Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.3.2: Лінійні моделі

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57456

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Давайте змоделюємо ситуації з лінійними функціями.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Candlelight

    Горить свічка. Він починається з 12 дюймів завдовжки. Через 1 годину він становить 10 дюймів завдовжки. Через 3 години він становить 5,5 дюйма в довжину.

    1. Як ви думаєте, коли свічка згорить повністю?
    2. Чи є висота свічки функцією часу? Якщо так, це лінійна функція? Поясніть своє мислення.

    Цей інструмент тут для вас, щоб використовувати, якщо ви виберете. Щоб побудувати точку, введіть її координати. Наприклад, спробуйте набрати текст\((1,2)\). Для побудови графіка лінії введіть її рівняння. Спробуйте набрати текст\(y=2x-3\). Ви можете видалити що завгодно, натиснувши на X поруч з ним.

    Вправа\(\PageIndex{2}\): Shadows

    Коли Сонце було прямо над головою, палиця не мала тіні. Через 20 хвилин тінь була довжиною 10,5 см. Через 60 хвилин вона була довжиною 26 см.

    clipboard_e4b8c2c9f42c8dcdec71f173829e1f5ae.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)
    1. Виходячи з цієї інформації, прикиньте, скільки часу це буде через 95 хвилин.
    2. Через 95 хвилин тінь відміряла 38,5 см. Як це порівнюється з вашою оцінкою?
    3. Чи є довжина тіні функцією часу? Якщо так, то це лінійно? Поясніть свої міркування.

    Цей інструмент тут для вас, щоб використовувати, якщо ви виберете. Щоб побудувати точку, введіть її координати. Наприклад, спробуйте набрати текст\((3,5)\). Для побудови графіка лінії введіть її рівняння. Спробуйте набрати текст\(y=2x+7\). Ви можете видалити що завгодно, натиснувши на X поруч з ним.

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Recycling

    На попередньому уроці ми побачили цей графік, який показує відсоток всього сміття в США, який був перероблений між 1991 і 2013 роками.

    clipboard_ecca54829d5513f6bd8f8d3e90cbb6f81.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Зазначення авторства: Ширлі810. Громадське надбання. Піксабай. Джерело.
    clipboard_e00bc43a8254e521abf88ac7ded73b0f1.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\): Графік розсіювання, горизонтальний, рік, 1900 до 2015 на п'ятірки, вертикальний, відсоток перероблений, від 15 до 27% на три. Починаючи з 1991 коми 16%, точки тенденція лінійно вгору до 1996 коми 22%, потім лінійно вгору з менш крутою швидкістю до 2011 коми 26%, потім дві точки тенденція вниз.
    1. Намалюйте лінійну функцію, яка моделює зміну відсотка сміття, який був перероблений між 1991 та 1995 роками. За які роки модель добре прогнозує відсоток сміття, який виробляється? За які роки це не так добре?
    2. Виберіть інший період часу для моделювання з ескізом лінійної функції. На які роки модель добре робить прогнози? Для яких років це не дуже добре?

    Резюме

    Вода має різні точки кипіння на різних висотах. На 0 м над рівнем моря температура кипіння становить\(100^{\circ}\) C. На 2500 м над рівнем моря температура кипіння дорівнює\(91.3^{\circ}\) C. Якщо ми припускаємо, що температура кипіння води є лінійною функцією висоти, ми можемо використовувати ці дві точки даних для обчислення нахилу лінії:\(m=\frac{91.3-100}{2,500-0}=\frac{-8.7}{2,500}\)

    Цей ухил означає, що при кожному збільшенні на 2500 м температура кипіння води зменшується на\(8.7^{\circ}\)\(100^{\circ}\) C. Далі ми вже знаємо, що\(y\) -перехоплення - це С з першої точки, тому лінійне рівняння, що представляє дані\(y=\frac{-8.7}{2,500}x+100\)

    Це рівняння є прикладом математичної моделі. Математична модель - це математичний об'єкт, такий як рівняння, функція або геометрична фігура, яку ми використовуємо для представлення реальної ситуації. Іноді ситуацію можна моделювати за допомогою лінійної функції. Ми повинні використовувати судження про те, чи є це розумною справою на основі інформації, яку нам дають. Ми також повинні знати, що модель може робити неточні прогнози або може бути придатною лише для певних діапазонів значень.

    Тестуючи нашу модель на температуру кипіння води, вона точно прогнозує, що на висоті 1000 м над рівнем моря (коли\(x=1,000\)) вода буде кипіти при\(96.6^{\circ}\) С з тих пір\(y=\frac{-8.7}{2,500}\cdot 1000+100=96.5\). Для більш високих висот модель не така точна, але вона все одно близька. На рівні 5,000 м над рівнем моря він прогнозує\(82.6^{\circ}\) C, що дорівнює\(0.6^{\circ}\) C від фактичного значення\(83.2^{\circ}\) C. На 9,000 м над рівнем моря він прогнозує\(69.7^{\circ}\) C, що приблизно\(3^{\circ}\) C менше фактичного значення C\(71.5^{\circ}\). Модель продовжує бути менш точною на ще більш високих висотах оскільки взаємозв'язок між температурою кипіння води та висотою не є лінійним, але для висот, в яких живе більшість людей, це досить добре.

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    clipboard_e156accb7c626bbfc20641258eaf367c9.png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    У перший день після молодика освітлюється 2% поверхні Місяця. На другий день висвітлюється 6%.

    1. Виходячи з цієї інформації, прогнозуйте день, коли поверхня Місяця освітлена на 50% і на 100% освітлена.
    2. Поверхня Місяця на 100% освітлена на 14 день. Чи згоден це з прогнозом, який ви зробили?
    3. Чи є процентне освітлення поверхні Місяця лінійною функцією дня?

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    У науковому класі Джада використовує градуйований циліндр з водою в ньому для вимірювання обсягу деяких мармурів. Після скидання в 4 кульки так що всі вони знаходяться під водою, вода в циліндрі знаходиться на висоті 10 мілілітрів. Після скидання в 6 кульок, щоб вони все під водою, вода в циліндрі знаходиться на висоті 11 мілілітрів.

    1. Який обсяг 1 мармуру?
    2. Скільки води було в циліндрі до того, як будь-який мармур був скинутий?
    3. Якою має бути висота води після того, як 13 мармуру скидаються?
    4. Чи є залежність між об'ємом води та кількістю мармуру лінійною залежністю? Якщо так, то що означає нахил лінії, що представляє це співвідношення? Якщо ні, поясніть свої міркування.

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Розв'яжіть кожне з цих рівнянь. Поясніть або покажіть свої міркування.

    \[2(3x+2)=2x+28\qquad 5y+13=-43-3y\qquad 4(2a+2)=8(2-3a)\nonumber\]

    (Від блоку 4.2.4)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Для певного міста високі температури (в градусах Цельсія) побудовані проти кількості днів після нового року.

    Виходячи з цієї інформації, чи є висока температура в цьому місті лінійною функцією кількості днів після нового року?

    clipboard_ee4b3c658ccd9f2265ac599c03706b7ec.png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Школа спроектувала свій город, щоб мати периметр 32 футів з довжиною на два фути більше, ніж удвічі більше ширини.

    1. Використовуючи\(l\) для представлення довжини саду і\(w\) для представлення його ширини, напишіть і вирішіть систему рівнянь, яка описує цю ситуацію.
    2. Які розміри саду?

    (Від блоку 4.3.6)