Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.2.7: Скільки рішень?

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57575

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Розв'яжемо рівняння з різною кількістю розв'язків.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Matching Solutions

    Розглянемо незакінчене рівняння\(12(x-3)+18=\underline{ }\). Зіставте наступні вирази з кількістю розв'язків рівняння з цим виразом праворуч.

    1. \(6(2x-3)\)
    2. \(4(3x-3)\)
    3. \(4(2x-3)\)
    • одне рішення
    • немає рішень
    • всі рішення

    Вправа\(\PageIndex{2}\): Thinking About Solutions Some More

    Ваш вчитель дасть вам кілька карток.

    1. Зі своїм партнером вирішуйте кожне рівняння.
    2. Потім розсортуйте їх за категоріями.
    3. Опишіть визначальні характеристики цих категорій і будьте готові поділитися своїми міркуваннями з класом.

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Make Use of Structure

    Для кожного рівняння визначте, чи не має воно розв'язків, рівно одного рішення, або вірно для всіх значень\(x\) (і має нескінченно багато розв'язків). Якщо рівняння має одне рішення, вирішіть, щоб знайти значення\(x\), яке робить твердження істинним.

      1. \(6x+8=7x+13\)
      2. \(6x+8=2(3x+4)\)
      3. \(6x+8=6x+13\)
      1. \(\frac{1}{4}(12-4x)=3-x\)
      2. \(x-3=3-x\)
      3. \(x-3=3+x\)
      1. \(-5x-3x+2=-8x+2\)
      2. \(-5x-3x-4=-8x+2\)
      3. \(-5x-4x-2=-8x+2\)
      1. \(4(2x-2)+2=4(x-2)\)
      2. \(4x+2(2x-3)=8(x-1)\)
      3. \(4x+2(2x-3)=4(2x-2)+2\)
      1. \(x-3(2-3x)=2(5x+3)\)
      2. \(x-3(2+3x)=2(5x-3)\)
      3. \(x-3(2-3x)=2(5x-3)\)
    6. Що ви помічаєте про рівняння з одним розв'язком? Чим це відрізняється від рівнянь без розв'язків і рівнянь, які вірні для кожного\(x\)?

    Ви готові до більшого?

    Послідовні числа слідують один відразу за іншим. Прикладом трьох послідовних чисел є 17, 18 і 19. Інший приклад - -100, -99, -98.

    1. Виберіть будь-який набір з трьох послідовних чисел. Знайдіть їх середнє значення. Що ви помічаєте?
    2. Знайдіть середнє значення іншого набору з трьох послідовних чисел. Що ви помічаєте?
    3. Поясніть, чому помічена вами річ завжди повинна працювати, або знайдіть контрприклад.

    Резюме

    Іноді можна подивитися на структуру рівняння і сказати, чи має воно нескінченно багато розв'язків або немає розв'язків. Наприклад, подивіться на

    \[2(12x+18)+6=18x+6(x+7)\nonumber\].

    Використовуючи розподільну властивість по лівій і правій сторонам, отримуємо

    \[24x+36+6=18x+6x+42\nonumber\].

    Звідси збір подібних термінів дає нам

    \[24x+42=24x+42\nonumber\].

    Оскільки ліва і права сторони рівняння однакові, ми знаємо, що це рівняння вірно для будь-якого значення,\(x\) не роблячи більше рухів!

    Аналогічно, ми можемо іноді використовувати структуру, щоб визначити, чи рівняння не має розв'язків. Наприклад, подивіться на

    \[6(6x+5)=12(3x+2)+12\nonumber\].

    Якщо ми думаємо про кожен крок, коли йдемо, ми можемо зупинитися, коли зрозуміємо, що немає рішення:

    \[\begin{aligned} \frac{1}{6}\cdot 6(6x+5)&=\frac{1}{6}\cdot (12(3x+2)+12) &\text{Multiply each side by }\frac{1}{6}. \\ 6x+5&=2(3x+2)+2 &\text{Distribute }\frac{1}{6}\text{ on the right side.} \\ 6x+5&=6x+4+2 &\text{Distribute 2 on the right side.}\end{aligned}\nonumber\]

    Останній хід дає зрозуміти, що постійні терміни з кожного боку, 5 і\(4+2\), не однакові. Оскільки додавання 5 до суми завжди менше, ніж додавання\(4+2\) до тієї ж суми, ми знаємо, що рішень немає.

    Робити кроки, щоб зберегти рівняння збалансованим, є потужною частиною вирішення рівнянь, але думати про те, що структура рівняння говорить нам про рішення, так само важливо.

    Записи глосарію

    Визначення: Коефіцієнт

    Коефіцієнт - це число, яке множиться на змінну.

    Наприклад, у виразі\(3x+5\) коефіцієнт\(x\) дорівнює 3. У виразі\(y+5\) коефіцієнт\(y\) дорівнює 1, тому що\(y=1\cdot y\).

    Визначення: Постійний термін

    У такому виразі число 2 називається постійним терміном\(5x+2\), оскільки воно не\(x\) змінюється при зміні.

    У виразі\(7x+9\) 9 - це постійний термін.
    У виразі\(5x+(-8)\) -8 - це постійний термін.
    У виразі\(12-4x\) 12 - це постійний термін.

    Визначення: Термін

    Термін - це частина виразу. Це може бути одне число, змінна або число і змінна, які множаться разом. Наприклад, вираз\(5x+18\) має два терміни. Перший термін - це,\(5x\) а другий термін - 18.

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Лін дивився на рівняння\(2x-32+4(3x-2462)=14x\). Вона сказала: «Я відразу можу сказати, що рішень немає, тому що ліворуч у вас буде\(2x+12x\) і купа констант, але у вас є тільки з правого\(14x\) боку». Чи згодні ви з Ліном? Поясніть свої міркування.

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Хан дивився на рівняння\(6x-4+2(5x+2)=16x\). Він сказав: «Я відразу можу сказати, що рішень немає, тому що з лівого боку у вас буде\(6x+10x\) і купа констант, але у вас є тільки з правого\(16x\) боку». Чи згодні ви з Ханом? Поясніть свої міркування.

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Вирішіть, чи є кожне рівняння істинним для всіх, одного чи ні значень\(x\).

    1. \(6x=-4=-4+6x\)
    2. \(4x-6=4x+3\)
    3. \(-2x+4=-3x+4\)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Розв'яжіть кожне з цих рівнянь. Поясніть або покажіть свої міркування.

    1. \(3(x-5)=6\)
    2. \(2(x-\frac{2}{3})=0\)
    3. \(4x-5=2-x\)

    (З блоку 4.2.3)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Точки\((-2,0)\) і\((0,-6)\) знаходяться на графіку лінійного рівняння. Є\((2,6)\) також на графіку цього лінійного рівняння? Поясніть свої міркування.

    (Від блоку 3.4.2)

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    На малюнку трикутник\(A'B'C'\) - це зображення трикутника\(ABC\) після обертання. Центром обертання є\(E\).

    clipboard_ef376f75e76d2da663ea0ade23349aed4.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)
    1. Яка довжина боку\(AB\)? Поясніть, як ви знаєте.
    2. Що таке міра кута\(D'\)? Поясніть, як ви знаєте.

    (Від блоку 1.2.1)