4.2.4: Розв'язування будь-якого лінійного рівняння

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57556

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Вирішимо лінійні рівняння.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Equation Talk

Вирішіть кожне рівняння подумки.

\(5-x=8\)

\(-1=x-2\)

\(-3x=9\)

\(-10=-5x\)

Вправа\(\PageIndex{2}\): Trading Moves

Ваш вчитель дасть вам 4 карти, кожна з яких має рівняння.

Зі своїм партнером виберіть карту і виберіть, хто займе перший хід.
Під час своєї черги вирішіть, яким повинен бути наступний крок для вирішення рівняння, поясніть свій вибір своєму партнерові, а потім запишіть його, як тільки ви обидва погодитеся. Поміняйте ролі для наступного ходу. Це триває до тих пір, поки рівняння не буде вирішено.
Виберіть друге рівняння, яке потрібно вирішити таким же чином, торгуючи картою вперед і назад після кожного ходу.
Для останніх двох рівнянь виберіть одне для вирішення, а потім торгуйте зі своїм партнером, коли закінчите, щоб перевірити роботу один одного.

Вправа\(\PageIndex{3}\): A Puzzling Puzzle

Тайлер каже, що він винайшов головоломку з числом. Він просить Клер вибрати номер, а потім просить її зробити наступне:

Потрійний номер
Відніміть 7
Подвоїти результат
Відніміть 22
Розділити на 6

Клер каже, що тепер у неї є -3. Тайлер каже, що її початковий номер повинен був бути 3. Звідки Тайлер це знав? Поясніть або покажіть свої міркування. Будьте готові поділитися своїми міркуваннями з класом.

Резюме

Коли ми маємо рівняння в одній змінній, існує багато різних способів його вирішення. Ми, як правило, хочемо зробити кроки, які наближають нас до рівняння, як

змінна = деяке число.

Наприклад,\(x=5\) або\(t=\frac{7}{3}\). Оскільки існує багато способів зробити це, це допомагає вибрати ходи, які залишають менше термінів або факторів. Якщо у нас є рівняння на кшталт\(3t+5=7\),

додавання -5 до кожної сторони залишить нас з меншою кількістю термінів. Рівняння тоді стає\(3t=2\).

Розділення кожної сторони цього рівняння на 3 залишить нас з\(t\) собою зліва і це\(t=\frac{2}{3}\).

Або, якщо у нас є рівняння на кшталт\(4(5-a)=12\),

розділення кожної сторони на 4 залишить нас з меншою кількістю факторів зліва,\(5-a=3\).

Деякі люди використовують наступні кроки для вирішення лінійного рівняння в одній змінній:

Використовуйте властивість distributive, щоб усі вирази більше не мали дужок.
Зберіть подібні терміни з кожного боку рівняння.
Додайте або відніміть вираз так, щоб на одній стороні була змінна.
Додайте або відніміть вираз так, щоб на іншій стороні було просто число.
Помножте або діліть на число так, щоб у вас було рівняння, яке виглядає як змінна деяке число.

Наприклад, припустимо, що ми хочемо вирішити\(9-2b+6=-3(b+5)+4b\).

\[\begin{aligned} 9-2b+6&=-3b-15+4b &\text{Use the distributive property} \\ 15-2b&=b-15 &\text{Gather like terms} \\ 15&=3b-15 &\text{Add 2b to each side} \\ 30&=3b &\text{Add 15 to each side} \\ 10&=b &\text{Divide each side by 3}\end{aligned}\nonumber\]

Дотримання цих кроків завжди буде працювати, хоча це може бути не найефективнішим методом. З величезного досвіду ми дізнаємося, коли використовувати різні підходи.

Визначення: Термін

Термін - це частина виразу. Це може бути одне число, змінна або число і змінна, які множаться разом. Наприклад, вираз\(5x+18\) має два члени. Перший термін - це,\(5x\) а другий термін - 18.

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Розв'яжіть кожне з цих рівнянь. Поясніть або покажіть свої міркування.

\[2(x+5)=3x+1\qquad 3y-4=6-2y\qquad 3(n+2)=9(6-n)\nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Клер вирішувала рівняння, але коли вона перевірила свою відповідь, вона побачила, що її рішення було неправильним. Вона знає, що зробила помилку, але не може її знайти. Де помилка Клер і яке рішення рівняння?

\[\begin{aligned} 12(5+2y)&=4y-(5-9y)\\ 72+24y&=4y-5-9y \\ 72+24y&=-5y-5 \\ 24y&=-5y-77 \\ 29y&=-77 \\ y&=-\frac{77}{29}\end{aligned}\nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вирішіть кожне рівняння і перевірте своє рішення.

\[\frac{1}{9}(2m-16)=\frac{1}{3}(2m+4)\qquad -4(r+2)=4(2-2r) \qquad 12(5+2y)=4y-(6-9y)\nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Ось графік лінійного рівняння.

Виділіть усі істинні твердження щодо лінії та її рівняння.

Одним з рішень рівняння є\((3,2)\).
Одним з рішень рівняння є\((-1,1)\).
Одним з рішень рівняння є\((1,\frac{3}{2})\).
Є 2 рішення.
Рішень нескінченно багато.
Рівняння прямої є\(y=\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}\).
Рівняння прямої є\(y=\frac{5}{4}x+\frac{1}{4}\).

(Від блоку 3.4.2)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Учасник 21-мильного walkathon ходить зі стійкою швидкістю 3 милі на годину. Він думає: «Співвідношення між кількістю миль, що залишилося пройти, і кількістю годин, які я вже ходив, може бути представлений лінією з нахилом»\(-3\). Чи згодні ви з його претензією? Поясніть свої міркування.

(Від блоку 3.3.1)