4.3.2: На обох лініях

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57526

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте використовувати лінії, щоб думати про ситуації.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Notice and Wonder: Bugs Passing in the Night

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Чотири порожні цифрові рядки. Кожен номер рядка має сонечко, звернене праворуч, а мураха звернена вліво. Номер рядка 1 позначається на початку сонечка на лівому кінці і 0 секунд. Божа корівка знаходиться ліворуч від числового рядка, а мураха - праворуч від числового рядка. Номер рядка 2 позначається 2 секунди. Божа корівка знаходиться на 8-й позначці галочки справа. Мураха знаходиться на 16-й позначці галочки зліва. Номер рядка 3 позначається 4 секунди. Божа корівка знаходиться на 16-й позначці галочки справа. Мураха знаходиться на 32-й позначці галочки зліва. Цифровий рядок 4 позначається 6 секунд. Божа корівка знаходиться на 24-й позначці галочки. Мураха не відображається в цифровому рядку.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Bugs Passing in the Night, Continued

Різні мураха і сонечко знаходяться на певній відстані один від одного, і вони починають ходити назустріч один одному. Графік показує відстань сонечка від початкової точки з часом, а мічена точка\((2.5,10)\) вказує, коли мураха і сонечко проходять один одного.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Графік лінії, початок O, з сіткою. Горизонтальна вісь, час у секундах, шкала від 0 до 5, на 1. Вертикальна вісь, відстань в сантиметрах, шкала від 0 до 24, на 2. Лінія проходить через точку початку і точку 2 точка 5 кома 10.

Мураха ходить 2 сантиметри в секунду.

Напишіть рівняння, що представляє зв'язок між відстанню мурашки від початкової точки сонечка та кількістю часу, що минув.
Якщо ви ще цього не зробили, намалюйте графік вашого рівняння на тій самій координатній площині.

Вправа\(\PageIndex{3}\): A Close Race

Олена і Джада мчали 100 метрів на своїх велосипедах. Обидва гонщики стартували одночасно і їхали на постійній швидкості. Ось таблиця, яка дає інформацію про велосипедну гонку Джади:

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
час від початку (секунди)	відстань від старту (метри)
\(6\)	\(36\)
\(9\)	\(54\)

1. Графік співвідношення між відстанню і часом для велосипедної гонки Джади. Переконайтеся, що маркування та масштабування осей належним чином.

2. Олена пройшла весь забіг зі стійким 6 метрів в секунду. На тому ж наборі осей наведіть графік співвідношення між відстанню і часом для велопробігу Олени.

3. Хто виграв гонку?

Резюме

Розв'язки рівняння відповідають точкам на його графіку. Наприклад, якщо Автомобіль А їде 75 миль на годину і проходить зону відпочинку\(t=0\), коли, то відстань в милі, яку він пройшов від зони відпочинку в неробочий\(t\) час, становить

\(d=75t\)

Справа\((2,150)\) знаходиться на графіку цього рівняння тому, що\(150=75\cdot 2\): через дві години після проходження зони відпочинку автомобіль проїхав 150 миль.

Якщо у вас є два рівняння, ви можете запитати, чи існує впорядкована пара, яка є рішенням обох рівнянь одночасно. Наприклад, якщо автомобіль B їде у напрямку до зони відпочинку і його відстань від зони відпочинку становить

\(d=14-65t\)

Ми можемо запитати, чи є коли-небудь час, коли відстань автомобіля А від зони відпочинку така ж, як відстань автомобіля B від зони відпочинку. Якщо відповідь «так», то рішення буде відповідати точці, яка знаходиться на обох лініях.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Графік з 2-х рядків, початок O, з сіткою. Горизонтальна вісь, час у годині, шкала від 0 до точки 22, точкою 0 2. Вертикальна вісь, відстань у милі, шкала від 0 до 14, на 2. Одна лінія проходить через точку початку і точку 0 точка 1 кома 7 точка 5. Інша лінія перетинає вісь у в 14 і проходить через точку 0 точка 1 кома 7 точка 5.

Дивлячись на координати точки перетину, ми бачимо, що Автомобіль A і Автомобіль B обидва будуть знаходитися на 7,5 милі від зони відпочинку через 0,1 години (що становить 6 хвилин).

Тепер припустимо, що інший автомобіль, Car C, також пройшов зупинку відпочинку в часі\(t=0\) і їхав у тому ж напрямку, що і автомобіль A, також їде 75 миль на годину. Це рівняння також буде\(d=75t\). Будь-яке рішення рівняння для автомобіля А також було б рішенням для автомобіля C, і будь-яке рішення рівняння для автомобіля C також буде рішенням для автомобіля А. Лінія для автомобіля C буде приземлятися прямо на вершині лінії для автомобіля А. У цьому випадку кожна точка на графічній лінії є рішенням обох рівнянь, так що нескінченно багато варіантів вирішення питання «коли Автомобіль А і Автомобіль С однакову відстань від зупинки відпочинку?» Це означало б, що автомобіль A і Car C були пліч-о-пліч протягом всієї своєї подорожі.

Коли у нас є два лінійних рівняння, які еквівалентні один одному, як\(y=3x+2\) і\(2y=6x+4\), ми отримаємо два рядки, які знаходяться «прямо на вершині» один одного. Будь-яке рішення одного рівняння також є рішенням іншого, тому ці дві лінії перетинаються в нескінченно багатьох точках.

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Дієго має 11 доларів і починає економити 5 доларів щотижня на придбання нового телефону. У той же час, коли Дієго починає економити, Лін має 60 доларів і починає витрачати 2 долари на тиждень на витратні матеріали для свого художнього класу. Чи є тиждень, коли у них однакова сума грошей? Скільки у них на той час?

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Використовуйте графік, щоб знайти\(x\) і\(y\) значення, які роблять обидва\(y=\frac{-2}{3}x+3\) і\(y=2x-5\) істинні.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Точка, де перетинаються графіки двох рівнянь, має\(y\) -координату 2. Одне рівняння є\(y=-3x+5\). Знайдіть інше рівняння, якщо його графік має нахил 1.

Вправа\(\PageIndex{7}\)

На фермі є кури і корови. Всі корови мають 4 ноги, а всі кури мають 2 ноги. Всього разом на фермі 82 коров'ячих і курячих ніжок. Заповніть таблицю, щоб показати деякі можливі комбінації курей і корів, щоб отримати 82 загальної ноги.

Таблиця\(\PageIndex{2}\)
кількість курей (\(x\))	кількість корів (\(y\))
\ (x\)) ">\(35\)	\ (y\)) ">
\ (x\)) ">\(7\)	\ (y\)) ">
\ (x\)) ">	\ (y\)) ">\(10\)
\ (x\)) ">\(19\)	\ (y\)) ">
\ (x\)) ">	\ (y\)) ">\(5\)

Ось графік, який показує можливі комбінації курей і корів, які додають до 30 тварин:

Рисунок\(\PageIndex{6}\): Графік точок у площині x y, початок O, з сіткою. Горизонтальна вісь, кількість курей, шкала від 0 до 30 на 1с. Вертикальна вісь, кількість корів, шкала від 0 до 30 на 1с. Намальовані точки: 0, кома 30, 1 кома 29, 2 кома 28, 3 кома 27, 4 кома 26, 5 кома 25, 6 кома 24, 7 кома 23, 8 кома 22, 9 кома 21, 10 кома 20, 11 кома 19, 12 кома 18, 13 кома 17, 14 кома 16, кома 15, 16 кома 14, кома 14, 17, кома 13. 18 кома 12, 19 кома 11, 20 кома 10, 21 кома 9, 22 кома 8, 23 кома 7, 24 кома 6, 25, кома 5, 26, кома 4, 27, кома 3, 28 кома 2, 29 кома 1, 30 кома 0.

Якщо на фермі 30 курей і корів, а там 82 курячі та коров'ячі лапки разом, то скільки курей і скільки корів могло б мати ферма?

(Від блоку 4.3.2)