5.5.1: Масштабування одного виміру

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57447

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте подивимося, як зміна одного розміру змінює об'єм фігури.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Driving the Distance

Ось графік кількості газу, що спалюється під час поїздки трактором-причепом, коли він рухається з постійною швидкістю по шосе:

В кінці поїздки, як далеко проїхав вантажівка, і скільки газу він використав?
Якби вантажівка проїхала половину цієї відстані з тією ж швидкістю, скільки газу вона б використала?
Якби вантажівка проїхала вдвічі цю відстань з однаковою швидкістю, скільки газу вона використала б?
Доповніть речення: ___________ - це функція _____________.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Double the Edge

Є багато правих прямокутних призм з одним краєм довжиною 5 одиниць і іншим краєм довжиною 3 одиниці. \(s\)Дозволяти представляти довжину третього краю і\(V\) представляти обсяг цих призм.

Напишіть рівняння, яке представляє зв'язок між\(V\) і\(s\).
Графік цього рівняння.
Що станеться з гучністю, якщо подвоїти довжину краю\(s\)? Де ви бачите це на графіку? Де ви бачите це алгебраїчно?

Вправа\(\PageIndex{3}\): Halve the Height

Існує безліч циліндрів з радіусом 5 одиниць. \(h\)Дозволяти представляти висоту і\(V\) представляти обсяг цих циліндрів.

Напишіть рівняння, яке представляє зв'язок між\(V\) і\(h\). Використовуйте 3.14 як наближення\(\pi\).
Графік цього рівняння.
Що станеться з гучністю, якщо зменшити вдвічі висоту,\(h\)? Де ви можете побачити це на графіку? Як ви можете бачити це алгебраїчно?

Ви готові до більшого?

Припустимо, у нас прямокутна призма з розмірами 2 одиниці на 3 одиниці на 6 одиниць, і ми хотіли б зробити прямокутну призму об'ємом 216 кубічних одиниць шляхом розтягування одного з трьох вимірів.

Які три способи зробити це? З них, що дає призму з найменшою площею поверхні?
Повторіть цей процес для стартової прямокутної призми з розмірами 2 одиниці на 6 одиниць на 6 одиниць.
Чи можете ви дати кілька загальних порад тому, хто хоче зробити коробку з певним обсягом, але хоче заощадити витрати на матеріал, маючи якомога меншу площу поверхні?

Вправа\(\PageIndex{4}\): Figuring Out Cone Dimensions

Ось графік співвідношення між висотою і об'ємом деяких конусів, які всі мають однаковий радіус:

Що означають координати позначеної точки?
Який обсяг конуса висотою 5? З висотою 30?
Використовуйте марковану точку, щоб знайти радіус цих конусів. Використовуйте 3.14 як наближення для\(\pi\).
Напишіть рівняння, яке пов'язує обсяг\(V\) і висоту\(h\).

Резюме

Уявіть собі циліндр радіусом 5 см, який наповнюється водою. Зі збільшенням висоти води обсяг води збільшується.

Ми говоримо, що обсяг води в циліндрі\(V\), залежить від висоти води\(h\). Ми можемо представити цей зв'язок рівнянням:\(V=\pi\cdot 5^{2}h\) або просто

\(V=25\pi h\)

Це рівняння являє собою пропорційну залежність між висотою і об'ємом. Ми можемо використовувати це рівняння, щоб зрозуміти, як змінюється гучність, коли висота збільшується втричі.

Новий обсяг був би\(V=25\pi (3h)=75\pi h\), який точно в 3 рази більше, ніж старий обсяг\(25\pi h\). Загалом, коли одна величина в пропорційному співвідношенні змінюється на заданий коефіцієнт, інша величина змінюється на той же коефіцієнт.

Пам'ятайте, що пропорційні відносини - це приклади лінійних відносин, які також можна розглядати як функції. Так в цьому\(V\) прикладі обсяг води в циліндрі, є функцією\(h\) висоти води.

Практика

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Циліндр має обсяг\(48\pi\) см ³ і висоту\(h\). Доповніть цю таблицю об'ємом циліндрів з однаковим радіусом, але різною висотою.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
висота (см)	Обсяг (см\(^{3}\))
\(h\)	\ (^ {3}\)) ">\(48\pi\)
\(2h\)	\ (^ {3}\)) ">
\(5h\)	\ (^ {3}\)) ">
\(\frac{h}{2}\)	\ (^ {3}\)) ">
\(\frac{h}{5}\)	\ (^ {3}\)) ">

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Циліндр має радіус 3 см і висоту 5 см.

Який обсяг циліндра?
Який обсяг циліндра при збільшенні його висоти в три рази?
Який обсяг циліндра при зменшенні його висоти вдвічі?

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Градуйований циліндр заввишки 24 см може вмістити 1 л води. Який радіус циліндра? Яка висота позначки 500 мл? Позначка 250 мл? Нагадаємо, що 1 літр (L) дорівнює 1000 мілілітрів (мл), а що 1 літр (L) дорівнює 1000 см ³.

Вправа\(\PageIndex{8}\)

У магазині морозива є два конуси морозива. Вафельний конус вміщує 12 унцій і має висоту 5 дюймів. Цукровий конус також вміщує 12 унцій і має висоту 8 дюймів. Який конус має більший радіус?

(З блоку 5.4.6)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Паперовий стаканчик 6 унцій має форму конуса діаметром 4 дюйми. Скільки унцій води вмістить пластикова циліндрична чашка діаметром 4 дюйми, якщо вона така ж висота, як паперовий стаканчик?

(Від блоку 5.4.5)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Смартфон Ліна був повністю заряджений, коли вона почала школу о 8:00 ранку о 9:20 ранку, він був заряджений на 90%, а опівдні - 72%.

Коли, на вашу думку, її акумулятор помре?
Чи є час автономної роботи функцією часу? Якщо так, це лінійна функція? Поясніть свої міркування.

(Від блоку 5.3.2)