Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.2.2: Збалансовані ходи

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57543

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Давайте перепишемо рівняння, зберігаючи ті ж рішення.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Matching Hangers

    Цифри A, B, C і D показують результат спрощення вішалки на малюнку А шляхом зняття рівних ваг з кожного боку.

    clipboard_e8d59e400619462edaf0b42f02d5047d1.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Чотири збалансовані підвіси. Ліва сторона, 1 квадрат, 3 трикутника, 1 квадрат, 3 трикутника, 2 кола. Права сторона, 2 кола, 4 квадрата, 2 трикутника. Б. ліва сторона, 1 квадрат, 3 трикутника, 1 квадрат, 3 трикутника. Права сторона, 4 квадрата, 2 трикутника. Ліва сторона, 1 квадрат, 3 трикутника, права сторона, 2 квадрата, 1 трикутник. Ліва сторона, 2 трикутника. Права сторона, 1 квадрат.

    Ось деякі рівняння. Кожне рівняння являє собою одну з діаграм вішалки.

    \((2(x+3y)=4x+2y\qquad 2y=x\qquad 2(x+3y)+2z=2z+4x+2y\qquad x+3y=2x+y\)

    1. Напишіть рівняння, яке йде з кожною фігурою:
    2. Кожна змінна\((x, y\), і\(z)\) являє собою вагу однієї форми. Що йде з яким?
    3. Поясніть, що було зроблено з кожним рівнянням, щоб створити наступне рівняння. Якщо ви застрягли, подумайте про те, як змінилися вішалки.

    Вправа\(\PageIndex{2}\): Matching Equation Moves

    Ваш вчитель дасть вам кілька карток. На кожній з карт з 1 по 6 показано два рівняння. Кожна з карт від А до Е описує хід, який перетворює одне рівняння в інше.

    1. Зіставте кожну картку номер з листівною карткою.
    2. Одна з листівок не матиме збігу. Для цієї карти напишіть два рівняння, що показують описаний хід.

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Keeping Equality

    1. Ной і Лін обидва вирішили рівняння\(14a=2(a-3)\).

    Чи згодні ви з будь-яким з них? Чому?

    Рішення Ноя:

    \[\begin{aligned} 14a&=2(a-3)\\14a&=2a-6\\12a&=-6\\a&=-\frac{1}{2}\end{aligned}\nonumber\]

    Рішення Ліна:

    \[\begin{aligned} 14a&=2(a-3)\\7a&=a-3\\6a&=-3\\a&=-\frac{1}{2}\end{aligned}\nonumber\]

    2. Олену просять вирішити\(15-10x=5(x+9)\). Що ви рекомендуєте їй робити кожній стороні в першу чергу?

    3. Дієго просять підошву\(3x-8=4(x+5)\). Що ви рекомендуєте йому робити кожній стороні в першу чергу?

    Ви готові до більшого?

    У криптарітметичної головоломці цифри 0-9 представлені буквами алфавіту. Використовуйте своє розуміння додавання, щоб знайти, які цифри йдуть з літерами A, B, E, G, H, L, N і R.

    ВІШАЛКА+ВІШАЛКА+ВІШАЛКА = АЛГЕБРА

    Резюме

    Рівняння говорить нам, що два вирази мають однакове значення. Наприклад, якщо\(4x+9\) і\(-2x-3\) мають рівне значення, ми можемо записати рівняння

    \(4x+9=-2x-3\)

    Раніше ми використовували вішалки, щоб зрозуміти, що якщо ми додамо однакове додатне число до кожної сторони рівняння, сторони все одно матимуть однакове значення. Це також працює, якщо ми додамо негативні числа! Наприклад, ми можемо додати -9 до кожної сторони рівняння.

    \[\begin{aligned} 4x+9+-9&=-2x-3+-9 &\text{add -9 to each side} \\ 4x&=-2x-12 &\text{combine like terms}\end{aligned}\]

    Оскільки вирази представляють числа, ми також можемо додавати вирази до кожної сторони рівняння. Наприклад, ми можемо додати\(2x\) до кожної сторони і все ще підтримувати рівність.

    \[\begin{aligned} 4x+2x&=-2x-12+2x &\text{add 2x to each side} \\ 6x&=-12 &\text{combine like terms}\end{aligned}\]

    Якщо ми помножимо або розділимо вирази з кожного боку рівняння на одне і те ж число, ми також збережемо рівність (доки ми не ділимо на нуль).

    \[ 6x\cdot\frac{1}{6}=-12\cdot\frac{1}{6}\qquad \text{multiply each side by }\frac{1}{6}\nonumber\]

    або

    \[6x\div 6=-12\div 6\qquad\text{divide each side by }6\nonumber\]

    Тепер ми бачимо, що\(x=-2\) це рішення нашого рівняння.

    Ці ходи ми будемо використовувати систематично для вирішення рівнянь на майбутніх уроках.

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    У цій вішалці вага трикутника є\(x\) і вага квадрата дорівнює\(y\).

    clipboard_e3339a8e4e29842bfa3c6efe15d433a42.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)
    1. Напишіть рівняння за допомогою\(x\) і\(y\) для представлення вішалки.
    2. Якщо\(x\) 6, що таке\(y\)?

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Андре і Дієго намагалися вирішити кожен\(2x+6=3x-8\). Опишіть перший крок, який вони роблять до рівняння.

    1. Результатом першого кроку Андре був\(-x+6=-8\).
    2. Результатом першого кроку Дієго став\(6=x-8\).

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    1. Заповніть таблицю значеннями для\(x\) або\(y\) які роблять це рівняння істинним:\(3x+y=15\).
      \(x\) 2 6 0 3
      \(y\) 3 0 8
      Таблиця\(\PageIndex{1}\)
    2. Створіть графік, побудуйте ці точки і знайдіть нахил лінії, яка проходить через них.
    clipboard_ed3340c17189aed52c8f4782ea454393a.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    (Від блоку 3.3.3)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Зіставте кожен набір рівнянь з ходом, який перетворив перше рівняння на друге.

    1. \[\begin{aligned} 6x+9&=4x-3 \\ 2x+9&=-3\end{aligned}\nonumber\]
    2. \[\begin{aligned} -4(5x-7)&=-18 \\5x-7&=4.5\end{aligned}\nonumber\]
    3. \[\begin{aligned} 8-10x&=7+5x\\4-10x&=3+5x\end{aligned}\nonumber\]
    4. \[\begin{aligned} \frac{-5x}{4}&=4\\5x&=-16\end{aligned}\nonumber\]
    5. \[\begin{aligned} 12x+4&=20x+24 \\ 3x+1&=6x+6\end{aligned}\nonumber\]
    1. Помножте обидві сторони на\(\frac{-1}{4}\)
    2. Помножте обидві сторони на\(-4\)
    3. Помножте обидві сторони на\(\frac{1}{4}\)
    4. Додайте\(-4x\) в обидві сторони
    5. Додайте\(-4\) в обидві сторони

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Виберіть всі ситуації, для яких має сенс тільки нульові або позитивні рішення.

    1. Вимірювання температури в градусах Цельсія на арктичному форпості щодня в січні.
    2. Висота свічки як би горить протягом години.
    3. Висота над рівнем моря мандрівного туриста, що спускається в каньйон.
    4. Кількість учнів, що залишилися в школі після 18:00 вечора.
    5. Залишок банківського рахунку протягом року.
    6. Температура в градусах Фаренгейта печі використовується в спекотний літній день.

    (Від блоку 3.5.1)