clipboard_eadfc22b59d107a93168b24e7ae8d48f4.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)
    1. Якби ви хотіли збільшити обсяг всередині отриманого циліндра, чи було б більше сенсу подвоїти\(x\)\(y\), або це не має значення?
    2. Якби ви хотіли збільшити площу поверхні отриманого циліндра, чи було б більше сенсу подвоїти\(x\)\(y\), або це не має значення?
    3. Як змінилися б ваші відповіді на ці питання, якби ми зробили циліндр, склеюючи суцільні лінії замість пунктирних ліній?

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Playing with Cones

    Існує безліч конусів висотою 7 одиниць. \(r\)Дозволяти представляють радіус і\(V\) представляють собою обсяг цих конусів.

    1. Напишіть рівняння, яке виражає зв'язок між\(V\) і\(r\). Використовуйте 3.14 як наближення для\(\pi\).
    2. Передбачте, що станеться з гучністю, якщо потроїти значення\(r\).
    3. Графік цього рівняння.
    4. Що станеться з гучністю, якщо потроїти\(r\)? Де ви бачите це на графіку? Як ви можете бачити це алгебраїчно?

    Резюме

    Існує багато прямокутних призм, які мають довжину 4 одиниці і ширину 5 одиниць, але відрізняються висотою. Якщо\(h\) представляє висоту, то\(V\) обсяг такої призми дорівнює

    \(V=20h\)

    Рівняння показує нам, що об'єм призми з базовою площею 20 квадратних одиниць є лінійною функцією висоти. Оскільки це пропорційна залежність, якщо висота множиться на коефіцієнт\(a\), то обсяг також множиться на коефіцієнт\(a\):

    \(V=20(ah)\)

    Що станеться, якщо ми масштабуємо два виміри призми в рази\(a\)? При цьому обсяг отримує множиться на коефіцієнт в\(a\) два рази, або\(a^{2}\).

    Наприклад, подумайте про призму довжиною 4 одиниці, шириною 5 одиниць і висотою 6 одиниць. Його обсяг становить 120 кубічних одиниць з тих пір\(4\cdot 5\cdot 6=120\). Тепер уявіть собі довжину і ширину кожен отримати масштабуються на коефіцієнт\(a\), тобто нова призма має довжину\(4a\)\(5a\), ширину і висоту 6. Новий обсяг -\(120a^{2}\) кубічні одиниці з\(4a\cdot 5a\cdot 6=120a^{2}\).

    Аналогічний зв'язок тримається і для циліндрів. Подумайте про циліндр висотою 6 і радіусом 5. Обсяг буде\(150\pi\) кубічними одиницями з тих пір\(\pi\cdot 5^{2}\cdot 6=150\pi \). Тепер уявіть, що радіус масштабується на коефіцієнт\(a\). Тоді новий обсяг - це\(\pi\cdot (5a)^{2}\cdot 6=\pi\cdot 25a^{2}\cdot 6\) або\(150a^{2}\pi\) кубічні одиниці. Отже, масштабування радіуса на коефіцієнт\(a\) має ефект множення гучності на\(a^{2}\)!

    Чому обсяг множиться на,\(a^{2}\) коли змінюється тільки радіус? Це має сенс, якщо ми уявляємо, як масштабування радіуса змінює базову площу циліндра. Зі збільшенням радіуса площа основи стає більшою в двох вимірах (коло стає ширшим, а також вище), тоді як третій розмір циліндра, висота, залишається тим самим.

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Існує безліч балонів висотою 18 метрів. Нехай\(r\) представляють радіус в метрах і\(V\) представляють обсяг в кубічних метрах.

    1. Напишіть рівняння, яке представляє об'єм\(V\) як функцію радіуса\(r\).
    2. Заповніть цю таблицю, наводячи три можливі приклади.
      \(r\) \(V\)
      \ (r\) ">1 \ (V\) ">
      \ (r\) "> \ (V\) ">
      \ (r\) "> \ (V\) ">
      Таблиця\(\PageIndex{1}\)
    3. Якщо радіус циліндра подвоюється, обсяг подвоюється? Поясніть, як ви знаєте.
    4. Графік цієї функції є рядком? Поясніть, як ви знаєте.

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    В рамках змагань Дієго повинен обертатися по колу 6 разів, а потім бігти до дерева. Час, який він витрачає на кожен спін, представлений\(s\) і час, який він витрачає на біг\(r\). Він добирається до дерева через 21 секунду після того, як почне крутитися.

    1. Напишіть рівняння, що показує зв'язок між\(s\) і\(r\).
    2. Переставте рівняння так, щоб воно відображалося\(r\) як функція\(s\).
    3. Якщо Дієго займає 1,2 секунди, щоб обертатися навколо кожного разу, скільки секунд він витратив біг?

    (Від блоку 5.2.1)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Таблиця і графік представляють дві функції. Використовуйте таблицю і графік, щоб відповісти на питання.

    clipboard_e25c425e6acf0f6072529ef97848f2335.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Координатна площина, x, від 0 до 14 одиниць, y, від'ємна від 4 до 4. Графік починається з початку, збільшується приблизно через (2 точка 5 кома 4), потім зменшується через (5 кома 0) до (7 точка 5 кома негативна 4), потім збільшується через (10 кома 0) до (12 точка 5 кома 4), потім знову починає зменшуватися.
    \(x\) 1 2 3 4 5 6
    \(y\) 3 -1 0 4 5 -1
    Таблиця\(\PageIndex{2}\)
    1. Для яких значень\(x\) of вивід з таблиці менше, ніж виведені з графіка?
    2. У графічній функції, які значення\(x\) дають вихід 0?

    (Від блоку 5.2.5)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Конус має радіус 3 одиниці і висоту 4 одиниці.

    1. Що це за обсяг цієї шишки?
    2. Інший конус має чотириразовий радіус, і таку ж висоту. У скільки разів більший об'єм нового конуса?