5.4.6: Пошук розмірів конуса

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57459

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте розберемося в розмірах конусів.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Number Talk: Thirds

Для кожного рівняння вирішіть, яке значення, якщо воно є, зробить його правдивим.

\(27=\frac{1}{3}h\)

\(27=\frac{1}{3}r^{2}\)

\(12\pi =\frac{1}{3}\pi a\)

\(12\pi =\frac{1}{3}\pi b^{2}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\): An Unknown Radius

Обсяг\(V\) конуса з радіусом\(r\) задається за формулою\(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\).

Обсяг цього конуса висотою 3 одиниці і радіусом\(r\) дорівнює\(V=64\pi\) кубічним одиницям. Це твердження вірно:

\(64\pi =\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot 3\)

Яким має бути радіус цього конуса? Поясніть, як ви знаєте.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Cones with Unknown Dimensions

Кожен рядок таблиці містить деяку інформацію про конкретному конусі. Доповніть таблицю відсутніми розмірами.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
діаметр (одиниці)	радіус (одиниці)	площа підстави (квадратні одиниці)	висота (одиниці)	об'єм конуса (кубічні одиниці)
	\(4\)		\(3\)
	\(\frac{1}{3}\)		\(6\)
		\(36\pi\)	\(\frac{1}{4}\)
\(20\)				\(200\pi\)
			\(12\)	\(64\pi \)
			\(3\)	\(3.14\)

Ви готові до більшого?

Фрустум є результатом взяття конуса і відрізання меншого конуса за допомогою зрізу, паралельного основи.

Знайдіть формулу для обсягу плоду, включаючи рішення про те, які величини ви збираєтеся включити у свою формулу.

Вправа\(\PageIndex{4}\): Popcorn Deals

Кінотеатр пропонує два контейнери:

Який контейнер має кращу цінність? Використовуйте 3.14 як наближення для\(\pi\).

Резюме

Як ми пиляли з циліндрами,\(V\) обсяг конуса залежить від радіуса\(r\) підстави і висоти\(h\):

\(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\)

Якщо ми знаємо радіус і висоту, ми можемо знайти обсяг. Якщо ми знаємо об'єм та один із розмірів (або радіус, або висоту), ми можемо знайти інший вимір.

Наприклад, уявіть собі конус об'ємом ^3\(64\pi\) см, висотою 3 см, і невідомим радіусом\(r\). З формули обсягу ми знаємо, що

\(64\pi =\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot 3\)

Дивлячись на структуру рівняння, ми можемо побачити\(r^{2}=64\), що, таким чином, радіус повинен бути 8 см.

Тепер уявіть собі інший конус об'ємом ^{3\(18\pi \)} см, радіусом 3 см, і невідомою висотою\(h\). Використовуючи формулу для обсягу конуса, ми знаємо, що

\(18\pi =\frac{1}{3}\pi 3^{2}h\)

тому висота повинна бути 6 см. Ви розумієте, чому?

Записи глосарію

Визначення: Конус

Конус - це об'ємна фігура, схожа на піраміду, а ось основа - коло.

Визначення: Циліндр

Циліндр - це тривимірна фігура, схожа на призму, але з підставами, які є колами.

Визначення: Сфера

Сфера - це тривимірна фігура, в якій всі поперечні перерізи в кожному напрямку є колами.

Практика

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Обсяг цього циліндра -\(175\pi\) кубічні одиниці.

Який обсяг конуса, який має однакову площу підстави і однакову висоту?

(Від блоку 5.4.5)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Конус має об'єм\(12\pi\) кубічних дюймів. Його висота становить 4 дюйми. Який його радіус?

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Конус має обсяг\(3\pi\).

Якщо радіус конуса дорівнює 1, яка його висота?
Якщо радіус конуса дорівнює 2, яка його висота?
Якщо радіус конуса дорівнює 5, яка його висота?
Якщо радіус конуса є\(\frac{1}{2}\), яка його висота?
Якщо радіус конуса в\(r\), то яка висота?

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Троє людей грають біля води. Особа А стоїть на лаві підсудних. Людина B починається у верхній частині жердини і зіплайн у воду, потім вилазить з води. Людина С вилазить з води і вгору по zipline полюс. Зіставте людей з графіками, де горизонтальна вісь відображає час у секундах, а вертикальна вісь - висота над рівнем води у футах.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Координатна площина, x, від'ємний від 1 до 8 на 1, y, від'ємний від 10 до 20 на 5. Три рядки. Перший рядок починається з 0 коми 20, знижується до 2 точки 5 кома негативна 5, горизонтальна до 4 кома негативна 5, потім збільшується до 3 кома 5. Другий рядок починається з 0 кома 10 і залишається горизонтальною до 8 кома 10. Третій рядок починається з 0 кома негативна 3 і збільшується до 8 кома 13.

(Від блоку 5.2.4)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Кімната заввишки 15 футів. Архітектор хоче включити вікно висотою 6 футів. Відстань між підлогою і дном вікна -\(b\) ноги. Відстань між стелею і верхньою частиною вікна -\(a\) ноги. Це співвідношення можна описати рівнянням\(a=15-(b+6)\)

Яка змінна є незалежною на основі заданого рівняння?
Якщо архітектор\(b\) хоче бути 3, що це означає? Яке значення\(a\) буде працювати з даним значенням для\(b\)?
Клієнт хоче, щоб вікно мало 5 футів простору над ним. Замовник описує\(a\) чи\(b\)? Яке значення іншої змінної?

(Від блоку 5.2.1)