4.3.1: Увімкнено чи поза лінією?

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57519

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Урок

Давайте інтерпретуємо значення точок в координатній площині.

Вправа$\PageIndex{1}$: Which One Doesn't Belong: Lines in the Plane

Який з них не належить? Поясніть свої міркування.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Чотири графіки, кожен у площині x y. Графік А. 3 лінії, які не перетинаються. Одна лінія перетинає вісь x ліворуч від початку та вісь y нижче початку координат. Інша лінія перетинає вісь y над початком і вісь x праворуч від початку. Третя лінія перетинає вісь y над початком і вісь x праворуч від початку. Графік Б. 2 лінії, що перетинаються. Одна лінія перетинає вісь x ліворуч від початку та вісь y нижче початку координат. Інша лінія перетинає вісь y над початком. Графік C. Три лінії, які перетинаються в одній точці. Одна лінія перетинає вісь y над початком. Інша лінія перетинає вісь x праворуч від початку та вісь y нижче початку. Третя лінія перетинає вісь x праворуч від початку координат. Графік D. Три рядки. Є 3 точки перетину між двома лініями кожна. Одна лінія перетинає вісь y над початком. Інша лінія перетинає вісь x ліворуч від початку та вісь y над початком. Третя лінія перетинає вісь x праворуч від початку координат.

Вправа$\PageIndex{2}$: Pocket Full of Change

Джада сказала Ною, що вона має $2 чверті і копійки в кишені і 17 монет разом. Вона попросила його вгадати, скільки у неї кожного виду монет.

Ось таблиця, яка показує деякі комбінації чвертей і копійок, які коштують $2. Доповніть таблицю.

Таблиця$\PageIndex{1}$
кількість кварталів	кількість копейок
$0$	$20$
$4$
	$0$
	$5$

Ось графік співвідношення між кількістю чвертей і кількістю копійок, коли в цілому налічується 17 монет.
1. Ми, що робить Точка?$A$ represent?
2. Скільки грошей, в доларах, коштує комбінація, представлена Point$A$?

Рисунок$\PageIndex{2}$: Графік точок у площині x y, початок O, з сіткою. Горизонтальна вісь, кількість чвертей, масштаб від 0 до 24 на 1 с. Вертикальна вісь, кількість кубиків, масштаб від 0 до 24 на 1 с. Позначені точки: 0, кома 17, 1 кома 16, 2 кома 15, 3 кома 14, 4 кома 13, 5 кома 12, 6 кома 11, 7 кома 10, 8 кома 9 з позначенням А, 9 кома 8, 10 кома 7, 11 кома 6, 12 кома 5, 13 кома 4, 14 кома 3, 15 кома 2, 16 кома 1 і 17 кома а 0.

3. Чи можна Джаді мати в кишені 4 чверті і 13 копійок? Поясніть, як ви знаєте.

4. Скільки чвертей і копейок повинен мати Джада? Поясніть свої міркування.

Вправа$\PageIndex{3}$: Making Signs

Клер і Андре роблять знаки для всіх шафок як частина прикрас на майбутній тиждень духів. Вчора Андре зробив 15 знаків, а Клер зробила 5 знаків. Сьогодні їм потрібно зробити більше знаків. Прогрес кожної людини сьогодні відображається в координатній площині.

Рисунок$\PageIndex{3}$: Графік двох рядків у площині x y, початок 0, з сіткою. Горизонтальна вісь, час у хвилинах, шкала від 0 до 110, на 5 с. Вертикальна вісь, кількість завершених знаків, шкала від 0 до 70 на 5 с. Лінія перетинає вісь y в 5 і проходить через точки A і B. Інша лінія перетинає вісь y в 15 і проходить через точки C і A. Починаючи з початку, точка А дорівнює 8 одиницям вправо і 5 одиниць вгору. Починаючи з початку, точка B становить 15 одиниць вправо і 8 точка 5 одиниць вгору. Починаючи з початку, точка С дорівнює 0 одиницям праворуч, а 3 одиниці вгору. Починаючи з початку, точка D дорівнює 20 одиницям праворуч і 12 одиниць вгору.

Виходячи з рядків, позначте твердження як істинні або помилкові для кожної людини.

Таблиця$\PageIndex{2}$
точка	що він говорить	Клер	Андре
$A$	На 40 хвилин у мене 25 ознак завершено.
$B$	На 75 хвилин у мене 24 з половиною ознаки завершені.
$C$	На 0 хвилин у мене 15 ознак завершено.
$D$	На 100 хвилин у мене закінчено 60 знаків.

Ви готові до більшого?

4 зубочистки зробити 1 квадрат
7 зубочисток робимо 2 квадрата
10 зубочисток робимо 3 квадрата

Ви бачите візерунок? Якщо так, то скільки зубочисток вам потрібно було б зробити 10 квадратів за вашим шаблоном? Чи можете ви уявити свій візерунок виразом?

Резюме

Ми вивчали лінійні зв'язки в більш ранній одиниці. Ми дізналися, що значення$x$ і$y$ які роблять рівняння істинним, відповідають точкам$(x,y)$ на графіку. Наприклад, якщо у нас є$x$ фунти борошна, що коштує 0,80 долара за фунт і$y$ фунтів цукру, який коштує 0,50 долара за фунт, а загальна вартість становить $9.00, то ми можемо написати рівняння, подібне до цього, щоб представити взаємозв'язок між$x$ і$y:$

$0.8x+0.5y=9$

Оскільки 5 фунтів борошна коштує 4,00 доларів, а 10 фунтів цукру коштує 5,00 доларів$x=5$, ми знаємо, що$y=10$ це рішення рівняння, а точка$(5,10)$ - точка на графіку. Наведена лінія є графіком рівняння:

Малюнок$\PageIndex{5}$: Графік прямої в площині x y. Лінія нахиляється вниз і вправо, перетинає вісь у в 18, і проходить через точку 5 кома 10. Дві додаткові точки, 9 кома 16 і 1 кома 14, позначені на графіку.

Зверніть увагу, що показано дві точки, які не знаходяться на лінії. Що вони означають в контексті? Справа$(1,14)$ означає, що є 1 фунт борошна і 14 фунтів цукру. Загальна вартість для цього становить$(0.8\cdot 1+0.5\cdot 14$ або $7.80. Так як вартість не $9.00, то цього пункту немає на графіку. Так само 9 фунтів борошна і 16 фунтів цукру коштує$0.8\cdot 9+0.5\cdot 16$ або 15,20 доларів, тому інший момент також не знаходиться на графіку.

Припустимо, ми також знаємо, що борошно і цукор разом важать 15 фунтів. Це означає, що

$x+y=15$

Якщо ми намалюємо графік цього рівняння на одній координатній площині, ми побачимо, що він проходить через дві з трьох мічених точок:

Малюнок$\PageIndex{6}$: Графік двох пересічних ліній у площині x y. Перша лінія нахиляється вниз і вправо, перетинає вісь у в 18, і проходить через точку 5 кома 10. Друга лінія нахиляється вниз і вправо і проходить через точки 1 кома 14 і 5 кома 10. Додаткова точка, 9 кома 16, позначена на графіку.

Точка$(1,14)$ знаходиться на графіку$x+y=15$ тому, що$1+14=15$. Аналогічно,$5+10=15$. Але$9+16\neq 15$,$(9,16)$ так не на графіку$x+y=15$. Загалом, якщо у нас дві лінії в координатній площині,

Координати точки, яка знаходиться на обох лініях, робить обидва рівняння істинними.
Координати точки лише на одній прямій роблять істинним лише одне рівняння.
Координати точки ні на одній лінії роблять обидва рівняння хибними.

Практика

Вправа$\PageIndex{4}$

1. Зіставте рядки$m$ та$n$ твердження, які вони представляють:

Малюнок$\PageIndex{7}$: Дві лінії в площині x y. Лінія m проходить через точки Е, В і D. Точка Е знаходиться в комі 13. Точка B знаходиться в комі 6 негативних 4. Точка D знаходиться в 2 кома негативна 8. Рядок n проходить через точки A, B і C. Точка А знаходиться в негативній 2 комі 4. Точка B знаходиться в комі 6 негативних 4. Точка С знаходиться в 12 кома негативна 10.

Набір точок, де координати кожної точки мають суму 2
Набір точок, де$y$ -координата кожної точки на 10 менше, ніж її$x$ -координата

2. Зіставте позначені точки на графіку з твердженнями про їх координати:

Два числа з сумою 2
Два числа, де$y$ -координата на 10 менше, ніж$x$ -координата
Два числа з сумою 2 і де$y$ -координата на 10 менше, ніж$x$ -координата

Вправа$\PageIndex{5}$

Ось рівняння:$4x-4=4x+\underline{ }$. Що ви могли б написати в порожньому вигляді, щоб рівняння було вірним для:

Немає значень$x$
Всі значення$x$
Одне значення$x$

(Від блоку 4.2.6)

Вправа$\PageIndex{6}$

Май заробляє $7 за годину косіння газонів сусідів. Вона також заробила 14 доларів за вивезення мішків вторинної сировини для деяких сусідів.

Прия немовляти сидить своїх сусідських дітей. У таблиці вказана сума грошей, яку$m$ вона заробляє в$h$ годині. Прия і Май погодилися піти в кіно на вихідних після того, як вони заробили таку ж суму грошей за однакову кількість робочих годин.

Таблиця$\PageIndex{3}$
$h$	$m$
\ (h\) ">$1$	\ (m\) ">$$8.40$
\ (h\) ">$2$	\ (m\) ">$$16.80$
\ (h\) ">$4$	\ (m\) ">$$33.60$

Скільки годин кожен з них повинен працювати, перш ніж піти в кіно?
Скільки заробив кожен з них?
Поясніть, де рішення можна побачити в таблицях значень, графіків та рівнянь, які представляють погодинні заробітки Приї та Маї.

Вправа$\PageIndex{7}$

Для кожного рівняння поясніть, що ви могли б зробити спочатку з кожної сторони рівняння, щоб не було дробів. Вам не доведеться вирішувати рівняння (якщо ви не хочете більше практики).

$\frac{3x-4}{8}=\frac{x+2}{3}$
$\frac{3(2-4)}{4}=\frac{3+r}{6}$
$\frac{4p+3}{8}=\frac{p+2}{4}$
$\frac{2(a-7)}{15}=\frac{a+4}{6}$

(Від блоку 4.2.5)

Вправа$\PageIndex{8}$

Власник нового ресторану замовляє столи і стільці. Він хоче мати тільки таблиці на 2 і таблиці на 4. Загальна кількість людей, які можуть розміститися в ресторані - 120.

Опишіть деякі можливі комбінації 2-місних столів і 4-місних столів, які вміститимуть 120 клієнтів. Поясніть, як ви їх знайшли.
Напишіть рівняння, щоб представити ситуацію. Що являють собою змінні?
Створіть графік для представлення ситуації.

4. Що говорить нам про ситуацію схил?

5. Інтерпретувати$x$ і$y$ перехоплює в ситуації.

(Від блоку 3.5.1)

кількість кварталів	кількість копейок
\(0\)	\(20\)
\(4\)
	\(0\)
	\(5\)

\(h\)	\(m\)
\ (h\) ">\(1\)	\ (m\) ">\($8.40\)
\ (h\) ">\(2\)	\ (m\) ">\($16.80\)
\ (h\) ">\(4\)	\ (m\) ">\($33.60\)

точка	що він говорить	Клер	Андре
\(A\)	На 40 хвилин у мене 25 ознак завершено.
\(B\)	На 75 хвилин у мене 24 з половиною ознаки завершені.
\(C\)	На 0 хвилин у мене 15 ознак завершено.
\(D\)	На 100 хвилин у мене закінчено 60 знаків.