Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.2.3: Представлення лінійних відносин

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57548

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Напишемо рівняння з реальних розв'язків.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Estimation: Which Holds More?

    Яка склянка вмістить найбільше води? Найменше?

    clipboard_e828ab0915cc6508dff11b6b832d2d839.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\): Rising Water Levels

    Перемістіть зелене коло, щоб встановити початковий рівень води на значення, яке ви або ваш вчитель вибрали.

    1. Який обсяг\(V\), в циліндр після додається:
      1. 3 об'єкти?
      2. 7 об'єктів?
      3. \(x\)об'єкти? Поясніть свої міркування.
    2. Якби ви хотіли зробити так, щоб вода досягла найвищої позначки на циліндрі, скільки предметів вам знадобиться?
    3. Побудуйте та позначте точки, які показують ваші вимірювання з експерименту.
    4. Побудуйте та позначте точку, яка показує глибину води перед тим, як ви додаєте будь-які об'єкти.
    5. Точки повинні падати на лінію. Скористайтеся інструментом «Лінія», щоб намалювати цю лінію.
    6. Обчислити нахил лінії за допомогою декількох різних трикутників. Чи має значення, який трикутник ви використовуєте для обчислення нахилу? Чому чи чому ні?
    7. Рівняння рядка в експерименті має два числа і дві змінні. Які фізичні величини представляють два числа? Що\(V\) являє собою і що\(x\) являє собою?

    Ви готові до більшого?

    Ситуація представлена рівнянням\(y=5+\frac{1}{2}x\).

    1. Придумайте історію для цієї ситуації.
    2. Графік рівняння.
    3. Що представляють\(\frac{1}{2}\) і 5 у вашій ситуації?
    4. Де ви бачите\(\frac{1}{2}\) і 5 на графіку?

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Calculate the Slope

    clipboard_e98e4171fa69bde4776a2cc70f5e2e3e0.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\): 3 графіки ліній, позначені A, B, C. графік A, прямокутний трикутник, намальований вправо і вгору від точки 1 кома 3 до точки 4 кома 9, обидва на лінії. графік B, прямокутний трикутник намальований вправо і вгору від точки 2 кома 1 і 5 десятих до точки 10 кома 3 і 5 десятих, обидва на лінії. графік С, прямокутний трикутник намальовані вправо і вгору від точки 10 кома 35 до точки 30 кома 75, як на лінії.
    1. Для кожного запису графіка:
      вертикальна зміна горизонтальна зміна ухил
      Таблиця\(\PageIndex{1}\)
    2. Опишіть процедуру знаходження ухилу між будь-якими двома точками на прямій.
    3. Напишіть вираз для нахилу прямої в графіку, використовуючи букви\(u\),\(v\),\(s\), і\(t\).
    clipboard_ea902bd4d5f2d84e9ad0d0ba25e982188.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Резюме

    Припустимо, у нас є скляний циліндр, наповнений 50 мл води, і купа мармуру об'ємом 3 мл. Якщо ми опускаємо кульки в циліндр по одному, ми можемо спостерігати, як висота води збільшується на ту ж кількість, 3 мл, для кожного доданого. Ця постійна швидкість зміни означає, що існує лінійна залежність між кількістю мармуру та висотою води. Додайте один мармур, висота води підніметься на 3 мл. Додайте 2 кульки, висота води піднімається на 6 мл. Додайте\(x\) кульки, висота води піднімається вгору,\(3x\) мл.

    Аргументуючи таким чином, ми можемо обчислити\(y\), що висота води для\(x\) мармуру є\(y=3x+50\). Будь-які лінійні відносини можуть бути виражені у вигляді,\(y=mx+b\) використовуючи як швидкість зміни\(m\), так і початкову суму,\(b\). 3 являє собою швидкість зміни, або нахил графіка, а 50 являє собою початкову величину, або вертикальний перехоплення графіка. Ми дізнаємося про ще кілька способів думати про це рівняння на майбутніх уроках.

    Тепер що робити, якщо у нас не було опису, щоб використовувати, щоб з'ясувати нахил і вертикальний перехоплення? Це нормально, поки ми можемо знайти деякі точки на лінії! Для лінії, зображеної тут, дві точки на лінії є\((3,3)\)\((9,5)\) і ми можемо використовувати ці точки, щоб намалювати трикутник нахилу, як показано на малюнку:

    clipboard_eb454b19dc8a56a4c2a24a656b7dd6158.png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Нахил цієї лінії є часткою довжини вертикальної сторони трикутника нахилу і довжини горизонтальної сторони трикутника схилу. Отже, нахил\(m\), є\(\frac{vertical change}{horizontal change}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\). Ми також можемо бачити з графіка, що вертикальний перехоплення\(b\), є 2. Зібравши їх разом, можна сказати, що рівняння для цієї лінії є\(y=\frac{1}{3}x+2\).

    Записи глосарію

    Визначення: Лінійні відносини

    Лінійний зв'язок між двома величинами означає, що вони пов'язані так: Коли одна кількість змінюється на певну суму, інша кількість завжди змінюється на встановлену суму. У лінійному співвідношенні одна величина має постійну швидкість зміни щодо іншої.

    Відносини називаються лінійними, оскільки його графік є лінією.

    Графік показує залежність між кількістю днів і кількістю прочитаних сторінок.

    При збільшенні кількості днів на 2 кількість прочитаних сторінок завжди збільшується на 60. Швидкість змін постійна, 30 сторінок на добу, тому відносини лінійні.

    clipboard_e4d1fd0f0259d7198073a02ce75a7303d.png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Визначення: Вертикальний перехоплення

    Вертикальний перехоплення - це точка, де графік прямої перетинає вертикальну вісь.

    Вертикальний перехоплення цієї лінії дорівнює\((0,-6)\) або просто -6.

    clipboard_ea9fc8ec38e43e70ee19cfa3df0f6c2ef.png
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Створіть графік, який показує три лінійні відносини з різними -перехопленнями, використовуючи наступні нахили, і напишіть рівняння для кожного рядка.

    Схили:

    • \(\frac{1}{5}\)
    • \(\frac{3}{5}\)
    • \(\frac{6}{5}\)
    clipboard_e04bc908f3137805a331c8080d3934415.png
    Малюнок\(\PageIndex{7}\)

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    На графіку показана висота бамбукової\(h\) рослини в дюймах через кілька\(t\) місяців після її посадки.

    clipboard_e5fa12dc56913edd7bbfb74b3287c8540.png
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)
    1. Напишіть рівняння, яке описує зв'язок між\(h\) і\(t\).
    2. Через скільки місяців рослина бамбука буде 66 дюймів заввишки? Поясніть або покажіть свої міркування.

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Ось рецепти двох різних бананових тортів. Інформація для першого рецепта наведена в таблиці.

    цукор (склянки) борошно (склянки)
    \(\frac{1}{2}\) \(\frac{3}{4}\)
    \(2\frac{1}{2}\) \(3\frac{3}{4}\)
    \(3\) \(4\frac{1}{2}\)
    Таблиця\(\PageIndex{2}\)

    Співвідношення між чашками борошна\(y\) і склянками цукру\(x\) в другому рецепті є\(y=\frac{7}{4}x\).

    1. Якщо ви використовували 4 склянки цукру, скільки борошна потрібно кожному рецепту?
    2. Що таке константа пропорційності для кожної ситуації і що вона означає?

    (Від блоку 3.1.4)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Покажіть, що ці дві фігури схожі, визначаючи послідовність перекладів, обертань, роздумів та розширення, яка приймає більшу фігуру до меншої.

    clipboard_eacdbcb33bc2a7d2469485b10d2363c58.png
    Малюнок ABCD і цифра EFGH на сітці 10 на 10. Нехай нижній лівий кут = 0 кому 0, A = 1 кома 9, B = 1 кома 6, C = 3 кома 5, D = 2 кома 6, E = 9 кома 9, F = 9 кома 3, G = 5 кома 1, H = 7 кома 3.

    (Від блоку 2.2.1)