3.2.1: Вступ до лінійних відносин

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57559

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Урок

Давайте розглянемо деякі зв'язки між двома змінними.

Вправа$\PageIndex{1}$: Number Talk: Fraction Division

Знайдіть значення$2\frac{5}{8}\div\frac{1}{2}$.

Вправа$\PageIndex{2}$: Stacking Cups

У нас є дві стопки чашок з пінопласту.

Одна стопка має 6 чашок, а висота її становить 15 см.
Інша стопка має 12 чашок, а її висота становить 23 см.

Скільки стаканчиків потрібно для стопки висотою 50 см?

Вправа$\PageIndex{3}$: Connecting Slope to Rate of Change

1. Якщо ви раніше не створили власний графік ситуації, зробіть це зараз.

2. Якими способами можна сказати, що кількість чашок не пропорційно висоті стопки?

3. Який нахил прямої у вашому графіку? Що означає ухил в даній ситуації?

4. У якій точці ваша лінія перетинає вертикальну вісь? Про що говорять координати цієї точки про чашках?

5. Скільки висоти кожна чашка після першої додається в стопку?

Резюме

Андре починає доглядати за дітьми і стягує 10 доларів за поїздку на роботу та з роботи, а також 15 доларів на годину. За кожну додаткову годину роботи він стягує ще 15 доларів. Якщо ми графуємо заробіток Андре на основі того, як довго він працює, у нас є лінія, яка починається від 10 доларів на вертикальній осі, а потім збільшується на 15 доларів щогодини. Лінійний зв'язок - це будь-яке співвідношення між двома величинами, де одна величина має постійну швидкість зміни щодо іншої.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Графік, горизонтальна вісь, час в години. шкала від 0 до 9, по 1с. вертикальної осі, сума заробленого в доларах, шкала від 0 до 140, по 20'с. рядок починається з 0 кома 10, проходить через 2 кому 40 і 60 кома 100.

З'ясувати швидкість зміни ми можемо за допомогою графіка. Оскільки швидкість зміни постійна, ми можемо взяти будь-які дві точки на графіку і розділити величину зміни вертикалі на величину зміни горизонталі. Наприклад, візьмемо точки$(2,40)$ і$(6,100)$. Вони означають, що Андре заробляє $40 за роботу 2 години і 100 доларів за роботу 6 годин. Курс зміни становить$\frac{100-40}{6-2}=15$ долари на годину. Заробіток Андре піднімається на 15 доларів за кожну годину няні.

Зверніть увагу, що таким же чином ми обчислюємо нахил лінії. Ось чому графік є лінією, і чому ми називаємо це лінійним співвідношенням. Швидкість зміни лінійної залежності така ж, як і нахил його графіка.

З пропорційними співвідношеннями ми звикли до графіків, які містять точку$(0,0)$. Але пропорційні відносини - це лише один тип лінійних відносин. У наступних уроках ми продовжимо досліджувати інший тип лінійних відносин, де величини не є одночасно 0.

Записи глосарію

Визначення: Лінійні відносини

Лінійний зв'язок між двома величинами означає, що вони пов'язані так: Коли одна кількість змінюється на певну суму, інша кількість завжди змінюється на встановлену суму. У лінійному співвідношенні одна величина має постійну швидкість зміни щодо іншої.

Відносини називаються лінійними, оскільки його графік є лінією.

Графік показує залежність між кількістю днів і кількістю прочитаних сторінок.

При збільшенні кількості днів на 2 кількість прочитаних сторінок завжди збільшується на 60. Швидкість змін постійна, 30 сторінок на добу, тому відносини лінійні.

Практика

Вправа$\PageIndex{4}$

Ресторан пропонує доставку своїх піц. Загальна вартість - це плата за доставку, що додається до ціни піци. Один клієнт платить $25 за доставку 2 піци. Інший клієнт платить 58 доларів за 5 піц. Скільки піц доставляється клієнту, який платить 80 доларів?

Вправа$\PageIndex{5}$

Щоб пофарбувати будинок, фарбувальна компанія стягує фіксовану ставку в розмірі 500 доларів за витратні матеріали, плюс 50 доларів за кожну годину праці.

Скільки б стягувала фарбувальна компанія, щоб пофарбувати будинок, який потребує 20 годин праці? Будинок, якому потрібно 50 годин?
Намалюйте лінію, що представляє співвідношення між$x$, кількістю годин, які потрібно фарбувальній компанії, щоб закінчити будинок$y$, і, загальна вартість фарбування будинку. Позначте дві точки з попереднього питання на графіку.

3. Знайдіть нахил лінії. Яке значення схилу в цьому контексті?

Вправа$\PageIndex{6}$

Тайлер і Олена знаходяться в збірній з кросу.

Дистанції і час Тайлера для тренувального пробігу показані на графіку.

Малюнок$\PageIndex{6}$: Графік, горизонтальна вісь, відстань в милі, масштаб від 0 до 4, по 1с. вертикальній осі, час в хвилинах, масштаб від 0 до 190, по 2'с. лінія проходить через початок і 1 кому 8 і дріб 1 над 3.

Відстані та час Олени для тренувального пробігу задаються рівнянням$y=8.5x$, де$x$ позначає відстань у милі та$y$ представляє час у хвилинах.

Хто побіг далі за 10 хвилин? На скільки далі? Поясніть, як ви знаєте.
Обчисліть темп кожного бігуна в хвилинах на милю.
Хто біг швидше під час тренувального бігу? Поясніть або покажіть свої міркування.

(Від блоку 3.1.4)

Вправа$\PageIndex{7}$

Напишіть рівняння для прямої, яка проходить через$(2,5)$ і$(6,7)$.

(Від блоку 2.3.3)