5.2.5: Підключення представлень функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57437

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте з'єднаємо таблиці, рівняння, графіки та історії функцій.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Which are the Same? Which are Different?

Ось три різних способи представлення функцій. Як вони схожі? Чим вони відрізняються? \(y=2x\)

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
\(p\)	-2	-1	0	1	2	3
\(q\)	4	2	0	-2	-4	-6

Вправа\(\PageIndex{2}\): Comparing Temperatures

Графік показує температуру між полуднем і опівночі в місті А в певний день.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Графік в координатній площині, горизонтальний, час в години-після полудня, від 0 до 12 одиниць, вертикальний, температура в градусах Фаренгейта, від 50 до 60 одиниць. Графік починається з 0 кома 50 і піднімається повільно, тим швидше, як він рухається вправо, проходячи через 2 кому 52 і 4 кому 57, перш ніж досягати піку в 5 точка 8 кома 59. Потім графік неухильно знижується, коли він рухається вправо, поки не досягне точки 12 кома 52 точка 5.

У таблиці вказана температура\(T\), в градусах Фаренгейта, протягом\(h\) годин після полудня, в місті Б.

Таблиця\(\PageIndex{2}\)
\(h\)	1	2	3	4	5	6
\(T\)	82	78	75	62	58	59

В якому місті було тепліше о 16:00?
У якому місті була більша зміна температури між 13:00 і 17:00?
Наскільки більшою була найвища зафіксована температура в місті B, ніж найвища зафіксована температура в місті А за цей час?
Порівняйте виходи функцій, коли вхід дорівнює 3.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Comparing Volumes

Об'єм\(V\) куба з довжиною ребра\(s\) см задається рівнянням\(V=s^{3}\). Обсяг сфери є функцією її радіуса (в сантиметрах), і графік цього співвідношення показаний тут.

Об'єм куба з довжиною ребра\(s=3\) більшим або меншим за об'єм сфери з радіусом 3?
Якщо сфера має такий же об'єм, як куб з довжиною ребра 5, оцініть радіус сфери.
Порівняйте виходи двох функцій гучності, коли входи 2.

Ось аплет, який слід використовувати, якщо ви виберете.

Ви готові до більшого?

Оцініть довжину ребра куба, який має такий же об'єм, як і сфера з радіусом 2,5.

Вправа\(\PageIndex{4}\): It's Not a Race

Сім'я Олени їде по автостраді зі швидкістю 55 миль на годину.

Сім'я Андре їздить по одній і тій же автостраді, але не на постійній швидкості. У таблиці показано, як далеко подорожувала сім'я Андре\(d\), у милі, кожну хвилину протягом 10 хвилин.

Таблиця\(\PageIndex{3}\)
\(t\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
\(d\)	0.9	1.9	3.0	4.1	5.1	6.2	6.8	7.4	8	9.1

Скільки миль в хвилину становить 55 миль на годину?
Хто подорожував далі через 5 хвилин? Через 10 хвилин?
Скільки часу знадобилося родині Олени, щоб подорожувати, наскільки сім'я Андре подорожувала через 8 хвилин?
Для обох сімей відстань у милі є функцією часу в хвилинах. Порівняйте виходи цих функцій, коли вхід дорівнює 3.

Резюме

Функції - це все про отримання виходів з входів. Для кожного способу представлення функції - рівняння, графа, таблиці або словесного опису - ми можемо визначити вихід для заданого вхідного сигналу.

Скажімо, у нас є функція, представлена рівнянням\(y=3x+2\) де\(y\) залежна змінна і\(x\) є незалежною змінною. Якщо ми хотіли, щоб знайти вихід, який йде з 2, ми можемо ввести 2 в рівняння для\(x\) і знайти відповідне значення\(y\). У цьому випадку, коли\(x\) 2,\(y\) дорівнює 8 з\(3\cdot 2+2=8\).

Якщо замість цього ми мали графік цієї функції, то координати точок на графіку є парами введення-виведення. Таким чином, ми б читати\(y\) -координата точки на графіку, що відповідає значенню 2 для\(x\). Дивлячись на графік цієї функції тут, ми можемо побачити точку\((2,8)\) на ньому, так що вихід 8, коли вхід 2.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Графік прямої в координатній площині з початком координат з позначкою «O». Горизонтальна вісь має числа від'ємні від 1 до 2, а між кожним цілим числом є вертикальні лінії сітки. Вертикальна вісь має числа від'ємні від 2 до 8 з кроком 2, вказані, а між кожним цілим числом є горизонтальні лінії сітки. Лінія починається праворуч від осі y і нижче осі x. Вона нахиляється вгору і вправо, проходячи через точку з координатами негативні 1 кома 1, перетинає вісь у на 2, і проходить через зазначену точку з позначкою 2 кома 8.

Таблиця, що представляє цю функцію, показує пари вхід-вихід безпосередньо (хоча лише для вибраних входів).

Таблиця\(\PageIndex{4}\)
\(x\)	-1	0	1	2	3
\(y\)	-1	2	5	8	11

Знову ж таки, таблиця показує, що якщо вхід дорівнює 2, то вихід дорівнює 8.

Записи глосарію

Визначення: Залежна змінна

Залежна змінна представляє вихід функції.

Наприклад, припустимо, нам потрібно купити 20 штук фруктів і вирішити купити яблука і банани. Якщо ми спочатку виберемо кількість яблук, рівняння\(b=20-a\) показує кількість бананів, які ми можемо придбати. Кількість бананів є залежною змінною, оскільки вона залежить від кількості яблук.

Визначення: Незалежна змінна

Незалежна змінна представляє вхід функції.

Наприклад, припустимо, нам потрібно купити 20 штук фруктів і вирішити купити кілька яблук і бананів. Якщо ми спочатку виберемо кількість яблук, рівняння\(b=20-a\) показує кількість бананів, які ми можемо придбати. Кількість яблук є незалежною змінною, тому що ми можемо вибрати для неї будь-яке число.

Визначення: Радіус

Радіус - це відрізок лінії, який йде від центру до краю кола. Радіус може йти в будь-якому напрямку. Кожен радіус кола має однакову довжину. Ми також використовуємо слово радіус для позначення довжини цього відрізка.

Наприклад,\(r\) це радіус цього кола з центром\(O\).

Визначення: Обсяг

Обсяг - це кількість кубічних одиниць, які заповнюють тривимірну область, без будь-яких зазорів або перекриттів.

Наприклад, обсяг цієї прямокутної призми становить 60 одиниць ³, тому що вона складається з 3 шарів, які кожен 20 одиниць ³.

Практика

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Рівняння і таблиці представляють дві різні функції. Використовуйте рівняння\(b=4a-5\) і таблицю, щоб відповісти на питання. Ця таблиця представляє\(c\) як функцію\(a\).

Таблиця\(\PageIndex{5}\)
\(a\)	-3	0	2	5	10	12
\(c\)	-20	7	3	21	19	45

Коли\(a\) -3, є\(b\) або\(c\) більше?
\(c\)Коли 21, яке значення\(a\)? Яке значення\(b\), що йде з цим значенням\(a\)?
Коли\(a\) 6, є\(b\) або\(c\) більше?
Для яких значень ми\(a\) знаємо,\(c\) що більше, ніж\(b\)?

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Олена і Лін тренуються до забігу. Олена пробігає свою милю з постійною швидкістю 7,5 миль на годину.

Загальні відстані Ліна записуються щохвилини:

Таблиця\(\PageIndex{6}\)
час (хвилини)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
відстань (милі)	0,11	0,21	0,32	0,41	0,53	0,62	0,73	0,85	1

Хто закінчив свою милю першим?
Це графік прогресу Ліна. Намалюйте графік, щоб зобразити милю Олени на тих же осях.

3. Для цих моделей відстань є функцією часу? Чи є час функцією відстані? Поясніть, як ви знаєте.

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Зіставте кожне правило функції зі значенням, яке не може бути можливим входом для цієї функції.

3 ділиться на вхід
Додайте 4 до входу, потім розділіть це значення на 3
Відніміть 3 з вхідних даних, потім розділіть це значення на 1

3
4
-4
0
1

(З блоку 5.1.2)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Знайти значення,\(x\) яке робить рівняння істинним. Поясніть свої міркування і перевірте, чи ваша відповідь правильна.

\(-(-2x+1)=9-14x\)

(З блоку 4.2.3)