3.1.2: Графіки пропорційних відносин

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57612

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте подумаємо про масштаб.

Вправа\(\PageIndex{1}\): An Unknown Situation

Ось графік, який може представляти безліч різних ситуацій.

Напишіть рівняння для графа.
Намалюйте новий графік цього співвідношення.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Card Sort: Proportional Relationships

Ваш вчитель дасть вам 12 графіків пропорційних відносин.

Сортуйте графіки за групами, виходячи з того, яке пропорційне співвідношення вони представляють.
Напишіть рівняння для кожного різного пропорційного співвідношення, яке ви знайдете.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Different Scales

Два великих резервуара для води наповнюються водою. Резервуар А заповнюється не з постійною швидкістю, а залежність між його обсягом води і часом зображена на кожному наборі осей. Резервуар В заповнюється з постійною швидкістю\(\frac{1}{2}\) літрів в хвилину. Співвідношення між її обсягом води і часом можна описати рівнянням\(v=\frac{1}{2}t\), де\(t\) знаходиться час в хвилинах і\(v\) - загальний обсяг в літрах води в баку.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Графік, горизонтальна вісь, час у хвилинах, шкала від 0 до 1 і 8 десятих, на 2 десятих. Вертикальна вісь, об'єм в літрах, від 0 до 1 і 8 десятих, на 2 десятих. Вигнута лінія, що проходить через початок, 1 кома 1 і 1 і 4 десятих кома 1 і 3 десятих.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Графік, горизонтальна вісь, час у хвилинах, шкала від 0 до 80, на 20'с. вертикальна вісь, об'єм в літрах, від 0 до 50, по 10с. вигнута лінія, що проходить через початок, 20 кома 12 і 60 кома 30.

Намалюйте і позначте графік співвідношення між об'ємом води\(v\) і часом\(t\) для резервуара В на кожній з осей.
Дайте відповідь на наступні питання і скажіть, який графік ви використовували, щоб знайти свою відповідь.
1. Через 30 секунд в якому резервуарі найбільше води?
2. Приблизно в який час обидва резервуари мають однакову кількість води?
3. Приблизно в який час обидва резервуари містять 1 літр води? 20 літрів?

Ви готові до більшого?

Гігантська черепаха подорожує зі швидкістю 0,17 миль на годину, а арктичний заєць подорожує зі швидкістю 37 миль на годину.

Намалюйте окремі графіки, які показують взаємозв'язок між минулим часом, у годинами, і пройденою відстанню, в милах, як для черепахи, так і для зайця.
Чи було б корисно спробувати поставити обидва графіки на одній парі осей? Чому чи чому ні?
Черепаха і заєць починають разом і через півгодини заєць зупиняється, щоб відпочити. Скільки часу потрібно черепаха, щоб наздогнати?

Резюме

Ваги, які ми вибираємо при графіку відносин, часто залежать від того, яку інформацію ми хочемо знати. Наприклад, скажімо, дві ємності для води заповнюються з різною постійною швидкістю. Співвідношення між часом у хвилинах\(t\) і об'ємом в\(v\) літрах бака А задається шляхом\(v=2.2t\).

Для танка B відносини є\(v=2.75t\).

Ці рівняння говорять нам про те, що резервуар А заповнюється з постійною швидкістю 2,2 літра в хвилину, а бак В наповнюється з постійною швидкістю 2,75 літра в хвилину.

Якщо ми хочемо використовувати графіки, щоб побачити, в який час два резервуари матимуть 110 літрів води, то використання шкали осі від 0 до 10, як показано тут, не дуже корисно.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Графік, горизонтальна вісь, час у хвилинах, шкала від 0 до 9, по 1с. вертикальній осі, об'єм в літрах, від 0 до 9, по 1'с. лініях, перший рядок, що проходить через початок і 2 кома 5 і 5 десятих. Другий рядок, що проходить через початок і 2 кома 4 і 5 десятих.

Якщо ми використовуємо вертикальну шкалу, яка йде до 150 літрів, трохи перевищує 110, які ми шукаємо, і горизонтальну шкалу, яка йде до 100 хвилин, ми отримаємо набагато корисніший набір осей для відповіді на наше запитання.

Тепер ми бачимо, що два резервуари досягнуть 110 літрів 10 хвилин один від одного - бак B після 40 хвилин наповнення і бак A після 50 хвилин наповнення.

Важливо відзначити, що обидва ці графіки є правильними, але один використовує діапазон значень, який допомагає відповісти на питання. Для того, щоб завжди підібрати корисну шкалу, ми повинні розглянути ситуацію і питання, поставлені з цього приводу.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Графік, горизонтальна вісь, час у хвилинах, шкала від 0 до 90, на 10'с. вертикальна вісь, об'єм в літрах, від 0 до 140, по 10-х. 2 рядки, перша лінія, що проходить через початок і 40 кома 110. Друга лінія проходить через початок і 50 кома 110.

Записи глосарію

Визначення: Константа пропорційності

У пропорційному співвідношенні значення для однієї кількості множаться на одне і те ж число, щоб отримати значення для іншої величини. Це число називається константою пропорційності.

У цьому прикладі константа пропорційності дорівнює 3, тому що\(2\cdot 3=6\),\(3\cdot 3=9\), і\(5\cdot 3=15\). Це означає, що на кожен 1 апельсин у фруктовому салаті припадає 3 яблука.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
кількість апельсинів	кількість яблук
\(2\)	\(6\)
\(3\)	\(9\)
\(5\)	\(15\)

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Черепаха і заєць мають расу. Після того, як заєць біжить 16 миль черепаха тільки пробіг 4 милі.

Співвідношення між\(x\) відстанню черепаха «пробігає» в милі за кожну\(y\) милю, яку пробігає заєць, становить\(y=4x\). Графік цього співвідношення.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

У таблиці наведено пропорційне співвідношення між вагою на весняній шкалі та відстанню, яку пружина розтягнула.

Доповніть таблицю.
Опишіть масштаби, які ви могли б використовувати на\(x\) і\(y\) осях координатної сітки, яка б показувала всі відстані та ваги в таблиці.

Таблиця\(\PageIndex{2}\)
відстань (см)	вага (ньютони)
\(20\)	\(28\)
\(55\)
	\(140\)
\(1\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Знайдіть послідовність обертань, роздумів, перекладів та розширень, що показує, що одна фігура схожа на іншу. Будьте конкретні: вкажіть величину та напрямок перекладу, лінію відбиття, центр і кут повороту, а також центр і масштабний коефіцієнт розширення.

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Полярна координатна площина з центром на A. чотирикутник BCDE і чотирикутник B простий, C простий простий, D простий простий, E простий простий графічний. B при 9 кома пі понад 12. C при 6 кому пі понад 4. D при 3 кома 5 пі понад 12, Е при 6 кома 11 пі понад 6. B простий при 3 коми 17 пі над 12. C просте просте значення 2 кома 5 пі над 4. D простий простий при 1 комі 13 пі над 12. E простий простий на 2 кома 5 пі над 3.

(Від блоку 2.2.1)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Андре сказав: «Я знайшов дві фігури, які є конгруентними, тому вони не можуть бути подібними».

Дієго сказав: «Ні, вони схожі! Коефіцієнт масштабування дорівнює 1».

Чи згодні ви з будь-яким з них? Використовуйте визначення подібності, щоб пояснити свою відповідь.

(Від блоку 2.2.1)