4.2.3: Більш збалансовані ходи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57544

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте перепишемо ще кілька рівнянь, зберігаючи ті ж рішення.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Different Equations?

Рівняння 1

\[x-3=2-4x\nonumber\]

Які з них мають те саме рішення, що і рівняння 1? Будьте готові пояснити свої міркування.

\[\begin{array}{ccccccc}{\text{Equation A}}&{\quad}&{\text{Equation B}}&{\quad}&{\text{Equation C}}&{\quad}&{\text{Equation D}}\\{2x-6=4-8x}&{\quad}&{x-5=-4x}&{\quad}&{2(1-2x)=x-3}&{\quad}&{-3=2-5x}\end{array}\nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{2}\): Step by Step by Step by Step

Ось рівняння, а потім всі кроки Клер написала для його вирішення:

\[\begin{aligned}14x-2x+3&=3(5x+9) \\ 12x+3&=3(5x+9) \\ 3(4x+1)&=3(5x+9) \\ 4x+1&=5x+9 \\ 1&=x+9 \\ -8&=x \end{aligned}\nonumber\]

Ось таке ж рівняння, і кроки Лін написав для його вирішення:

\[\begin{aligned} 14x-2x+3&=3(5x+9) \\ 12x+3&=3(5x+9) \\ 12x+3&=15x+27 \\ 12x&=15x+24 \\ -3x&=24 \\ x&=-8\end{aligned}\nonumber\]

Чи правильні обидва їх рішення? Поясніть свої міркування.
Опишіть деякі способи, які вони зробили кроки однакові та різні.
Май і Ной також вирішили рівняння, але деякі їх кроки мають помилки. Знайдіть неправильний крок у кожному рішенні та поясніть, чому він невірний.

Май:

\[\begin{aligned} 14x-2x+3&=3(5x+9) \\ 12x+3&-3(5x+9) \\ 7x+3&=3(9) \\ 7x+3&=27 \\ 7x&=24 \\ x&=\frac{24}{7}\end{aligned}\nonumber\]

Ной:

\[\begin{aligned} 14x-2x+3&=3(5x+9) \\ 12x+3&=15x+27 \\ 27x+3&=27 \\ 27x&=24 \\ x&=\frac{24}{27}\end{aligned}\nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{3}\): Make Your Own Steps

Розв'яжіть ці рівняння для\(x\).

\(\frac{12+6x}{3}=\frac{5-9}{2}\)
\(x-4=\frac{1}{3}(6x-54)\)
\(-(3x-12)=9x-4\)

Ви готові до більшого?

У мене 24 олівці і 3 чашки. Друга чашка вміщує на один олівець більше, ніж перша. Третій тримає на один більше, ніж другий. Скільки олівців містить кожна чашка?

Резюме

Як ми переконаємося, що рішення, яке ми знаходимо для рівняння, є правильним? Випадково додаючи, коли ми мали намір відняти, пропускаючи негатив, коли ми розподіляємо, забуваючи писати\(x\) від одного рядка до наступного - є багато можливих помилок, на які слід стежити!

На щастя, кожен крок, який ми робимо, розв'язуючи рівняння, призводить до нового рівняння з тим самим рішенням, що і оригінал. Це означає, що ми можемо перевірити нашу роботу, підставивши значення рішення у вихідне рівняння. Наприклад, скажімо, ми вирішуємо наступне рівняння:

\[\begin{aligned} 2x&=-3(x+5) \\ 2x&=-3x+15 \\ 5x&=15 \\ x&=3\end{aligned}\nonumber\]

Підставивши 3 замість вихідного\(x\) рівняння,

\[\begin{aligned} 2(3)&=-3(3+5) \\ 6&=-3(8) \\ 6&=-24\end{aligned}\nonumber\]

ми отримуємо заяву, яка не відповідає дійсності! Це говорить нам, що ми, мабуть, десь помилилися. Ретельно перевіривши наші початкові кроки, ми допустили помилку при розподілі -3. Закріпивши його, ми тепер маємо

\[\begin{aligned} 2x&=-3(x+5) \\ 2x&=-3x-15 \\ 5x&=-15 \\ x&=-3\end{aligned}\nonumber\]

Підставляючи -3 замість вихідного\(x\) рівняння, щоб переконатися, що ми не зробили ще однієї помилки:

\[\begin{aligned} 2(-3)&=-3(-3+5) \\ -6&=-3(2) \\ -6&=-6\end{aligned}\nonumber\]

Це рівняння\(x=-3\) вірно, як і рішення.

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Май і Тайлер працюють над рівнянням\(\frac{2}{5}b+1=-11\) разом. Рішення Мая -\(b=-25\) і Тайлер є\(b=-28\). Ось їх робота. Чи згодні ви з їх рішеннями? Поясніть або покажіть свої міркування.

Май:

\[\begin{aligned} \frac{2}{5}b+1&=-11 \\ \frac{2}{5}b&=-10 \\ b&=-10\cdot\frac{5}{2} \\ b&=-25\end{aligned}\nonumber\]

Тайлер:

\[\begin{aligned} \frac{2}{5}b+1&=-11 \\ 2b+1&=-55 \\ 2b&=-56 \\ b&=-28\end{aligned}\nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вирішити\(3(x-4)=12x\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Опишіть, що робиться на кожному кроці при вирішенні рівняння.

\(2(-3x+4)=5x+2\)
\(-6x+8=5x+2\)
\(8=11x+2\)
\(6=11x\)
\(x=\frac{6}{11}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Андре вирішив рівняння, але коли він перевірив свою відповідь, він побачив, що його рішення було неправильним. Він знає, що зробив помилку, але не може її знайти. Де помилка Андре і яке рішення рівняння?

\[\begin{aligned} -2(3x-5)&=4(x+3)+8 \\ -6x+10&=4x+12+8 \\ -6x+10&=4x+20 \\ 10&=-2x+20 \\ -10&=-2x \\ 5&=x\end{aligned}\nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Виберіть рівняння, яке має розв'язки\((5,7)\) і\((8,13)\).

\(3x-y=8\)
\(y=x+2\)
\(y-x=5\)
\(y=2x-3\)

(Від блоку 3.4.1)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Довжина стрічки розрізається на дві частини для використання в ремісничому проекті. Графік показує довжину другого шматка\(x\), для кожної довжини першого шматка,\(y\).

Скільки триває стрічка? Поясніть, як ви знаєте.
Що таке ухил лінії?
Поясніть, що являє собою нахил лінії і чому він відповідає історії.

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Графік прямої в площині x y, початок O, з сіткою. Горизонтальна вісь, довжина другого шматка в футах, масштаб від 0 до 16, на 1, вертикальна вісь, довжина першого шматка в футах, масштаб від 0 до 16, на 1 с. Лінія перетинає вісь y в 15 і вісь x на 15.

(Від блоку 3.3.1)