4.2.8: Коли вони однакові?

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57566

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Урок

Давайте використовувати рівняння, щоб думати про ситуації.

Вправа$\PageIndex{1}$: Which Would You Choose?

Якби ви доглядали за дітьми, ви б скоріше?

Заряджати $5 за першу годину і $8 за кожну додаткову годину?

Або

Заряджати $15 за першу годину і $6 за кожну додаткову годину?

Поясніть свої міркування.

Вправа$\PageIndex{2}$: Water Tanks

Кількість води в двох ємностях кожні 5 хвилин наведено в таблиці.

Таблиця$\PageIndex{1}$
час (хвилини)	бак 1 (л)	бак 2 (літри)
$0$	$25$	$1000$
$5$	$175$	$900$
$10$	$325$	$800$
$15$	$475$	$700$
$20$	$625$	$600$
$25$	$775$	$500$
$30$	$925$	$400$
$35$	$1075$	$300$
$40$	$1225$	$200$
$45$	$1375$	$100$
$50$	$1525$	$0$

Опишіть, що відбувається в кожному резервуарі. Або намалюйте картинку, скажіть її усно, або напишіть кілька пропозицій.
Скористайтеся таблицею, щоб прикинути, коли в резервуарах буде однакова кількість води.
Кількість води (в літрах) в баку 1 через$t$ хвилину становить$30t+25$. Кількість води (в літрах) в баку через 2$t$ хвилини становить$-20t+1000$. Знайдіть час, коли кількість води буде рівним.

Вправа$\PageIndex{3}$: Elevators

Будівля має два ліфти, які йдуть як над, так і під землею.

У певний час доби час у дорозі, який займає ліфт А, щоб досягти висоти$h$ в метрах, становить$0.8h+16$ секунди.

Час у дорозі на ліфті B, щоб досягти висоти$h$ в метрах, становить$-0.8h+12$ секунди.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Два ліфти. Один ліфт знаходиться над лінією, позначеною рівнем землі зі стрілкою, спрямованою вниз. Інший ліфт знаходиться нижче лінії, позначеної рівнем землі зі стрілкою вгору.

Яка висота кожного ліфта в цей час?
Скільки часу знадобиться кожному ліфту, щоб досягти рівня землі в цей час?
Якщо два ліфти рухаються один до одного, на якій висоті вони проходять один одного? Скільки часу це займе?
Якщо ви знаходитесь на рівні підземного паркінгу 14 метрів під землею, який ліфт доїде до вас першим?

Ви готові до більшого?

У двозначному числі цифра одиниць вдвічі перевищує цифру десятків. Якщо цифри змінюються, нове число на 36 більше, ніж початкове число. Знайдіть номер.
Сума цифр двозначного числа дорівнює 11. Якщо цифри змінюються, нове число на 45 менше, ніж початкове число. Знайдіть номер.
Сума цифр у двозначному числі дорівнює 8. Значення числа в 4 менше, ніж в 5 разів перевищує цифру одиниць. Знайдіть номер.

Резюме

Уявіть собі повний резервуар для води об'ємом 1500 літрів, який викликає витік, втрачаючи 2 літри в хвилину. Ми могли б уявити кількість літрів, що залишилися в резервуарі$-2x+1,500$, з виразом, де$x$ представляє кількість хвилин, коли танк протікає.

Тепер уявіть при цьому, другий бак має 300 літрів і наповнюється зі швидкістю 6 літрів в хвилину. Ми могли б уявити кількість води в літрах у цьому другому резервуарі з виразом$6x+300$, де$x$ представляє кількість хвилин, що минули.

Оскільки один резервуар втрачає воду, а інший набирає воду, в якийсь момент вони матимуть однакову кількість води - але коли? Запитати, коли два резервуари мають однакову кількість літрів, це те саме, що запитувати коли$-2x+1,500$ (кількість літрів у першому резервуарі через$x$ хвилини) дорівнює$6x+300$ (кількість літрів у другому резервуарі через$x$ хвилини),

$-2x+1,500=6x+300$.

Рішення для$x$ дає нам$x=150$ хвилини. Так через 150 хвилин кількість літрів першого бака дорівнює кількості літрів другого бака. Але скільки води насправді в кожному резервуарі в той час? Оскільки обидва резервуари мають однакову кількість літрів після 150 хвилин, ми могли б замінити$x=150$ хвилини в будь-який вираз.

Використовуючи вираз для першого бака, отримуємо$-2(150)+1,500$ який дорівнює$-300+1,500$, або 1200 літрам.

Якщо використовувати вираз для другого бака, то отримаємо$6(150)+300$, або просто$900+300$, який теж 1200 літрів. Це означає, що через 150 хвилин кожен бак має 1200 літрів.

Записи глосарію

Визначення: Коефіцієнт

Коефіцієнт - це число, яке множиться на змінну.

Наприклад, у виразі$3x+5$ коефіцієнт$x$ дорівнює 3. У виразі$y+5$ коефіцієнт$y$ дорівнює 1, тому що$y=1\cdot y$.

Визначення: Постійний термін

У такому виразі число 2 називається постійним терміном$5x+2$, оскільки воно не$x$ змінюється при зміні.

У виразі$7x+9$ 9 - це постійний термін.
У виразі$5x+(-8)$ -8 - це постійний термін.
У виразі$12-4x$ 12 - це постійний термін.

Визначення: Термін

Термін - це частина виразу. Це може бути одне число, змінна або число і змінна, які множаться разом. Наприклад, вираз$5x+18$ має два члени. Перший термін - це,$5x$ а другий термін - 18.

Практика

Вправа$\PageIndex{4}$

Стільниковий телефон Plan A коштує $70 на місяць і поставляється з безкоштовним $500 телефон. Стільниковий телефон Plan B коштує $50 на місяць, але не поставляється з телефоном. Якщо ви купуєте телефон за 500 доларів і вибираєте план B, скільки місяців це, поки ваша вартість не буде такою ж, як у Плану А?

Вправа$\PageIndex{5}$

Прия і Хан їздять на велосипеді в одному напрямку по одній стежці.

Хан їде з постійною швидкістю 16 миль на годину. Напишіть вираз, який показує, скільки миль пройшов Хан через$t$ години.
Прия почала кататися за півгодини до Хань. Якщо Хан їхав$t$ годинами, як довго Прия їхала?
Прия їде з постійною швидкістю 12 миль на годину. Напишіть вираз, який показує, скільки миль пройшла Прия після того, як Хан їхав$t$ годинами.
Використовуйте свої вирази, щоб знайти, коли Хан і Прия зустрічаються.

Вправа$\PageIndex{6}$

Яка історія відповідає рівнянню$-6+3x=2+4x$?

А:

О 17:00 температури, зафіксовані на двох метеостанціях в Антарктиді, складають -6 градусів і 2 градуси. Температура змінюється з однаковою постійною швидкістю,$x$ градуси на годину, протягом всієї ночі в обох місцях. Температура на першій станції через 3 години після цього запису така ж, як температура на другій станції через 4 години після цього запису.

Б:

Олена і Кіран грають в карткову гру. Кожен раз, коли вони збирають пару відповідних карт, вони заробляють$x$ очки. В один момент гри Кіран має -6 очок, а Олена - 2 очки. Після того як Олена збирає 3 пари, а Кіран набирає 4 пари, у них однакова кількість очок.

Вправа$\PageIndex{7}$

Для якого значення$x$ мають вирази$\frac{2}{3}x+2$ і$\frac{4}{3}x-6$ мають однакове значення?

Вправа$\PageIndex{8}$

Вирішіть, чи є кожне рівняння істинним для всіх, одного чи ні значень$x$.

$2x+9=-3.5x+19$
$9(x-2)=7x+5$
$3(3x+2)-2x=7x+6$

(Від блоку 4.2.7)

Вправа$\PageIndex{9}$

Вирішіть кожне рівняння. Поясніть свої міркування.

$3d+16=-2(5-3d$

$2k-3(4-k)=3k+4$

$\frac{3y-6}{9}=\frac{4-2y}{-3}$

(Від блоку 4.2.5)

Вправа$\PageIndex{10}$

Опишіть жорстке перетворення, яке приймає багатокутник A до багатокутника B.

Малюнок B має L-подібну форму і має вершини на 2 коми негативні 1, 2 кома негативна 3, 6 кома негативна 3, 6 кома негативна 2, 3 кома негативна 2, 3 кома негативна 2, 3 кома негативна 1.

(Від блоку 1.2.1)

час (хвилини)	бак 1 (л)	бак 2 (літри)
\(0\)	\(25\)	\(1000\)
\(5\)	\(175\)	\(900\)
\(10\)	\(325\)	\(800\)
\(15\)	\(475\)	\(700\)
\(20\)	\(625\)	\(600\)
\(25\)	\(775\)	\(500\)
\(30\)	\(925\)	\(400\)
\(35\)	\(1075\)	\(300\)
\(40\)	\(1225\)	\(200\)
\(45\)	\(1375\)	\(100\)
\(50\)	\(1525\)	\(0\)