3.2.2: Більше лінійних відносин

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57547

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте розглянемо ще деякі зв'язки між двома змінними.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Growing

Шукайте зростаючий візерунок. Опишіть візерунок, який ви бачите.

Якщо ваш візерунок продовжує рости таким же чином, скільки плиток кожного кольору буде на 4-й і 5-й схемі? 10-а діаграма?
Скільки плиток кожного кольору буде на\(n\) схемі? Будьте готові пояснити, як ваші міркування.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Slopes, Vertical Intercepts, and Graphs

Ваш викладач дасть вам 6 карток з описом різних ситуацій і 6 карток з графіками.

Зіставте кожну ситуацію з графіком.
Виберіть один пропорційний зв'язок і один непропорційний зв'язок і дайте відповідь на наступні питання про них.
1. Як можна знайти ухил за графіком? Поясніть або покажіть свої міркування.
2. Поясніть, що означає ухил в ситуації.
3. Знайдіть точку, де лінія перетинає вертикальну вісь. Що цей момент говорить вам про ситуацію?

Вправа\(\PageIndex{3}\): Summer Reading

Лін має літнє завдання на читання. Прочитавши перші 30 сторінок книги, вона планує читати по 40 сторінок щодня, поки не закінчить. Лін робить графік, показаний тут, щоб відстежувати, скільки всього сторінок вона прочитає протягом наступних кількох днів.

Після першого дня Лін досягає сторінки 70, що відповідає точці, яку\((1,70)\) вона зробила на своєму графіку. Після 4-го дня Лін досягає сторінки 190, що не відповідає точці, яку\((4,160)\) вона зробила на своєму графіку. Лін не впевнена, що пішло не так, оскільки вона знає, що дотримувалася свого плану читання.

Намалюйте лінію, що показує початковий план Ліна на осях.
Що означає вертикальний перехоплення в даній ситуації? Як порівнюються вертикальні перехоплення двох рядків?
Що означає ухил в даній ситуації? Як порівнюють ухили двох ліній?

Ви готові до більшого?

Бабуся і дідусь Джади розпочали ощадний рахунок для неї в 2010 році. У таблиці вказана сума на рахунку щороку.

Якщо ця залежність графічна з роком на горизонтальній осі і сумою в доларах на вертикальній осі, що таке вертикальний перехоплення? Що це означає в даному контексті?

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
рік	сума в доларах
2010	\(600\)
2012	\(750\)
2014	\(900\)
2016	\(1050\)

Резюме

На початку літніх канікул Джада і Лін вирішують заощадити частину грошей, які вони заробляють, допомагаючи своїм сусідам використовувати протягом навчального року. Джада починає з того, що вкладає 20 доларів у банку заощаджень у своїй кімнаті і планує заощадити 10 доларів на тиждень. Лін починає, поклавши 10 доларів у банку заощаджень у своїй кімнаті, планує заощадити 20 доларів на тиждень. Ось графіки того, скільки грошей вони заощадять через 10 тижнів, якщо кожен буде слідувати своїм планам:

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Графік 2 рядків у квадранті 1. Горизонтальна вісь, час у тижнях, шкала від 0 до 12, на 1 х., Вертикальна вісь, сума збережена в доларах, шкала від 0 до 100, по 20 рр. лінія Lin, y перехоплення = 10. Ухил = 20. Яда лінія, y перехоплення = 20, нахил = 10.

Значення, де лінія перетинає вертикальну вісь, називається вертикальним перехопленням. Коли вертикальна вісь позначена змінною типу\(y\), це значення також часто називають\(y\) -intercept. Графік Джади має вертикальний перехоплення 20 доларів, тоді як графік Ліна має вертикальний перехоплення 10 доларів. Ці значення відображають суму грошей, з якої вони починали. За 1 тиждень вони заощадять таку ж суму, 30 доларів. Але після тижня 1 Лін економить більше грошей на тиждень (так що вона має більшу швидкість змін), тому вона в кінцевому підсумку заощадить більше грошей протягом літа, якщо кожен буде слідувати своїм планам.

Записи глосарію

Визначення: Лінійні відносини

Лінійний зв'язок між двома величинами означає, що вони пов'язані так: Коли одна кількість змінюється на певну суму, інша кількість завжди змінюється на встановлену суму. У лінійному співвідношенні одна величина має постійну швидкість зміни щодо іншої.

Відносини називаються лінійними, оскільки його графік є лінією.

Графік показує залежність між кількістю днів і кількістю прочитаних сторінок.

При збільшенні кількості днів на 2 кількість прочитаних сторінок завжди збільшується на 60. Швидкість змін постійна, 30 сторінок на добу, тому відносини лінійні.

Визначення: Вертикальний перехоплення

Вертикальний перехоплення - це точка, де графік прямої перетинає вертикальну вісь.

Вертикальний перехоплення цієї лінії дорівнює\((0,-6)\) або просто -6.

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Поясніть, що означають нахил і перехоплення в кожній ситуації.

Графік представляє периметр, в одиницях\(y\), для рівностороннього трикутника з\(x\) одиницями довжини сторони. Нахил лінії дорівнює 3, а\(y\) -перехоплення дорівнює 0.
Сума грошей\(y\), в касі після придбання\(x\) квитків на карнавальні ігри. Нахил лінії дорівнює\(\frac{1}{4}\) і\(y\) -перехоплення дорівнює 8.
Кількість прочитаних глав\(y\), через\(x\) дні. Нахил лінії дорівнює\(\frac{5}{4}\) і\(y\) -перехоплення дорівнює 2.
Графік показує вартість в доларах\(y\), доставку кексів і кількість замовлених\(x\) кексів. Ухил лінії дорівнює 2, а\(y\) -перехоплення - 3.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Клієнти в тренажерному залі платять членський внесок, щоб приєднатися, а потім внесок за кожен клас, який вони відвідують. Ось графік, який представляє ситуацію.

Що означає нахил лінії, показаної точками в даній ситуації?
Що означає вертикальний перехоплення в даній ситуації?

Вправа\(\PageIndex{6}\)

На графіку показана залежність між кількістю чашок борошна і кількістю чашок цукру в улюбленому рецепті Брауні Ліна.

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Графік, горизонтальна вісь, чашки цукру, шкала від 0 до 5, по 1с. вертикальної осі, склянки борошна, шкала від 0 до 4, по 1с. точок, нанесених на 1 кому 5 десятих, 2 кома 1, 3 кома 1 і 5 десятих, 4 кома 2, 5 кома 2 і 5 десятих.

У таблиці вказані кількості борошна і цукру, необхідних для улюбленого рецепта Ноя брауні.

Таблиця\(\PageIndex{2}\)
чашки цукру	склянки борошна
\(\frac{3}{2}\)	\(1\)
\(3\)	\(2\)
\(4\frac{1}{2}\)	\(3\)

Ной і Лін купують 12-скляний пакетик цукру і розділяють його рівномірно, щоб скласти свої рецепти. Якщо кожен з них використовує весь свій цукор, скільки борошна їм потрібно кожному?
Ной і Лін купують 10-скляний мішок борошна і розділяють його рівномірно, щоб скласти свої рецепти. Якщо кожен з них використовує всю свою муку, скільки цукру їм потрібно кожному?

(Від блоку 3.1.4)