3.1.3: Представлення пропорційних відносин

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57599

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Урок

Давайте графуємо пропорційні відносини.

Вправа$\PageIndex{1}$: Number Talk: Multiplication

Знайти цінність кожного продукту подумки.

$15\cdot 2$

$15\cdot 0.5$

$15\cdot 0.25$

$15\cdot (2.25)$

Вправа$\PageIndex{2}$: Representations of Proportional Relationships

1. Ось два способи представлення ситуації.

Опис:

Джада і Ной підрахували кількість кроків, які вони зробили, щоб пройти певну відстань. Щоб пройти таку ж відстань, Джада зробила 8 кроків, а Ной зробив 10 кроків. Тоді вони виявили, що коли Ной зробив 15 кроків, Джада зробив 12 кроків.

Рівняння:

Дозвольте$x$ представляти кількість кроків, які робить Джада, і нехай$y$ представляють кількість кроків, які робить Ной$y=\frac{5}{4}x$.

Створіть таблицю, яка представляє цю ситуацію з принаймні 3 парами значень.
Графік цього співвідношення і позначення осей.

c Як можна побачити або обчислити константу пропорційності в кожному поданні? Що це означає?

d Поясніть, як ви можете сказати, що рівняння, опис, графік та таблиця представляють однакову ситуацію.

2. Ось два способи представлення ситуації.

Опис:

Клуб орігамі робить збір коштів на автомийку, щоб зібрати гроші на поїздку. Вони стягують однакову ціну за кожен автомобіль. Після 11 автомобілів вони зібрали в цілому $93,50. Після 23 автомобілів вони підняли в цілому $195.50.

Таблиця:

Таблиця$\PageIndex{1}$
кількість автомобілів	сума зібрана в доларах
$11$	$93.50$
$23$	$195.50$

a Напишіть рівняння, яке представляє цю ситуацію. (Використовуйте$c$ для представлення кількості автомобілів і використовувати$m$ для представлення суми, зібраної в доларах.)

б Створіть графік, який представляє цю ситуацію.

c Як можна побачити або обчислити константу пропорційності в кожному поданні? Що це означає?

d Поясніть, як ви можете сказати, що рівняння, опис, графік та таблиця представляють однакову ситуацію.

Вправа$\PageIndex{3}$: Info Gap: Proportional Relationships

Ваш викладач видасть вам або проблемну карту, або картку даних. Не показуйте і не читайте свою картку партнеру.

Якщо ваш викладач дає вам проблемну картку:

Мовчки читайте свою карту і подумайте, яка інформація вам потрібна, щоб зуміти відповісти на питання.
Попросіть свого партнера конкретну інформацію, яка вам потрібна.
Поясніть, як ви використовуєте інформацію для вирішення проблеми.Продовжуйте задавати питання, поки у вас не буде достатньо інформації для вирішення проблеми.
Поділіться проблемною картою і вирішуйте проблему самостійно.
Прочитайте картку даних і обговоріть свої міркування.

Якщо ваш викладач дає вам картку даних:

Мовчки читайте свою картку.
Запитайте свого партнера «Яка конкретна інформація вам потрібна?» і чекайте, поки вони попросять інформацію.
Якщо ваш партнер запитує інформацію, якої немає на карті, не робіть розрахунків за них. Скажіть їм, що у вас немає такої інформації.
Перш ніж ділитися інформацією, запитайте «Навіщо вам ця інформація? » Прислухайтеся до міркувань свого партнера і задайте уточнюючі питання.
Прочитайте проблемну карту і вирішуйте проблему самостійно.
Поділіться карткою даних і обговоріть свої міркування.

Пауза тут, щоб ваш викладач міг переглянути вашу роботу. Попросіть свого вчителя новий набір карток і повторіть діяльність, торгуючи ролями зі своїм партнером.

Ви готові до більшого?

Десять чоловік можуть вирити п'ять ям за три години. Якщо$n$ люди, які копають з однаковою швидкістю, копають$m$ ями в$d$ годинами:

$n$Пропорційно$m$ коли$d=3$?
$n$Пропорційно$d$ коли$m=5$?
$m$Пропорційно$d$ коли$n=10$?

Резюме

Пропорційні відносини можуть бути представлені різними способами. Яке представлення ми виберемо, залежить від мети. І коли ми створюємо уявлення, ми можемо вибрати корисні значення, звертаючи увагу на контекст. Наприклад, рецепт тушкованого м'яса вимагає 3 моркви на кожні 2 картоплини. Один із способів представити це за допомогою рівняння. Якщо є$p$ картопля і$c$ морква, то$c=\frac{3}{2}p$.

Припустимо, ми хочемо зробити велику партію цього рецепта для сімейного збору, використовуючи 150 картоплин. Щоб знайти кількість моркви, ми могли б просто використовувати рівняння:$\frac{3}{2}\cdot 150=225$ морква.

Тепер припустимо, що рецепт використовується в ресторані, який робить тушковане м'ясо великими партіями різного розміру залежно від того, наскільки він зайнятий день, використовуючи до 300 картоплин одночасно.

Тоді ми могли б зробити графік, щоб показати, скільки моркви потрібно для різних кількостей картоплі. Встановлюємо пару координатних осей зі шкалою від 0 до 300 по горизонтальній осі і від 0 до 450 по вертикальній осі, тому що$450=\frac{3}{2}\cdot 300$. Потім зможемо прочитати, скільки моркви потрібно на будь-яку кількість картоплі до 300.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Графік, горизонтальна вісь, кількість картоплин, масштаб від 0 до 300, на 50с. вертикальна вісь, кількість морквин, масштаб від 0 до 450, по 50-ті. Рядок проходить через початок, 100 кома 150, кома 150 225, 200 кома 300, 250 кома 375, і 300 кома 450.

Або якщо рецепт використовується на харчовій фабриці, яка виробляє дуже великі кількості, а картопля поставляється в мішках по 150, ми могли б просто скласти таблицю значень, що показує кількість моркви, необхідну для різних множень 150.

Таблиця$\PageIndex{2}$
кількість картоплі	кількість моркви
$150$	$225$
$300$	$450$
$450$	$675$
$600$	$900$

Незалежно від представлення чи використовуваної шкали, константа пропорційності очевидна у кожному.$\frac{3}{2}$ У рівнянні це число, на яке ми$p$ множимо; на графіку це нахил; а в таблиці - це число, яке ми множимо значення в лівому стовпці, щоб отримати числа в правому стовпці. Ми можемо думати про константу пропорційності як швидкість зміни$c$ щодо$p$. При цьому швидкість зміни становить$\frac{3}{2}$ морква на картоплю.

Записи глосарію

Визначення: Константа пропорційності

У пропорційному співвідношенні значення для однієї кількості множаться на одне і те ж число, щоб отримати значення для іншої величини. Це число називається константою пропорційності.

У цьому прикладі константа пропорційності дорівнює 3, тому що$2\cdot 3=6$,$3\cdot 3=9$, і$5\cdot 3=15$. Це означає, що на кожен 1 апельсин у фруктовому салаті припадає 3 яблука.

Таблиця$\PageIndex{3}$
кількість апельсинів	кількість яблук
$2$	$6$
$3$	$9$
$5$	$15$

Визначення: Швидкість змін

Швидкість зміни лінійної залежності - це сума$y$ зміни при$x$ збільшенні на 1. Швидкість зміни лінійної залежності - це також нахил його графіка.

На цьому графіку$y$ збільшується на 15 доларів при$x$ збільшенні на 1 годину. Курс зміни становить 15 доларів на годину.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Графік, горизонтальна вісь, час в години. шкала від 0 до 9, по 1с. вертикальної осі, сума заробленого в доларах, шкала від 0 до 140, по 20'с. рядок починається з 0 кома 10, проходить через 2 кому 40 і 60 кома 100.

Практика

Вправа$\PageIndex{4}$

Ось графік пропорційного співвідношення між калоріями і грамами риби:

Малюнок$\PageIndex{5}$: Графік, горизонтальна вісь, грам риби, луска від 0 до 300, на 50с. вертикальна вісь, кількість калорій, шкала від 0 до 600, на 100'с. лінія проходить через початок, 100 кома 150, 200 кома 300, кома 300, кома 450.

Напишіть рівняння, яке відображає цей зв'язок, використовуючи$x$ для представлення кількості риби в грамах та$y$ представлення кількості калорій.
Використовуйте своє рівняння, щоб заповнити таблицю:

Таблиця$\PageIndex{4}$
грам риби	кількість калорій
$1000$
	$2001$
$1$

Вправа$\PageIndex{5}$

Студенти продають лотерейні квитки на шкільний збір коштів. Вони збирають $24 за кожні 10 лотерейних квитків, які вони продають.

Припустимо,$M$ це сума грошей, яку студенти збирають за продаж$R$ лотерейних квитків. Напишіть рівняння, яке відображає зв'язок між$M$ і$R$.
Позначте та масштабуйте осі та графікуйте цю ситуацію$M$ на вертикальній осі та$R$ на горизонтальній осі. Переконайтеся, що масштаб досить великий, щоб побачити, скільки вони піднімуть, якщо продадуть 1000 квитків.

Вправа$\PageIndex{6}$

Опишіть, як ви можете визначити, чи нахил лінії більше 1, дорівнює 1 або менше 1.

(Від блоку 2.3.1)

Вправа$\PageIndex{7}$

Рядок представлений рівнянням$\frac{y}{x-2}=\frac{3}{11}$. Які координати деяких точок, які лежать на лінії? Графік лінії на графічному папері.

(Від блоку 2.3.3)

кількість автомобілів	сума зібрана в доларах
\(11\)	\(93.50\)
\(23\)	\(195.50\)

кількість картоплі	кількість моркви
\(150\)	\(225\)
\(300\)	\(450\)
\(450\)	\(675\)
\(600\)	\(900\)

кількість апельсинів	кількість яблук
\(2\)	\(6\)
\(3\)	\(9\)
\(5\)	\(15\)

грам риби	кількість калорій
\(1000\)
	\(2001\)
\(1\)