5.3.3: Кусково-лінійні функції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57457

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте вивчимо функції, побудовані з лінійних частин.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Notice and Wonder: Lines on Dots

Що ви помічаєте? Що вам цікаво?

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Scatterplot, горизонтальний, час в години-після півночі, від 0 до 12 одиниць, вертикальний, температура в градусах Фаренгейта. П'ятдесят точок наближають пряму лінію від точки 2 5 кома 50 збільшуючи до 5 пункту 75 кома 59 і потім зменшуючи звідти до 12 кома 52 точка 5.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Modeling Recycling

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Графік розсіювання, горизонтальний, рік, 1900 до 2015 на п'ятірки, вертикальний, відсоток перероблений, від 15 до 27% на три. Починаючи з 1991 коми 16%, точки тенденція лінійно вгору до 1996 коми 22%, потім лінійно вгору з менш крутою швидкістю до 2011 коми 26%, потім дві точки тенденція вниз.

Приблизний відсоток переробляється щороку з кусково-лінійною функцією, малюючи між трьома та п'ятьма відрізками ліній, щоб наблизити графік.
Знайдіть ухил для кожного шматка. Про що говорять вам ці схили?

Вправа\(\PageIndex{3}\): Dog Bath

Олена наповнила ванну і дала собаці ванну. Потім вона випускає воду з ванни.

Графік показує кількість води у ванні, в галонів, як функція часу, в хвилинах. Додайте мітки до графіка, щоб показати це.
Коли вона вимкнула водопровідний кран?
Скільки води було в ванні, коли вона купала свою собаку?
Скільки часу знадобилося, щоб ванна повністю стікала?
З якою швидкістю змішувач заповнив ванну?
З якою швидкістю стікала вода з ванни?

Вправа\(\PageIndex{4}\): Distance and Speed

Графік показує швидкість автомобіля в залежності від часу. Опишіть, що побачив би людина, що дивиться автомобіль.

Ви готові до більшого?

Графік моделює швидкість автомобіля протягом функції часу під час
3-годинної поїздки. Як далеко зайшов автомобіль по ходу поїздки?

Існує хороший спосіб візуалізувати цю величину з точки зору графіка. Чи можете ви його знайти?

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Координатна площина, горизонтальна вісь, час у хвилинах, від 0 до 180 на п'ятнадцять. Вертикальна вісь, швидкість в милі на годину, від 0 до 80 на десятки. Відрізок від замкнутого кола в (0 кома 20) до відкритого кола на (0 кома 60). відрізок від замкнутого кола в (60 кома 30) до відкритого кола в (90 кома 30). Відрізок від замкнутого кола в (90 кома 50) до відкритого кола в (120 кома 50). Відрізок від замкнутого кола в (120 кома 40) до відкритого кола в (135 кома 40). Відрізок від замкнутого кола в (135 кома 20) до відкритого кола (150 кома 20). Відрізок від замкнутого кола (150 кома 10) до відкритого кола в (180 кома 10).

Резюме

Цей графік показує, як Андре їде на велосипеді до будинку свого друга, де він деякий час бовтається. Потім вони разом їздять на велосипеді до магазину, щоб купити деякі продукти, перш ніж мчати назад в будинок Андре на ніч кіно. Кожен відрізок лінії на графіку представляє іншу частину подорожей Андре.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Графік складається з 5 лінійних секцій. Горизонтальна вісь, час, вертикальна вісь, відстань від будинку. Починаючи з початку, перший сегмент нахиляється вгору, коли він рухається вправо. Другий відрізок горизонтальний, третій відрізок нахилів вгору і вправо, крутіше, ніж перший відрізок. Четвертий відрізок горизонтальний, п'ятий відрізок нахиляється вниз і вправо назад до горизонтальної осі.

Це приклад кусково-лінійної функції, яка є функцією, графік якої зібраний разом з відрізків лінії. Він може бути використаний для моделювання ситуацій, в яких величина змінюється з постійною швидкістю на деякий час, потім перемикається на іншу постійну швидкість.

Ми можемо використовувати кускові функції для представлення історій, або ми можемо використовувати їх для моделювання фактичних даних. У другому прикладі записи температури кілька разів протягом дня моделюються за допомогою кускової функції, що складається з двох відрізків лінії. Який відрізок лінії, на вашу думку, найкраще працює з моделювання даних?

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Scatterplot, горизонтальний, час в години-після півночі, від 0 до 12 одиниць, вертикальний, температура в градусах Фаренгейта. П'ятдесят точок наближають пряму лінію від точки 2 5 кома 50 збільшуючи до 5 пункту 75 кома 59 і потім зменшуючи звідти до 12 кома 52 точка 5.

Практика

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Графік показує відстань автомобіля від будинку в залежності від часу.

Опишіть, що може бачити людина, яка спостерігає за автомобілем.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Рівняння і графік представляють дві функції. Використовуйте рівняння\(y=4\) і графік, щоб відповісти на питання.

Коли\(x\) дорівнює 4, вихід рівняння або графіка більше?
Яке значення для\(x\) дає однаковий результат як на графіку, так і в рівнянні?

(Від блоку 5.2.5)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

На цьому графіку показана поїздка по велосипедній стежці. Траса має маркери кожні 0,5 км, що показують відстань від початку стежки.

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Координатна площина, x, час у годині, від 0 до 3 точки 4 за точкою 2, y, відстань від початку в кілометрах, від 0 до 10 на 2. Відрізки лінії, що з'єднують початок і (точка 8 кома 8), (1 точка 4 кома 8), (2 точка 2 кома 10), (2 точка 4 кома 10), (2 точка 6 кома 5), (3 кома 0).

Коли велосипедист йшов найшвидше?
Коли велосипедист йшов найповільніше?
У які часи вершник йшов від початку стежки?
Протягом яких часів вершник повертався до початку стежки?
У який час вершник зупинився?

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Вираз\(-25t+1250\) представляє об'єм рідини контейнера через\(t\) секунди. Вираз\(50t+250\) представляє обсяг рідини іншої ємності через\(t\) секунди. Що\(-25t+1250=50t+250\) означає рівняння в даній ситуації?

(Від блоку 4.2.8)