4.3.5: Рішення більшої кількості систем

Урок

Розв'яжемо системи рівнянь.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Algebra Talk: Solving Systems Mentally

Вирішіть їх, не записуючи нічого:

\[\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=x-7}\end{array}\right.\nonumber\]

\[\left\{\begin{array}{l}{y=4}\\{y=x+3}\end{array}\right.\nonumber\]

\[\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-11}\end{array}\right.\nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{2}\): Challenge Yourself

Ось дуже багато систем рівнянь:

1. \(\left\{\begin{array}{l}{y=4}\\{x=-5y+6}\end{array}\right.\)
2. \(\left\{\begin{array}{l}{y=7}\\{x=3y-4}\end{array}\right.\)
3. \(\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+7}\\{x=-4}\end{array}\right.\)
4. \(\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+10}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.\)
5. \(\left\{\begin{array}{l}{y=-3x-5}\\{y=4x+30}\end{array}\right.\)
6. \(\left\{\begin{array}{l}{y=3x-2}\\{y=-2x+8}\end{array}\right.\)
7. \(\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{x=-2y+56}\end{array}\right.\)
8. \(\left\{\begin{array}{l}{x=2y-15}\\{y=-2x}\end{array}\right.\)
9. \(\left\{\begin{array}{l}{3x+4y=10}\\{x=2y}\end{array}\right.\)
10. \(\left\{\begin{array}{l}{y=3x+2}\\{2x+y=47}\end{array}\right.\)
11. \(\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+5}\\{2x+3y=31}\end{array}\right.\)
12. \(\left\{\begin{array}{l}{x+y=10}\\{x=2y+1}\end{array}\right.\)

1. Не вирішуючи, визначте 3 системи, які, на вашу думку, були б найменш важкими для вирішення, і 3 системи, які, на вашу думку, будуть найскладнішими для вирішення. Будьте готові пояснити свої міркування.
2. Виберіть 4 системи для вирішення. Принаймні один повинен бути з вашого «найменш важкого» списку, а один повинен бути з вашого «найскладнішого» списку.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Five Does Not Equal Seven

Тайлер розглядав цю систему рівнянь:

\[\left\{\begin{array}{l}{x+y=5}\\{x+y=7}\end{array}\right.\nonumber\]

Він сказав: «Просто дивлячись на систему, я бачу, що вона не має рішення. Якщо додати два числа, ця сума не може дорівнювати двом різним числам».

Чи згодні ви з Тайлером?

Ви готові до більшого?

У\(ABCD\) прямокутнику сторона\(AB\) дорівнює 8 сантиметрам, а\(BC\) сторона - 6 сантиметрів. \(F\)це точка на\(BC\) і\(E\) є точкою на\(AB\). Площа трикутника\(DFC\) становить 20 квадратних сантиметрів, а площа трикутника\(DEF\) - 16 квадратних сантиметрів. Що таке площа трикутника\(AED\)?

Резюме

Коли у нас є система лінійних рівнянь, де одне з рівнянь має форму\(y=\text{ [stuff]}\) або\(x=\text{ [stuff]}\), ми можемо вирішити її алгебраїчно, використовуючи метод, який називається заміщенням. Основна ідея полягає в заміні змінної на вираз, якому вона дорівнює (тому вираз схожий на замінник змінної). Наприклад, почнемо з системи:

\[\left\{\begin{array}{l}{y=5x}\\{2x-y=9}\end{array}\right.\nonumber\]

Оскільки ми знаємо\(y=5x\), що ми можемо замінити\(5x\)\(y\) в рівнянні\(2x-y=9\),

\(2x-(5x)=9\),

а потім вирішити рівняння для\(x\),

\(x=-3\).

Ми можемо знайти,\(y\) використовуючи будь-яке рівняння. Використовуючи перший:\(y=5\cdot -3\). Так

\((-3,15)\)

є рішенням цієї системи. Ми можемо переконатися в цьому, подивившись на графіки рівнянь в системі:

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Графік двох рядків, початок O, з сіткою. Горизонтальна вісь, x, від'ємна шкала від 10 до 10, на 2. Вертикальна вісь, y, від'ємна шкала від 30 до 30, на 10. Один рядок позначено як y дорівнює 5 x. Інший рядок позначено як 2 x мінус y дорівнює 9. Лінії перетинаються при від'ємних 3 комах негативних 15.

Звичайно, достатньо! Вони перетинаються в\((-3,-15)\).

Ми не знали цього в той час, але ми насправді використовували підміну в останньому уроці, а також. На цьому уроці ми розглянули систему

\[\left\{\begin{array}{l}{y=2x+6}\\{y=-3x-4}\end{array}\right.\nonumber\]

і ми підставили\(2x+6\) для\(y\) другого рівняння, щоб отримати\(2x+6=-3x-4\). Поверніться назад і перевірте самі!

Записи глосарію

Визначення: Система рівнянь

Система рівнянь являє собою сукупність з двох і більше рівнянь. Кожне рівняння містить дві або більше змінних. Ми хочемо знайти значення для змінних, які роблять всі рівняння істинними.

Ці рівняння складають систему рівнянь:

\[\left\{\begin{array}{l}{x+y=-2}\\{x-y=12}\end{array}\right.\nonumber\]

Рішення цієї системи є\(x=5\) і\(y=-7\) тому, що коли ці значення підставляються на\(x\) і\(y\), кожне рівняння вірно:\(5+(-7)=-2\) і\(5-(-7)=12\).

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вирішити:

\[\left\{\begin{array}{l}{y=6x}\\{4x+y=7}\end{array}\right.\nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вирішити:

\[\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{x=-2y+70}\end{array}\right.\nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{6}\)

1. \(y=-1.5x+6\)
2. \(y=-1.5x\)
3. \(2y=-3x+6\)
4. \(2y+3x=6\)
5. \(y=-2x+3\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Система\(x=6y=4\), не\(3x-18y=4\) має рішення.

1. Змініть одну константу або коефіцієнт, щоб зробити нову систему одним рішенням.
2. Змініть одну константу або коефіцієнт, щоб зробити нову систему з нескінченною кількістю рішень.

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Зіставте кожен графік з його рівнянням.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Чотири графіки, кожен з яких має лінію в площині x y. Графік А. Лінія перетинає вісь y в 3 і проходить через точку негативну 1 кому 1. Графік B. Лінія перетинає вісь y на від'ємній 3 і проходить через точку 1 кома негативна 1. Графік С. Лінія перетинає вісь y в 3 і проходить через точку 1 кому 1. Графік D. Лінія перетинає вісь y при від'ємній 3 і проходить через точку негативну 1 кому 1.

1. \(y=2x+3\)
2. \(y=-2x+3\)
3. \(y=2x-3\)
4. \(y=-2x-3\)

(Від блоку 3.3.3)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Ось два пункти:\((-3,4)\),\((1,7)\). Який нахил лінії між ними?

1. \(\frac{4}{3}\)
2. \(\frac{3}{4}\)
3. \(\frac{1}{6}\)
4. \(\frac{2}{3}\)

(Від блоку 3.3.2)