5.4.5: Об'єм конуса

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57458

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Урок

Давайте вивчимо шишки і їх обсяги.

Вправа$\PageIndex{1}$: Which Has a Larger Volume

Конус і циліндр мають однакову висоту, а радіуси їх підстав рівні.

Яка цифра має більший обсяг?
Як ви думаєте, обсяг меншого більше або менше обсягу більшого?$\frac{1}{2}$ Поясніть свої міркування.
Намалюйте два конуса різного розміру. Овал не обов'язково повинен бути на дні! Для кожного креслення позначте радіус конуса$r$ і висоту с$h$.

Ось спосіб швидкого накреслення конуса:

Намалюйте овал.
Намалюйте точку з центром над овалом.
З'єднайте краю овалу до точки.
Які частини вашого малюнка були б заховані
за об'єктом? Зробіть ці деталі пунктирними лініями.

Вправа$\PageIndex{2}$: From Cylinders to Cones

Конус і циліндр мають однакову висоту, а їх основи - конгруентні кола.

Якщо обсяг циліндра дорівнює 90 см ³, який обсяг конуса?
Якщо обсяг конуса 120 см ³, який обсяг циліндра?
Якщо обсяг циліндра є$v=\pi r^{2}h$, який обсяг конуса? Або напишіть вираз для конуса, або поясніть відносини словами.

Вправа$\PageIndex{3}$: Calculate That Cone

1. Ось циліндр і конус, які мають однакову висоту і однакову площу підстави. Який обсяг кожної фігури? Висловіть свої відповіді з точки зору$\pi$.

2. Ось такий конус.

Яка площа підстави? Висловіть свою відповідь з точки зору$\pi$.
Який обсяг конуса? Висловіть свою відповідь з точки зору$\pi$.

3. Конусоподібна чашка для попкорну має радіус 5 сантиметрів і висоту 9 сантиметрів. Скільки кубічних сантиметрів попкорну може вмістити чашка? Використовуйте 3.14 як наближення для$\pi$ та дайте числову відповідь.

Ви готові до більшого?

Зерновий силос має конусоподібний носик на дні для регулювання потоку зерна з силосу. Діаметр силосу становить 8 футів. Висота циліндричної частини силосу над конусним носиком становить 12 футів, тоді як висота всього силосу - 16 футів.

Скільки кубічних футів зерна утримується в конусному носику силосу? Скільки кубічних футів зерна може вмістити весь силос?

Резюме

Якщо конус і циліндр мають однакову основу і однакову висоту, то обсяг$\frac{1}{3}$ конуса дорівнює обсягу циліндра. Наприклад, циліндр і конус, показані тут, мають основу з радіусом 3 фути і висотою 7 футів.

Циліндр має обсяг$63\pi$ кубічних футів з тих пір$\pi\cdot 3^{2}\cdot 7=63\pi$. Конус має об'єм, який є$\frac{1}{3}$ таким, або$21\pi$ кубічних футів.

Якщо радіус для обох є$r$ і висота для обох дорівнює$h$, то обсяг циліндра дорівнює$pi r^{2}h$. Це означає, що об'єм$V$, конуса$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Записи глосарію

Визначення: Конус

Конус - це об'ємна фігура, схожа на піраміду, а ось основа - коло.

Визначення: Циліндр

Циліндр - це тривимірна фігура, схожа на призму, але з підставами, які є колами.

Визначення: Сфера

Сфера - це тривимірна фігура, в якій всі поперечні перерізи в кожному напрямку є колами.

Практика

Вправа$\PageIndex{4}$

Циліндр і конус мають однакову висоту і радіус. Висота кожного становить 5 см, а радіус - 2 см. Розрахуйте обсяг циліндра і конуса.

Вправа$\PageIndex{5}$

Обсяг цього конуса -$36\pi$ кубічні одиниці.

Який обсяг циліндра, який має однакову площу підстави і однакову висоту?

Вправа$\PageIndex{6}$

Циліндр має діаметр 6 см і обсяг$36\pi$ см ³.

Ескіз циліндра.
Знайдіть його висоту і радіус в сантиметрах.
Позначте свій ескіз висотою та радіусом циліндра.

(Від блоку 5.4.4)

Вправа$\PageIndex{7}$

Лін хоче отримати деякі користувальницькі футболки, надруковані для своєї баскетбольної команди. Сорочки коштують $10 кожна, якщо ви замовляєте 10 або менше сорочок і $9 кожна, якщо ви замовляєте 11 або більше сорочок.

Складіть графік, який показує загальну вартість покупки сорочок, за сорочки від 0 до 15.
У команді 10 осіб. Чи економлять вони гроші, якщо купують додаткову сорочку? Поясніть свої міркування.
Який нахил графіка між 0 і 10? Що це означає в оповіданні?
Який нахил графіка між 11 і 15? Що це означає в оповіданні?

(З блоку 5.3.3)

Вправа$\PageIndex{8}$

На наступних графіках горизонтальна вісь представляє час, а вертикальна вісь - відстань від школи. Напишіть можливу історію для кожного графа.

(Від блоку 5.2.4)