4.3.4: Розв'язування систем рівнянь

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57530

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Розв'яжемо системи рівнянь.

Вправа\(\PageIndex{1}\): True or False: Two Lines

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Графік з двох рядків, початок O. Горизонтальна вісь, від'ємна шкала 25 до 25, на 5. Вертикальна вісь, від'ємна шкала від 20 до 20, на 5. Рядок позначений y дорівнює від'ємному x плюс 10. Інший рядок позначений y дорівнює 2 х плюс 4. Лінії перетинаються в точці 2 кома 8.

Використовуйте рядки, щоб вирішити, чи є кожен оператор істинним чи хибним. Будьте готові пояснити свої міркування за допомогою рядків.

Рішення\(8=-x+10\) є 2.
Рішення\(2=2x+4\) 8.
Рішення\(-x+10=2x+4\) 8.
Рішення\(-x+10=2x+4\) є 2.
Немає цінностей\(x\) і\(y\) які роблять\(y=-x+10\) і\(y=2x+4\) правдиві в той же час.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Matching Graphs to Systems

Ось три системи рівнянь, побудованих на координатній площині:

Рисунок\(\PageIndex{2}\): Три графіки з двома лініями на площині x y, початок O. всі графіки мають від'ємну шкалу від 25 до 25 як на осі x, так і у. Графік A. Одна лінія нахиляється вниз і вправо. Він перетинає вісь x на 10 і вісь y на 20. Ще одна лінія нахиляється вгору і вправо. Він перетинає вісь у на 5. Він перетинає вісь x зліва від початку. Графік B. Одна лінія нахиляється вгору і вправо. Він перетинає вісь y між 25 і 30. Він перетинає вісь x між негативними 10 і негативними 15. Ще одна лінія нахиляється вгору і вправо. Він перетинає вісь y між 10 і 15. Він перетинає вісь x між негативними 20 і негативними 25. Графік C. Одна лінія нахиляється вгору і вправо. Він перетинає вісь x між 0 і 5. Він перетинає вісь y між 0 і негативним 5. Ще одна лінія нахиляється вгору і вправо. Він перетинає вісь x на 5 і вісь y при негативній 10.

Зіставте кожну фігуру з однією з систем рівнянь, показаних тут.
1. \(\left\{\begin{array}{l}{y=3x+5}\\{y=-2x+20}\end{array}\right.\)
2. \(\left\{\begin{array}{l}{y=2x-10}\\{y=4x-1}\end{array}\right.\)
3. \(\left\{\begin{array}{l}{y=0.5x+12}\\{y=2x+27}\end{array}\right.\)
Знайдіть рішення для кожної системи, а потім перевірте, чи є ваше рішення розумним на графіку.

Зверніть увагу, що повзунки встановлюють значення коефіцієнта та постійного члена в кожному рівнянні.
Змініть повзунки на значення коефіцієнта та постійного члена в наступній парі рівнянь.
Клацніть на місці, де лінії перетинаються, і повинна з'явитися мічена точка.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Different Types of Systems

Ваш викладач дасть вам сторінку з 6 системами рівнянь.

Графік кожної системи рівнянь, ввівши кожну пару рівнянь в аплеті, по одному за раз.
Опишіть, як виглядає графік системи рівнянь, коли він має.
1. 1 рішення
2. 0 рішень
3. нескінченно багато рішень

Використовуйте аплет, щоб підтвердити відповідь на питання 2.

Ви готові до більшого?

Графіки рівнянь\(Ax-By=9\) перетинаються\(Ax+By=15\) і в\((2,1)\). Знайти\(A\) і\(B\). Покажіть або поясніть свої міркування.

Резюме

Іноді простіше вирішити систему рівнянь без необхідності графувати рівняння і шукати точку перетину. Загалом, всякий раз, коли ми вирішуємо систему рівнянь, записаних як

\[\left\{\begin{array}{l}{y=\text{[some stuff]}}\\{y=\text{[some other stuff]}}\end{array}\right.\nonumber\]

ми знаємо, що ми шукаємо пару значень\((x,y)\), що робить обидва рівняння істинними. Зокрема, ми знаємо, що значення для\(y\) буде однаковим в обох рівняннях. Це означає, що

\[\text{[some stuff]}=\text{[some other stuff]}\nonumber\]

Наприклад, подивіться на цю систему рівнянь:

\[\left\{\begin{array}{l}{y=2x+6}\\{y=-3x-4}\end{array}\right.\nonumber\]

Так як\(y\) значення рішення однакове в обох рівняннях, то ми знаємо\(2x+6=-3x-4\)

Ми можемо вирішити це рівняння для\(x\):

\[\begin{aligned} 2x+6&=-3x-4 \\ 5x+6&=-4 &\text{add 3x to each side} \\ 5x&=-10 &\text{subtract 6 from each side} \\ x&=-2 &\text{divide each side by 5}\end{aligned}\nonumber\]

Але це тільки половина того, що ми шукаємо: ми знаємо значення для\(x\), але нам потрібно відповідне значення для\(y\). Оскільки обидва рівняння мають однакове\(y\) значення, ми можемо використовувати будь-яке рівняння, щоб знайти\(y\) значення -value:

\(y=2(-2)+6\)

Або

\(y=-3(-2)-4\)

В обох випадках ми це знаходимо\(y=2\). Отже, рішення системи є\((-2,2)\). Ми можемо перевірити це, намалювавши обидва рівняння в координатній площині.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Графік двох ліній лінії, початок O, з сіткою. Горизонтальна вісь, x, від'ємна шкала від 4 до 1, на 1 с. Вертикальна вісь, y, від'ємна шкала від 1 до 4, на 1, лінії перетинаються в точці негативної 2 коми 2.

В цілому система лінійних рівнянь може мати:

Ніяких рішень. При цьому лінії, які відповідають кожному рівнянню, ніколи не перетинаються.
Рівно одне рішення. Лінії, які відповідають кожному рівнянню, перетинаються рівно в одній точці.
Нескінченна кількість рішень. Графіки двох рівнянь - одна і та ж лінія!

Записи глосарію

Визначення: Система рівнянь

Система рівнянь являє собою сукупність з двох і більше рівнянь. Кожне рівняння містить дві або більше змінних. Ми хочемо знайти значення для змінних, які роблять всі рівняння істинними.

Ці рівняння складають систему рівнянь:

\[\left\{\begin{array}{l}{x+y=-2}\\{x-y=12}\end{array}\right.\nonumber\]

Рішення цієї системи є\(x=5\) і\(y=-7\) тому, що коли ці значення підставляються на\(x\) і\(y\), кожне рівняння вірно:\(5+(-7)=-2\) і\(5-(-7)=12\).

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

1. Напишіть рівняння для показаних рядків.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Графік двох пересічних ліній в xy-площині. Масштаб негативний від 8 до 8 на обох осях. Перша лінія нахиляється вгору і вправо, перетинає вісь y в 2, і проходить через точку 1 кома 5. Друга лінія нахиляється вниз і вправо, перетинає вісь у в 8, і проходить через точку 1 кома 5.

2. Опишіть, як знайти рішення відповідної системи, подивившись на графік.

3. Опишіть, як знайти рішення відповідної системи за допомогою рівнянь.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Рішення системи рівнянь є\((5,-19)\). Виберіть два рівняння, які можуть скласти систему.

\(y=-3x-6\)
\(y=2x-23\)
\(y=-7x+16\)
\(y=x-17\)
\(y=-2x-9\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Розв'яжіть систему рівнянь:

\[\left\{\begin{array}{l}{y=4x-3}\\{y=-2x+9}\end{array}\right.\nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Розв'яжіть систему рівнянь:

\[\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{4}x-2}\\{y=-\frac{1}{4}x+19}\end{array}\right.\nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Ось рівняння:\(\frac{15(x-3)}{5}=3(2x-3)\)

Вирішіть рівняння, використовуючи спочатку розподільну властивість.
Вирішіть рівняння без використання розподільного властивості.
Перевірте своє рішення.

(Від блоку 4.2.5)