Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.4.3: Об'єм циліндра

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57466

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Давайте вивчимо циліндри і їх обсяги.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): A Circle's Dimensions

    clipboard_ec482ab07c9fa23e5649a85edd4bd1f8e.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Ось коло. Точки\(A, B, C,\) і\(D\) малюються, а також Відрізки\(AD\) і\(BC\).

    1. Яка площа кола, в квадратних одиницях? Виберіть все, що застосовується.
      1. \(4\pi \)
      2. \(\pi 8\)
      3. \(16\pi \)
      4. \(\pi4^{2}\)
      5. приблизно\(25\)
      6. приблизно\(50\)
    2. Якщо площа кола -\(49\pi \) квадратні одиниці, який його радіус? Поясніть свої міркування.

    Вправа\(\PageIndex{2}\): Circular Volumes

    Який обсяг кожної фігури, в кубічних одиницях? Навіть якщо ви не впевнені, зробіть розумну здогадку.

    clipboard_e9db60cc3c644b2558e4d98a193f0d942.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)
    1. Малюнок А: Прямокутна призма, основа якої має площу 16 квадратних одиниць і висота якої становить 3 одиниці.
    2. Малюнок B: Циліндр, основа якого має площу 16\(\pi\) квадратних одиниць і висота якого дорівнює 1 одиниці.
    3. Малюнок C: Циліндр, основа якого має площу 16\(\pi\) квадратних одиниць і висота якого становить 3 одиниці.

    Ви готові до більшого?

    призма призма призма циліндр
    цоколь: квадрат основа: шестигранник основа: восьмикутник основа: коло
    Таблиця\(\PageIndex{1}\)
    clipboard_e11c5671e9ec844b4edbd134e6b0bb5d2.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Ось тверді речовини, які пов'язані загальним вимірюванням. У кожному з цих твердих тіл відстань від центру підстави до найдальшого краю підстави становить 1 одиницю, а висота твердого тіла - 5 одиниць. Використовуйте 3.14 як наближення\(\pi\) для вирішення цих проблем.

    1. Знайдіть площу квадратної основи та круглої основи.
    2. Використовуйте ці області для обчислення обсягів прямокутної призми і циліндра. Як вони порівнюють?
    3. Не роблячи ніяких розрахунків, перерахуйте цифри від найменших до найбільших за обсягом. Використовуйте зображення та свої знання полігонів, щоб пояснити свої міркування.
    4. Площа шестикутника становить приблизно 2,6 квадратних одиниці, а площа восьмикутника - приблизно 2,83 квадратних одиниці. Використовуйте ці області для обчислення обсягів призм з основами шестикутника і восьмикутника. Як це відповідає вашому поясненню попереднього питання?

    Вправа\(\PageIndex{3}\): A Cylinder's Dimensions

    1. Для циліндрів A—D намалюйте радіус і висоту. Позначте радіус з\(r\) a, а висоту - з\(h\).

    clipboard_e1352ab508f50b7e7bf76ff671f3c0067.png
    Ілюстрація\(\PageIndex{4}\): Зазначення авторства: «Автоцистерна для води Volvo в Іраку» /фото силосу, Джум Гордон/N3dling. Громадське надбання. Вікісховище/ Pixabay. Джерело.

    2. Раніше ви дізналися, як накидати циліндр. Намалюйте циліндри для E та F та позначте радіус та висоту кожного з них.

    Вправа\(\PageIndex{4}\): A Cylinder's Volume

    1. Тут знаходиться циліндр висотою 4 одиниці і діаметром 10 одиниць.

    clipboard_e6a150787287753726872f1d5b3ba56aa.png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)
    1. Заштрихуйте основу циліндра.
    2. Яка площа підстави циліндра? Висловіть свою відповідь з точки зору\(\pi\).
    3. Який обсяг цього циліндра? Висловіть свою відповідь з точки зору\(\pi\).

    2. Силос - це циліндричний контейнер, який використовується на фермах для зберігання великої кількості товарів, таких як зерно. На певній фермі силос має висоту 18 футів і діаметр 6 футів. Зробіть ескіз цього силосу і позначте його висоту і радіус. Скільки кубічних футів зерна може вмістити цей силос? Використовуйте 3.14 як наближення для\(\pi\).

    Ви готові до більшого?

    Один із способів побудови циліндра - взяти прямокутник (наприклад, аркуш паперу), скрутити два протилежних краю разом, і склеїти їх на місце.

    clipboard_e6e9a32dc60f975eda714e51e2428b007.png
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)

    Що дало б циліндру більший об'єм: склеювання двох пунктирних країв разом або склеювання двох твердих країв?

    Резюме

    Ми можемо знайти об'єм циліндра з радіусом\(r\) і висотою,\(h\) використовуючи дві ідеї, які ми бачили раніше:

    • Обсяг прямокутної призми є результатом множення площі її підстави на висоту.
    • Підставою циліндра є коло з радіусом\(r\), тому площа основи є\(\pi r^{2}\).

    Пам'ятайте, що\(\pi\) це число, яке ми отримуємо, коли ділимо окружність будь-якого кола на його діаметр. Значення\(\pi\) дорівнює приблизно 3,14.

    Так само, як прямокутна призма, об'єм циліндра - це площа основи, що перевищує висоту. Наприклад, візьмемо циліндр, радіус якого дорівнює 2 см і висота якого 5 см.

    clipboard_e0979113482c971bbf5381efb5c2790a6.png
    Малюнок\(\PageIndex{7}\)

    Підстава має площу 2\(4\pi\) см (так як\(\pi\cdot 2^{2}=4\pi\)), тому обсяг дорівнює 3\(20\pi\) см (так як\(4\pi\cdot 5=20\pi\)). Використовуючи 3,14 в якості наближення для, можна сказати, що обсяг циліндра дорівнює приблизно 62,8 см 3.

    Загалом, основа циліндра з радіусними\(r\) одиницями має площу\(\pi r^{2}\) квадратних одиниць. Якщо висота\(h\) одиниці, то обсяг\(V\) в кубічних одиницях дорівнює\(V=\pi r^{2}h\)

    Записи глосарію

    Визначення: Конус

    Конус - це об'ємна фігура, схожа на піраміду, а ось основа - коло.

    Визначення: Циліндр

    Циліндр - це тривимірна фігура, схожа на призму, але з підставами, які є колами.

    Визначення: Сфера

    Сфера - це тривимірна фігура, в якій всі поперечні перерізи в кожному напрямку є колами.

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    • Ескіз циліндра.
    • Позначте його радіус 3 і висоту 10.
    • Відтінок в одній з його основ.

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    На фермі тварин годують тюками сіна і відрами зерна. Кожен тюк сіна має форму прямокутної призми. Основа має довжину сторін 2 фути і 3 фути, а висота - 5 футів. Кожне відро зерна являє собою циліндр діаметром 3 фути. Висота ковша - 5 футів, така ж, як висота тюка.

    1. Що більше за площею, прямокутна основа тюка або кругла основа ковша? Поясніть, як ви знаєте.
    2. Що більше за обсягом, тюк або відро? Поясніть, як ви знаєте.

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Три циліндра мають висоту 8 см. Циліндр 1 має радіус 1 см. Циліндр 2 має радіус 2 см. Циліндр 3 має радіус 3 см. Знайдіть обсяг кожного циліндра.

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Однокварний контейнер томатного супу має форму прямокутної призми. Супова миска у формі півсфери вміщує 8 унцій рідини. Скільки мисок заповнить ємність для супу? Нагадаємо, що 1 кварта еквівалентна 32 унції рідини (унція).

    (З блоку 5.4.2)

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Зіставте кожен набір інформації про коло з площею цього кола.

    1. Коло А має радіус 4 одиниці.
    2. Коло В має радіус 10 одиниць.
    3. Коло С має радіус 16 одиниць.
    4. Коло D має радіус\(4\pi\) одиниць.
    1. \(4\pi\)квадратні одиниці
    2. приблизно 314 квадратних одиниць
    3. \(64\pi\)квадратні одиниці
    4. \(16\pi\)квадратні одиниці

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Двоє студентів приєднатися до клубу вирішення головоломок і отримати швидше в закінченні головоломки, як вони отримують більше практики. Студент А покращує свій час швидше, ніж студент Б.

    clipboard_e9ecf3b08bde523c9027ec837dc82e5fb.png
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)
    1. Зіставте учнів до ліній\(l\) і\(m\).
    2. Який студент швидше вирішував головоломки перед практикою?

    (Від блоку 5.3.1)