3.4.1: Розв'язки лінійних рівнянь

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57581

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Урок

Давайте подумаємо, що означає бути рішенням лінійного рівняння з двома змінними в ньому.

Вправа$\PageIndex{1}$: Estimate Area

Яка цифра має найбільшу затінену область?

Малюнок$\PageIndex{1}$: 3 квадрати з маркуванням A, B, C. квадрат A має одну половину плюс одну чверть затінений. квадрат b має одну половину плюс одна чверть затінення. квадрат c має дріб 3 над 4 плюс дріб 1 над 16 затінений

Вправа$\PageIndex{2}$: Apples and Oranges

На кутовому ринку продукції яблука коштують 1 долар кожен, а апельсини - по 2 долари.

Дізнатися вартість:
1. 6 яблук і 3 апельсина
2. 4 яблука і 4 апельсина
3. 5 яблук і 4 апельсина
4. 8 яблук і 2 апельсина
Ной має 10 доларів, щоб витратити на ринку продукції. Чи може він купити 7 яблук і 2 апельсина? Поясніть або покажіть свої міркування.
Які комбінації яблук і апельсинів може купити Ной, якщо він витратить всі свої 10 доларів?
Використовуйте дві змінні, щоб написати рівняння, яке представляє $10-комбінації яблук і апельсинів. Обов'язково скажіть, що означає кожна змінна.
Які 3 комбінації яблук і апельсинів, які роблять ваше рівняння правдою? Які три поєднання яблук і апельсинів роблять його помилковим?

Ви готові до більшого?

Графік рівняння, яке ви написали, що стосується кількості яблук і кількості апельсинів.
Що таке нахил графіка? Яке значення схилу з точки зору контексту?
Припустимо, Ной має 20 доларів, щоб витратити. Графік рівняння, що описує цю ситуацію. Що ви помічаєте про зв'язок між цим графіком і попереднім?

Вправа$\PageIndex{3}$: Solutions and Everything Else

У вас є два числа. Якщо подвоїти перше число і додати його до другого числа, сума дорівнює 10.

$x$Дозволяти представляють перше число і нехай$y$ представляють друге число. Напишіть рівняння, що показує зв'язок між$x$$y$, і 10.
Намалюйте та позначте набір$x$ - і$y$ -осей. Покладіть принаймні п'ять точок на цій координатній площині, які роблять твердження та ваше рівняння істинними. Що ви помічаєте щодо накреслених вами точок?
Перерахуйте десять пунктів, які не роблять твердження правдивим. Використовуючи інший колір, нанесіть кожну точку в одній координатній площині. Що ви помічаєте про ці моменти порівняно з вашим першим набором балів?

Резюме

Придумайте всі прямокутники, периметри яких становлять 8 одиниць. Якщо$x$ представляє ширину і$y$ представляє довжину, то$2x+2y=8$ виражає залежність між шириною і довжиною для всіх таких прямокутників.

Наприклад, ширина і довжина можуть бути 1 і 3, так як$2\cdot 1+2\cdot 3=8$ або ширина і довжина можуть бути 2,75 і 1,25, так як$2\cdot (2.75)+2\cdot (1.25)=8$.

Ми могли б знайти багато інших можливих пар ширини і довжини$(x,y)$, які роблять рівняння істинним - тобто пари,$(x,y)$ які при заміні в рівняння роблять ліву і праву сторону рівними.

Рішення рівняння з двома змінними - це будь-яка пара значень$(x,y)$, які роблять рівняння істинним.

Ми можемо думати про пари чисел, які є розв'язками рівняння, як точки на координатній площині. Ось лінія, створена всіма точками$(x,y)$, які є рішеннями$2x+2y=8$. Кожна точка на лінії являє собою прямокутник, периметр якого дорівнює 8 одиницям. Всі точки не на лінії не є рішеннями$2x+2y=8$.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Графік лінії, початок O, з сіткою. Горизонтальна вісь, масштаб від 0 до 5, на 1. Вертикальна вісь, масштаб від 0 до 5, на 1. Лінія починається на вертикальній осі над початком, проходить через 1 кому 3 і 2 і 75 сотих коми 1 і 25 сотих.

Записи глосарію

Визначення: Розв'язок рівняння з двома змінними

Рішення рівняння з двома змінними - це пара значень змінних, які роблять рівняння істинним.

Наприклад, одним з можливих рішень рівняння$4x+3y=24$ є$(6,0)$. Заміна 6 for$x$ і 0 для$y$ робить це рівняння істинним, тому що$4(6)+3(0)=24$.

Практика

Вправа$\PageIndex{4}$

Виділіть усі впорядковані пари$(x,y)$, які є розв'язками лінійного рівняння$2x+3y=6$.

$(0,2)$
$(0,6)$
$(2,3)$
$(3,-2)$
$(3,0)$
$(6,-2)$

Вправа$\PageIndex{5}$

Графік показує лінійну залежність між$x$ і$y$.

$x$представляє кількість коміксів Прия купує в магазині, все за тією ж ціною, і$y$ являє собою суму грошей (в доларах) Прия має після покупки коміксів.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Графік лінії, початок O, з сіткою. Горизонтальна вісь, комікси, масштаб від 0 до 5, на 1. Вертикальна вісь, долари, масштаб від 0 до 20, на 5. Рядок починається з 0 кома 20 і закінчується 5 комою 0.

Знайти і інтерпретувати$x$ - і$y$ -перехоплення цього рядка.
Знайдіть і інтерпретуйте нахил цієї лінії.
Знайдіть рівняння для цього рядка.
Якщо Прия купив 3 комікси, скільки грошей у неї залишиться?

Вправа$\PageIndex{6}$

Зіставте кожне рівняння з трьома його розв'язками.

$y=1.5x$
$2x+3y=7$
$x-y=4$
$3x=\frac{y}{2}$
$y=-x+1$

$(14,21), (2,3), (8,12)$
$(-3,-7), (0,-4), (-1, -5)$
$(\frac{1}{8}, \frac{7}{8}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$
$(1, 1\frac{2}{3}), (-1, 3), (0, 2\frac{1}{3})$
$(0.5, 3), (1, 6), (1.2, 7.2)$

Вправа$\PageIndex{7}$

Контейнер з паливом роздає паливо зі швидкістю 5 галонів в секунду. Якщо$y$ являє собою кількість палива, що залишилося в контейнері, і$x$ являє собою кількість секунд, які пройшли з моменту початку роздачі палива, то$x$ і$y$ задовольняють лінійну залежність.

У координатній площині нахил лінії, що представляє це відношення, матиме позитивний, негативний або нульовий нахил? Поясніть, як ви знаєте.

(Від блоку 3.3.2)

Вправа$\PageIndex{8}$

Магазин сендвічів стягує плату за доставку, щоб принести обід до офісної будівлі. Один офіс платить $33 за 4 бутерброди з індичкою. Інша контора платить 61 долар за 8 бутербродів з індичкою. Скільки кожен сендвіч з індичкою додає до вартості доставки? Поясніть, як ви знаєте.

(Від блоку 3.2.1)