Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.3.1: Лінійні функції

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57464

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Давайте досліджуємо лінійні функції.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Bigger and Smaller

    Дієго сказав, що ці графіки упорядковані від найменших до найбільших. Май сказав, що їх замовляють від найбільших до найменших. Але це графіки, а не цифри! Як ви думаєте, про що думають Дієго і Май?

    clipboard_e4a464b4e26617b87c0d54c4ffb05acef.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\): Proportional Relationships Define Linear Functions

    1. Джада заробляє 7 доларів на годину, стригаючи газони сусіда.

    1. Назвіть дві величини в цій ситуації, які перебувають у функціональному співвідношенні. Яку ви вирішили бути незалежною змінною? Що таке змінна, яка від неї залежить?
    2. Ось графік функції. Позначте осі. Позначте принаймні дві точки парами введення-виведення.
    3. Напишіть рівняння, яке представляє функцію.
    clipboard_eb4e7f9eeb06cbb23db6d9cb055c9d204.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    2. Щоб перетворити фути в ярди, ви помножте кількість футів на\(\frac{1}{3}\).

    1. Назвіть дві величини в цій ситуації, які перебувають у функціональному співвідношенні. Яку ви вирішили бути незалежною змінною? Що таке змінна, яка від неї залежить?
    2. Напишіть рівняння, яке представляє функцію.
    3. Намалюйте графік функції. Позначте принаймні дві точки парами введення-виведення.
    clipboard_e53299af35b872a9258b4e3fd6565da61.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Is it Filling Up or Draining Out?

    Є чотири резервуари з водою.

    • Кількість води в галоні\(A\), в резервуарі А задається функцією\(A=200+8t\), де\(t\) знаходиться в хвилинах.
    • Кількість води в галонів\(B\), в резервуарі B починається з 400 галонів і зменшується на 5 галонів на хвилину. Ці функції працюють, коли\(t\geq 0\) і\(t\leq 80\).
    1. Який резервуар почав з більшої кількості води?
    2. Напишіть рівняння, що представляє зв'язок між\(B\) і\(t\).
    3. Наповнюється один бак. Інший стікає назовні. Що таке? Як ви можете сказати?
    4. Кількість води в галоні\(C\), в резервуарі С задається функцією\(C=800-7t\). Це заповнення або злив? Чи можете ви сказати, просто дивлячись на рівняння?
    5. Наведено графік функції для кількості води в галоні\(D\), в резервуарі D за часом\(t\). Це заповнення або злив? Звідки ти знаєш?
    clipboard_e811ee8d99e10e3f26c131573da0c8d52.png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Ви готові до більшого?

    • Підберіть резервуар, який стікав. Скільки часу знаходилося, щоб цей бак зливався? Який відсоток був наповнений танком, коли минуло 30% того часу? Коли минуло 70% часу?
    • Яка точка в площині становить 30% шляху від\((0,15)\) до\((5,0)\)? 70% шляху?
    • Яка точка в площині становить 30% шляху від\((3,5)\) до\((8,6)\)? 70% шляху?

    Вправа\(\PageIndex{4}\): Which is Growing Faster?

    Ной щотижня вносить гроші на свій рахунок, щоб заощадити гроші. На графіку відображається сума, яку він зберіг в залежності від часу з моменту відкриття рахунку.

    Олена відкрила рахунок в той же день, що і Ной. Сума грошей\(E\) на її рахунку дається функцією\(E=8w+60\), де\(w\) - кількість тижнів з моменту відкриття рахунку.

    clipboard_ed0d230483812dfb9d5055f257702059f.png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)
    1. Хто почав з більшою кількістю грошей на своєму рахунку? Поясніть, як ви знаєте.
    2. Хто економить гроші більш швидкими темпами? Поясніть, як ви знаєте.
    3. Скільки заощадить Ной протягом року, якщо він не зробить ніяких зняття коштів? Скільки часу знадобиться Олені, щоб заощадити стільки?

    Резюме

    Припустимо, автомобіль їде зі швидкістю 30 миль на годину. Відносини між часом в годинами і відстанню в милі є пропорційною залежністю. Ми можемо уявити цю залежність рівнянням виду\(d=30t\), де відстань - це функція часу (оскільки кожен вхід часу має рівно один вихід відстані). Або ми могли б написати рівняння\(t=\frac{1}{30}d\) замість цього, де час є функцією відстані (оскільки кожен вхід відстані має рівно один вихід часу).

    Більш загально, якщо ми представляємо лінійну функцію з рівнянням\(y=mx+b\), як, то\(b\) початкове значення (яке дорівнює 0 для пропорційних відносин), і\(m\) це швидкість зміни функції. Якщо\(m\) позитивний, функція збільшується. Якщо\(m\) негативний, функція зменшується. Якщо ми представляємо лінійну функцію по-іншому, скажімо, з графіком, ми можемо використовувати те, що ми знаємо про графіки рядків, щоб знайти\(b\) значення\(m\) і, якщо потрібно, написати рівняння.

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Дві машини їздять по одній трасі в одному напрямку. Графіки показують відстань\(d\), кожного з них як функція часу,\(t\). Яка машина їздить швидше? Поясніть, як ви знаєте.

    clipboard_edb6ac223e4d9cee1d94f88adb2019163.png
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Два автосервіси пропонують забрати вас і доставити вас до місця призначення. Сервіс A стягує 40 центів, щоб забрати вас і 30 центів за кожну милю вашої поїздки. Сервіс B стягує 1,10 долара, щоб забрати вас, і стягує\(c\) центи за кожну милю вашої поїздки.

    1. Зіставте послуги з Лінії\(l\) і\(m\).
    2. Для служби B додаткова плата за милю більша або менше 30 центів за милю більша або менше 30 центів за милю поїздки? Поясніть свої міркування.
    clipboard_e172db1de99113bce90fd6088c1143661.png
    Малюнок\(\PageIndex{7}\)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Кіран і Клер люблять мчати один одного додому зі школи. Вони бігають з однаковою швидкістю, але будинок Кірана трохи ближче до школи, ніж будинок Клер. На графіку їх відстань від їхніх будинків у метрах є функцією часу від того, коли вони починають гонку в секундах.

    1. Коли ви читаєте графіки зліва направо, чи будуть лінії йти вгору або вниз?
    2. Чим відрізняються лінії, що представляють біг Кірана та пробіг Клер?
    3. Що те саме стосується застави, що представляють біг Кірана та пробіг Клер?

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Напишіть рівняння для кожного рядка.

    clipboard_e4338de4f2ed70875be3250793e93417f.png
    Малюнок\(\PageIndex{8}\): П'ять рядків. Зелена лінія, горизонтальна наскрізна (0 кома негативна 2). Червона лінія через (0 кома 5) і (1 кома 7). Жовта лінія через (0 кома 5) і (1 кома 2). Чорна лінія через (0 кома негативна 5) і (5 кома 4). Синя лінія, вертикальна, наскрізна (5 кома 0).

    (Від блоку 3.3.3)