3.1.4: Порівняння пропорційних відносин

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57598

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Урок

Давайте порівняємо пропорційні відносини.

Вправа$\PageIndex{1}$: What's the Relationship?

Рівняння$y=4.2x$ може представляти безліч різних ситуацій.

Напишіть опис ситуації, представленої цим рівнянням. Вирішіть, які величини$x$ і$y$ представляєте у вашій ситуації.
Складіть таблицю і графік, які представляють ситуацію.

Вправа$\PageIndex{2}$: Comparing Two Different Representations

Олена немовля сидить у сусідських дітей. Її заробіток задається рівнянням$y=8.40x$, де$x$ представляє кількість годин, які вона відпрацювала, і$y$ представляє суму грошей, яку вона заробила.
Джада заробляє 7 доларів за годину косіння газонів своїх сусідів.
1. Хто заробляє більше грошей після роботи 12 годин? Скільки ще вони заробляють? Поясніть свої міркування, створивши графік або таблицю.
2. Яка швидкість змін для кожної ситуації і що це означає?
3. Використовуючи свій графік або таблицю, визначте, скільки часу знадобиться кожній людині, щоб заробити 150 доларів.
Клер і Хан мають літні роботи, набиваючи конверти для двох різних компаній.
1. Створивши графік, покажіть, скільки грошей заробляє кожна людина після набивання 1500 конвертів.
2. Яка швидкість змін для кожної ситуації і що це означає?
3. Використовуючи свій графік, визначте, скільки більше грошей заробляє одна людина щодо іншого після набивання 1500 конвертів. Поясніть або покажіть свої міркування.
  
  Хан заробляє $15 за кожні 300 конвертів, які він закінчує.
  
  Заробіток Клер можна побачити в таблиці.

Таблиця$\PageIndex{1}$
кількість конвертів	гроші в доларах
$400$	$40$
$900$	$90$

Тайлер планує почати лимонад стенд і намагається вдосконалити свій рецепт лимонаду. Він хоче переконатися, що рецепт не використовує занадто багато суміші лимонаду (лимонний сік і цукор), але все ще смакує.

Рецепт лимонаду 1 дається рівнянням$y=4x) where \(x$ представляє кількість суміші лимонаду в чашках і$y$ являє собою кількість води в чашках.

Рецепт лимонаду 2 наведено в таблиці.

Таблиця\ (\ індекс сторінки {2}\
лимонадний мікс (чашки)	вода (чашки)
$10$	$50$
$13$	$65$
$21$	$105$

Якби Тайлер мав 16 чашок лимонадної суміші, скільки чашок води йому потрібно для кожного рецепту? Поясніть свої міркування, створивши графік або таблицю.
Яка швидкість змін для кожної ситуації і що це означає?
Тайлер має 5-галонний глечик (який вміщує 80 чашок) для використання для його лимонаду стенду та 16 чашок лимонадної суміші. Який рецепт лимонаду він повинен використовувати? Поясніть або покажіть свої міркування.

Ви готові до більшого?

Хан і Клер все ще набивають конверти. Хан може набити 20 конвертів за хвилину, а Клер може набити 10 конвертів за хвилину. Вони починають працювати разом на купі з 1000 конвертів.

Скільки часу потрібно їм, щоб закінчити ворс?
Хто заробляє більше грошей?

Резюме

Коли дві пропорційні відносини представлені по-різному, ми порівнюємо їх, знаходячи загальний фрагмент інформації.

Наприклад, заробіток Клер представлений рівнянням$y=14.5x$, де$y$ знаходиться її заробіток в доларах за$x$ робочий час.

У таблиці наведено деяку інформацію про оплату Джади.

Таблиця$\PageIndex{3}$
відпрацьований час (годин)	заробіток (долари)
$7$	$92.75$
$4.5$	$59.63$
$37$	$490.25$

Кому платять за вищою ставкою за годину? Скільки ще ця людина має після 20 годин?

У рівнянні Клер ми бачимо, що швидкість зміни (скільки доларів вона заробляє щогодини) становить 14,50.

Ми можемо обчислити швидкість зміни Джади, розділивши значення в стовпці заробітку на значення в тому ж рядку в стовпці часу відпрацьованого. Використовуючи останній рядок, швидкість зміни для Jada становить 13,25, так як$490.25\div 37=13.25$. Рівняння, що представляє доходи Джади, є$y=13.25x$. Це означає, що вона заробляє $13.25 на годину.

Так Клер платять за вищою ставкою, ніж Джада. Клер заробляє на 1,25 долара більше за годину, ніж Джада. Після 20 годин роботи вона заробляє на 25 доларів більше, ніж Джада тому$20\cdot (1.25)=25$.

Записи глосарію

Визначення: Константа пропорційності

У пропорційному співвідношенні значення для однієї кількості множаться на одне і те ж число, щоб отримати значення для іншої величини. Це число називається константою пропорційності.

У цьому прикладі константа пропорційності дорівнює 3, тому що$2\cdot 3=6$,$3\cdot 3=9$, і$5\cdot 3=15$. Це означає, що на кожен 1 апельсин у фруктовому салаті припадає 3 яблука.

Таблиця$\PageIndex{4}$
кількість апельсинів	кількість яблук
$2$	$6$
$3$	$9$
$5$	$15$

Визначення: Швидкість змін

Швидкість зміни лінійної залежності - це сума$y$ зміни при$x$ збільшенні на 1. Швидкість зміни лінійної залежності - це також нахил його графіка.

На цьому графіку$y$ збільшується на 15 доларів при$x$ збільшенні на 1 годину. Курс зміни становить 15 доларів на годину.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Графік, горизонтальна вісь, час в години. шкала від 0 до 9, по 1с. вертикальної осі, сума заробленого в доларах, шкала від 0 до 140, по 20'с. рядок починається з 0 кома 10, проходить через 2 кому 40 і 60 кома 100.

Практика

Вправа$\PageIndex{3}$

Підрядник повинен перевозити велику кількість бруду на робочу ділянку. Вона збирала інформацію від двох транспортних компаній.

EZ Розкопка дає свої ціни в таблиці.

Таблиця$\PageIndex{5}$
бруд (кубічні ярди)	вартість (доларів)
$8$	$196$
$20$	$490$
$26$	$637$

Служба Happy Hauling дає свої ціни в графіку.

Скільки б кожна транспортна компанія стягувала за перевезення 40 кубічних ярдів бруду? Поясніть або покажіть свої міркування.
Розрахуйте швидкість зміни для кожного відносини. Що вони означають для кожної компанії?
Якщо підрядник має 40 кубічних ярдів бруду для перевезення і бюджет $1000, яку транспортувальну компанію вона повинна найняти? Поясніть або покажіть свої міркування.

Вправа$\PageIndex{4}$

Андре і Прия відстежують кількість кроків, які вони проходять. Андре записує, що може пройти 6000 кроків за 50 хвилин. Прия пише рівняння$y=118x$, де$y$ знаходиться кількість кроків і$x$ кількість хвилин, які вона ходить, щоб описати її швидкість кроку. Цього тижня Андре та Прія кожна прогулянка загалом 5 годин. Хто ходить більше кроків? Скільки ще?

Вправа$\PageIndex{5}$

Знайдіть координати точки на$D$ кожній діаграмі:

(Від блоку 2.3.2)

Вправа$\PageIndex{6}$

Виділіть всі пари точок так, щоб лінія між цими точками мала нахил$\frac{2}{3}$.

$(0,0)$і$(2,3)$
$(0,0)$і$(3,2)$
$(1,5)$і$(4,7)$
$(-2,-2)$і$(4,2)$
$(20,30)$і$(-20,-30)$

(Від блоку 2.3.2)

кількість конвертів	гроші в доларах
\(400\)	\(40\)
\(900\)	\(90\)

лимонадний мікс (чашки)	вода (чашки)
\(10\)	\(50\)
\(13\)	\(65\)
\(21\)	\(105\)

відпрацьований час (годин)	заробіток (долари)
\(7\)	\(92.75\)
\(4.5\)	\(59.63\)
\(37\)	\(490.25\)

кількість апельсинів	кількість яблук
\(2\)	\(6\)
\(3\)	\(9\)
\(5\)	\(15\)

бруд (кубічні ярди)	вартість (доларів)
\(8\)	\(196\)
\(20\)	\(490\)
\(26\)	\(637\)