4.3.3: Системи рівнянь

Урок

Давайте дізнаємося, що таке система рівнянь.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Milkshakes

Дієго і Лін п'ють молочні коктейлі. Лін починається з 12 унцій і\(\frac{1}{4}\) п'є унцію в секунду. Дієго починається з 20 унцій і\(\frac{2}{3}\) п'є унцію в секунду.

1. Скільки часу знадобиться Лін і Дієго, щоб закінчити свої молочні коктейлі?
2. Без графіків поясніть, як виглядатимуть графіки в цій ситуації. Подумайте про нахил, перехоплення, мітки осей, одиниці та точки перетину, щоб керувати своїм мисленням.
3. Обговоріть свій опис зі своїм партнером. Якщо ви не згодні, працюйте, щоб досягти згоди.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Passing on the Trail

Біля міста, де живуть Хан і Джада, є пішохідна стежка, яка починається на стоянці і закінчується біля озера. Хан і Джада обидва вирішують похід від стоянки до озера і назад, але вони починають свої походи в різний час.

У той час, коли Хан досягає озера і починає повертатися назад, Джада знаходиться в 0,6 милі від стоянки і піші прогулянки з постійною швидкістю 3,2 милі на годину до озера. Відстань Хана\(d\), від стоянки може бути виражена як\(d=-2.4t+4.8\), де\(t\) представляє час у годинами з моменту його виходу з озера.

1. Яке рівняння для відстані Джади від стоянки, коли вона прямує до озера?
2. Намалюйте обидва графіки: один із яких представляє рівняння Хана, а один - рівняння Джади. Важливо бути дуже точним.
3. Знайдіть точку, де два графіки перетинаються один з одним. Які координати цієї точки?
4. Що означають координати в даній ситуації?
5. Що має бути правдою щодо зв'язку між цими координатами та рівнянням Джади?
6. Що має бути правдою щодо зв'язку між цими координатами та рівнянням Хана?

Вправа\(\PageIndex{3}\): Stacks of Cups

Стопка\(n\) маленьких чашок має висоту\(h\), в сантиметрах\(h=1.5n+6\). Стопка\(n\) великих чашок має висоту\(h\), в сантиметрах\(h=1.5n+9\).

1. Графік рівняння для кожної чашки на одному і тому ж наборі осей. Обов'язково позначте осі і визначитеся з відповідною шкалою.
2. За яку кількість поліцейських будуть мати однакову висоту?

Резюме

Система рівнянь являє собою набір з 2 (або більше) рівнянь, де змінні представляють однакові невідомі значення. Наприклад, припустимо, що одночасно висаджуються два різних види бамбука. Рослина А починається з 6 футів заввишки і росте з постійною швидкістю\(\frac{1}{4}\) стопи щодня. Рослина B починається з 3 футів заввишки і росте з постійною швидкістю\(\frac{1}{2}\) стопи щодня. Ми можемо написати рівняння\(y=\frac{1}{4}x+6\)\(y=\frac{1}{2}x+3\) для рослини А та для рослини B, де\(x\) відображає кількість днів після посадки та представляє висоту. Ми можемо записати цю систему рівнянь.

\[\left\{\begin{array}{c} {y=\frac{1}{4}x+6}\\{y=\frac{1}{2}x+3}\end{array}\right.\nonumber\]

Розв'язування системи рівнянь означає знайти значення\(x\) і\(y\) які роблять обидва рівняння істинними одночасно. Один із способів, який ми бачили, щоб знайти рішення системи рівнянь, - це графік обох ліній і знайти точку перетину. Точка перетину представляє пару\(y\) значень\(x\) і, які роблять обидва рівняння істинними. Ось графік для прикладу бамбука:

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Графік двох рядків, початок O, з сіткою. Горизонтальна вісь, час у днях, масштаб від 0 до 13, на 1. Вертикальна вісь, висота в футах, масштаб від 0 до 12, на 1. Лінія, позначена Plant A, перетинає вісь y на 6. Лінія, позначена Plant B, перетинає вісь y на 3. Лінії перетинаються в точці 12 кома 9.

Рішення цієї системи рівнянь полягає в тому\((12,9)\), що обидва бамбукові рослини будуть висотою 9 футів через 12 днів.

Ми бачили системи рівнянь, які не мають розв'язків, одного рішення та нескінченно багатьох розв'язків.

• Коли лінії не перетинаються, рішення немає. (Лінії, які не перетинаються, паралельні.)
• Коли лінії перетинаються один раз, є одне рішення.
• Коли лінії знаходяться прямо один на одного, рішень нескінченно багато.

У майбутніх уроках ми побачимо, що деякі системи не можуть бути легко вирішені графіком, але їх можна легко вирішити за допомогою алгебри.

Записи глосарію

Визначення: Система рівнянь

Система рівнянь являє собою сукупність з двох і більше рівнянь. Кожне рівняння містить дві або більше змінних. Ми хочемо знайти значення для змінних, які роблять всі рівняння істинними.

Ці рівняння складають систему рівнянь:

\[\left\{\begin{array}{c}{x+y=-2}\\{x-y=12}\end{array}\right.\nonumber\]

Рішення цієї системи є\(x=5\) і\(y=-7\) тому, що коли ці значення підставляються на\(x\) і\(y\), кожне рівняння вірно:\(5+(-7)=-2\) і\(5-(-7)=12\).

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Ось графік для одного рівняння в системі рівнянь:

Рисунок\(\PageIndex{2}\): Графік прямої в площині x y, початок O, з сіткою. Горизонтальна вісь, від'ємна шкала від 6 до 6, на 1. Вертикальна вісь, від'ємна шкала від 6 до 6, на 1. Лінія перетинає вісь y на 4. Вона проходить через точку 4 кома 1.

1. Напишіть друге рівняння для системи, щоб вона мала нескінченно багато розв'язків.
2. Напишіть друге рівняння, графік якого проходить,\((0,1)\) щоб система не мала розв'язків.
3. Напишіть друге рівняння, графік якого проходить,\((0,2)\) щоб система мала одне рішення на\((4,1)\).

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Створіть друге рівняння, щоб система не мала розв'язків.

\[\left\{\begin{array}{c}{y=\frac{3}{4}x-4}\\{}\end{array}\right.\nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Андре відповідає за приготування брокколі та кабачків для великої групи. Він повинен витратити всі 17 доларів, які він має, і може перевозити 10 фунтів овочів. Кабачки коштують 1,50 долара за фунт, а брокколі - 2 долари за фунт. На одному графіку показані комбінації цукіні та брокколі, які важать 10 фунтів, а інший показує комбінації цукіні та брокколі, які коштують 17 доларів.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Графік двох пересічних ліній у площині x y. Перша лінія нахиляється вниз і вправо і проходить через точку 4 кома 5 точка 5. Друга лінія нахиляється вниз і вправо і проходить через точку 5 кома 5. Лінії перетинаються в точці 6 кома 4.

1. Назвіть одну комбінацію овочів, яка важить 10 фунтів, але не коштує 17 доларів.
2. Назвіть одну комбінацію овочів, яка коштує 17 доларів, але не важить 10 фунтів.
3. Скільки фунтів кожен з кабачків і брокколі може отримати Андре, щоб він витратив всі 17 доларів і отримав 10 фунтів овочів?

(Від блоку 4.3.2)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Температура в градусах Фаренгейта,\(F\), пов'язана з температурою в градусах Цельсія\(C\), за рівнянням\(F=\frac{9}{5}C+32\)

1. У пустелі Сахара температура часто досягає 50 градусів Цельсія. Скільки градусів за Фаренгейтом це?
2. У деяких районах Аляски температура може досягати -60 градусів за Фаренгейтом. Скільки градусів Цельсія це?
3. Існує одна температура, де градуси Фаренгейта та градуси Цельсія однакові, так що\(C=F\). Використовуйте вираз з рівняння, де\(F\) виражається\(C\) через, для вирішення цієї температури.

(Від блоку 4.3.1)