Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.3.6: Написання систем рівнянь

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57524

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Напишемо системи рівнянь з реальних ситуацій.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): How Many Solutions? Matching

    Зіставте кожну систему рівнянь з кількістю розв'язків, які має система.

    1. \(\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+4}\\{y=-\frac{4}{3}x-1}\end{array}\right.\)
    2. \(\left\{\begin{array}{l}{y=4x-5}\\{y=-2x+7}\end{array}\right.\)
    3. \(\left\{\begin{array}{l}{2x+3y=8}\\{4x+6y=17}\end{array}\right.\)
    4. \(\left\{\begin{array}{l}{y=5x-15}\\{y=5(x-3)}\end{array}\right.\)
    1. Немає рішень
    2. Одне рішення
    3. Нескінченно багато рішень

    Вправа\(\PageIndex{2}\): Situations and Systems

    Для кожної ситуації:

    • Створіть систему рівнянь.
    • Потім, не вирішуючи, інтерпретуйте, що рішення системи розповіло б вам про ситуацію.
    1. Сім'я Лін виходить на велосипедну прогулянку, коли її тато зупиняється, щоб сфотографувати пейзажі. Він каже решті сім'ї продовжувати йти і що він наздожене. Папа Ліна витрачає 5 хвилин на фотографування, а потім їде зі швидкістю 0,24 милі на хвилину, поки він не зустрінеться з рештою сім'ї далі по велосипедній доріжці. Лін та інші їхали зі швидкістю 0,18 милі на хвилину.
    2. Ной планує подорож на байдарках. Прокат байдарки A стягує базову плату в розмірі 15 доларів США плюс $4.50 на годину. Прокат байдарки B стягує базову плату в розмірі $12.50 плюс $5 на годину.
    3. Дієго робить велику партію випічки. Рецепт вимагає 3 полуниці на кожне яблуко. Дієго використовував 52 плоди все разом.
    4. Борошно коштує 0,80 долара за фунт, а цукор - 0,50 долара за фунт. Замовлення борошна і цукру важить 15 фунтів і коштує $9.00.

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Info Gap: Racing and Play Tickets

    Ваш викладач видасть вам або проблемну карту, або картку даних. Не показуйте і не читайте свою картку партнеру.

    Якщо ваш викладач дає вам проблемну карту:

    1. Мовчки читайте свою карту і подумайте, яка інформація вам потрібна, щоб мати можливість відповісти на питання.
    2. Попросіть свого партнера конкретну інформацію, яка вам потрібна.
    3. Поясніть, як ви використовуєте інформацію для вирішення проблеми.
      Продовжуйте задавати питання, поки у вас не буде достатньо інформації для вирішення проблеми.
    4. Поділіться проблемною картою і вирішуйте проблему самостійно.
    5. Прочитайте картку даних і обговоріть свої міркування.

    Якщо ваш викладач дає вам картку даних:

    1. Мовчки читайте свою картку.
    2. Запитайте свого партнера «Яка конкретна інформація вам потрібна?» і чекайте, поки вони попросять інформацію.
      Якщо ваш партнер запитує інформацію, якої немає на карті, не робіть розрахунків за них. Скажіть їм, що у вас немає такої інформації.
    3. Перш ніж ділитися інформацією, запитайте «Навіщо вам ця інформація? » Прислухайтеся до міркувань свого партнера і задайте уточнюючі питання.
    4. Прочитайте проблемну карту і вирішуйте проблему самостійно.
    5. Поділіться карткою даних і обговоріть свої міркування.

    Вправа\(\PageIndex{4}\): Solving Systems Practice

    Ось дуже багато систем рівнянь:

    • \(\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y=x-3}\end{array}\right.\)
    • \(\left\{\begin{array}{l}{y=5x-4}\\{y=4x+12}\end{array}\right.\)
    • \(\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x-4}\\{y=-\frac{4}{3}x+9}\end{array}\right.\)
    • \(\left\{\begin{array}{l}{4y+7x=6}\\{4y+7x=-5}\end{array}\right.\)
    • \(\left\{\begin{array}{l}{y=x-6}\\{x=6+y}\end{array}\right.\)
    • \(\left\{\begin{array}{l}{y=0.24x}\\{y=0.18x+0.9}\end{array}\right.\)
    • \(\left\{\begin{array}{l}{y=4.5x+15}\\{y=5x+12.5}\end{array}\right.\)
    • \(\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{+y=52}\end{array}\right.\)
    1. Не вирішуючи, визначте 3 системи, які, на вашу думку, будуть найменш важкими для вас вирішити, і 3 системи, на вашу думку, будуть найскладнішими. Будьте готові пояснити свої міркування.
    2. Виберіть 4 системи для вирішення. Принаймні один повинен бути з вашого «найменш важкого» списку, а один повинен бути з вашого «найскладнішого» списку.

    Резюме

    Ми навчилися вирішувати багато видів систем рівнянь за допомогою алгебри, які було б важко вирішити шляхом графікування. Наприклад, подивіться на

    \[\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{x+2y=7}\end{array}\right.\nonumber\]

    Перше рівняння говорить\(y=2x-3\), що, тому, де ми бачимо\(y\), ми можемо замінити вираз\(2x-3\) замість цього. Так стає друге рівняння\(x+2(2x-3)=7\).

    Ми можемо вирішити для\(x\):

    \[\begin{aligned} x+4x-6&=7 &\text{distributive property} \\ 5x-6&=7 &\text{combine like terms} \\ 5x&=13 &\text{add 6 to each side}\\ x&=\frac{13}{5} &\text{multiply each side by} \frac{1}{5}\end{aligned}\nonumber\]

    Ми знаємо, що\(y\) значення для рішення однакове для будь-якого рівняння, тому ми можемо використовувати будь-яке рівняння для його вирішення. Використовуючи перше рівняння, отримаємо:

    \[\begin{aligned} y&=2\left(\frac{13}{5}\right)-3 &\text{substitute x=}\frac{13}{5}\text{into the equation} \\ y&=\frac{26}{5}-3 &\text{multiply } 2\left(\frac{13}{5}\right)\text{ to make }\frac{26}{5} \\ y&=\frac{26}{5}-\frac{15}{5} &\text{rewrite 3 as }\frac{15}{5} \\ y&=\frac{11}{5}\end{aligned}\nonumber\]

    Якщо підставити\(x=\frac{13}{5}\) в інше рівняння\(x+2y=7\), то отримаємо таке ж\(y\) значення. Отже, рішення системи є\(\left(\frac{13}{5},\frac{11}{5}\right)\).

    Існує багато видів систем рівнянь, які ми навчимося вирішувати в майбутніх класах, як

    \[\left\{\begin{array}{l}{2x+3y=6}\\{-x+2y=3}\end{array}\right.\nonumber\]

    Або навіть

    \[\left\{\begin{array}{l}{y=x^{2}+1}\\{y=2x+3}\end{array}\right.\nonumber\]

    Записи глосарію

    Визначення: Система рівнянь

    Система рівнянь являє собою сукупність з двох і більше рівнянь. Кожне рівняння містить дві або більше змінних. Ми хочемо знайти значення для змінних, які роблять всі рівняння істинними.

    Ці рівняння складають систему рівнянь:

    \[\left\{\begin{array}{l}{x+y=-2}\\{x-y=12}\end{array}\right.\nonumber\]

    Рішення цієї системи є\(x=5\) і\(y=-7\) тому, що коли ці значення підставляються на\(x\) і\(y\), кожне рівняння вірно:\(5+(-7)=-2\) і\(5-(-7)=12\).

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Кіран і його двоюрідний брат працюють протягом літа в компанії з озеленення. Двоюрідний брат Кірана працює в компанії довше, тому його зарплата на 30% більше, ніж у Кірана. Минулого тижня його двоюрідний брат працював 27 годин, а Кіран працював 23 години. Разом вони заробили 493,85 долара. Що таке погодинна оплата Кірана? Поясніть або покажіть свої міркування.

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Вирішіть, який сюжет може бути представлений системою рівнянь\(y=x+6\) і\(x+y=100\). Поясніть свої міркування.

    1. Вчитель Дієго пише тест вартістю 100 балів. Є ще 6 питань з множинним вибором, ніж короткі відповіді.
    2. Лін і її молодший двоюрідний брат вимірюють свої висоти. Вони помічають, що Лін на 6 дюймів вище, а їх висота додає рівно 100 дюймів.

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Клер і Ной грають в гру, в якій заробляють однакову кількість очок за кожен гол і втрачають однакову кількість очок за кожен пенальті. Клер робить 6 голів і 3 пенальті, закінчуючи гру 6 очками. Ной заробляє 8 голів і 9 пенальті і закінчує гру\(-22\) очками.

    1. Напишіть систему рівнянь, яка описує результати Клер і Ноя. Використовуйте\(x\) для представлення кількості очок за гол і\(y\) для представлення кількості очок за пенальті.
    2. Вирішити систему. Що означає ваше рішення?

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Вирішити:

    \[\left\{\begin{array}{l}{y=6x-8}\\{y=-3x+10}\end{array}\right.\nonumber\]

    (Від блоку 4.3.5)

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    1. Оцініть координати точки, де зустрічаються дві лінії.

    clipboard_e11e5e375d307c01dcc1119345835750b.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Графік двох пересічних ліній в xy-площині. Масштаб від'ємний від 1 до 5 на обох осях. Перша лінія нахиляється вгору і вправо, перетинає вісь y в 0, і проходить через точку 3 кома 2. Друга лінія нахиляється вниз і вправо, перетинає вісь у в 6, і проходить через точку 2 кома 1.

    2. Виберіть два рівняння, що складають систему, представлену графіком.

    1. \(y=\frac{5}{4}x\)
    2. \(y=6-2.5x\)
    3. \(y=2.5x+6\)
    4. \(y=6-3x\)
    5. \(y=0.8x\)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Вирішіть систему рівнянь і підтвердіть точність вашої оцінки.

    (Від блоку 4.3.4)