Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.3.2: Написання рівнянь для рядків

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57502

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Давайте вивчимо взаємозв'язок між точками на прямій і нахилом лінії.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Coordinates and Lengths in the Coordinate Plane

    clipboard_ee14a5865599fafba5896780a41c9a098.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Знайдіть кожне з наступного і поясніть свої міркування:

    1. Довжина відрізка\(BE\).
    2. Координати\(E\).

    Вправа\(\PageIndex{2}\): What We Mean by an Equation of a Line

    Лінія\(j\) показана в координатній площині.

    1. Які координати\(B\) і\(D\)?
    2. Чи є точка\((20, 15)\) на лінії\(j\)? Поясніть, як ви знаєте.
    3. Чи є точка\((100, 75)\) на лінії\(j\)? Поясніть, як ви знаєте.
    4. Чи є точка\((90, 68)\) на лінії\(j\)? Поясніть, як ви знаєте.
    5. Припустимо, ви знаєте\(x\) - і\(y\) -координати точки. Напишіть правило, яке дозволило б перевірити, чи знаходиться точка на лінії\(j\).
    clipboard_e4cc9bd83f546dd98c005528a921db5e0.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Writing Relationships from Slope Triangles

    Ось дві діаграми:

    1. Заповніть кожну діаграму так, щоб усі вертикальні та горизонтальні сегменти мали вирази для їх довжини.
    2. Використовуйте те, що ви знаєте про подібні трикутники, щоб знайти рівняння для частки вертикальної та горизонтальної\(\Delta DFE\) довжин сторін на кожній діаграмі.
    clipboard_e5cf60f1c003cd0b77d4248e170d3a53e.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)
    clipboard_e1e870617f2bfc264df096a76351a72a1.png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Ви готові до більшого?

    1. Знайдіть площу затіненої області, підсумовуючи ділянки затінених трикутників.
    2. Знайдіть площу затіненої області, віднімаючи площу незаштрихованої області з великого трикутника.
    3. Що тут відбувається?
    clipboard_e4a951b0b2b647a240193114b14e89475.png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Резюме

    Тут розташовані точки\(A\)\(C\), причому\(E\) на тій же лінії. Трикутники\(ABC\) і\(ADE\) є нахилом трикутники для лінії, тому ми знаємо, що вони схожі трикутники. Давайте використаємо їх схожість, щоб краще зрозуміти взаємозв'язок між\(x\) і\(y\), які складають координати точки\(E\).

    clipboard_ed9e0216aa8a049db17401d34c5c1c9a8.png
    Малюнок\(\PageIndex{6}\): Координатна площина, x, від'ємний від 1 до 6, y негативний від 1 до 8. Рядок через 0 кому 0, точку С в 1 кому 2, і точку Е в х коми y Пунктир з'єднує C з B в 1 кома 0. Інший підключає E до D при x кома 0. Довжина E D дорівнює y Відстань від початку до D дорівнює x.

    Ухил для трикутника\(ABC\) полягає в\(\frac{2}{1}\) тому, що вертикальна сторона має довжину 2, а горизонтальна сторона має довжину 1. Нахил, який ми знаходимо для трикутника,\(ADE\) полягає в\(\frac{y}{x}\) тому, що вертикальна сторона має довжину,\(y\) а горизонтальна сторона має довжину\(x\). Ці два ската повинні бути рівними, оскільки вони з трикутників нахилу для однієї лінії, і так:\(\frac{2}{1}=\frac{y}{x}\).

    Так як\(\frac{2}{1}=2\) це означає,\(y\) що значення в два рази перевищує значення\(x\), або що\(y=2x\). Це рівняння вірно для будь-якої точки\((x,y)\) на лінії!

    Ось два різних трикутника нахилу. Ми можемо використовувати ті самі міркування, щоб описати взаємозв'язок між цим пунктом\(x\) і\(y\) для нього\(E\).

    clipboard_ece888588545731a00a5f941f86d92bf4.png
    Малюнок\(\PageIndex{7}\): Координатна площина, x, від'ємний від 1 до 6, y негативний від 1 до 8. Лінія через точку А, в 0 кома 1, точка С в 1 кома 3, і точка Е в х коми y Пунктир з'єднує C з B в 1 кома 1. Інший підключає E до D в х кома 1. Довжина E D дорівнює y мінус 1. Довжина A, D дорівнює x.

    Ухил для трикутника\(ABC\) полягає в\(\frac{2}{1}\) тому, що вертикальна сторона має довжину 2, а горизонтальна сторона має довжину 1. Для трикутника\(ADE\) горизонтальна сторона має довжину\(x\). Вертикальна сторона має довжину,\(y-1\) оскільки відстань від\((x,y)\) до\(x\) -осі є,\(y\) але вертикальна сторона трикутника зупиняється на 1 одиницю коротше від\(x\) -осі. Таким чином, нахил, який ми знаходимо для трикутника\(ADE\) є\(\frac{y-1}{x}\). Ухили для двох трикутників нахилу рівні, що означає:\(\frac{2}{1}=\frac{y-1}{x}\)

    Оскільки\(y-1\) це двічі\(x\), інший спосіб написати це рівняння є\(y-1=2x\). Це рівняння вірно для будь-якої точки\((x,y)\) на лінії!

    Записи глосарію

    Визначення: Схожі

    Дві фігури схожі, якщо одна може точно поміститися над іншою після жорстких перетворень і розтягувань.

    На цьому малюнку трикутник\(ABC\) схожий на трикутник\(DEF\).

    Якщо\(ABC\) повертати навколо точки,\(B\) а потім розширювати з центральною точкою\(O\), то він буде точно вписуватися\(DEF\). Це означає, що вони схожі.

    clipboard_efee2a9891ee931c63c0efd5493d1589b.png
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Визначення: Нахил

    Нахил лінії - це число, яке ми можемо обчислити, використовуючи будь-які дві точки на лінії. Щоб знайти ухил, розділіть відстань по вертикалі між точками на відстань по горизонталі.

    Ухил цієї лінії 2 ділиться на 3 або\(\frac{2}{3}\).

    clipboard_e8747c70f53ea8255e4f3e02ad73127f9.png
    Малюнок\(\PageIndex{9}\)

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Для кожної пари точок знайдіть нахил лінії, яка проходить через обидві точки. Якщо ви застрягли, спробуйте намітити точки на графічному папері і провести лінію через них лінійкою.

    1. \((1,1)\)і\((7,5)\)
    2. \((1,1)\)і\((5,7)\)
    3. \((2,5)\)і\((-1,2)\)
    4. \((2,5)\)і\((-7,-4)\)

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Лінія\(l\) показана в координатній площині.

    1. Які координати точок\(B\) і\(D\)?
    2. Чи є точка\((16,20)\) на лінії\(l\)? Поясніть, як ви знаєте.
    3. Чи є точка\((20,24)\) на лінії\(l\)? Поясніть, як ви знаєте.
    4. Чи є точка\((80,100)\) на лінії\(l\)? Поясніть, як ви знаєте.
    5. Напишіть правило, яке дозволило б вам перевірити, чи\((x,y)\) є в рядку\(l\).
    clipboard_e539d3e0820c853a0d0b155725c230ac0.png
    Малюнок\(\PageIndex{10}\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Розглянемо графічну лінію.

    clipboard_e75cadd66d528fc12c3a06defad99418b.png
    Малюнок\(\PageIndex{11}\)

    Mai використовує трикутник A і каже, що нахил цієї лінії є\(\frac{6}{4}\). Олена використовує трикутник B і каже «ні», нахил цієї лінії дорівнює 1,5. Чи згодні ви з будь-яким з них? Поясніть.

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Прямокутник має довжину 6 і висоту 4.

    Що з них скаже вам, що\(ABCD\) чотирикутник точно не схожий на цей прямокутник? Виберіть все, що застосовується.

    1. \(AB=BC\)
    2. \(m\angle ABC=105^{\circ}\)
    3. \(AB=8\)
    4. \(BC=8\)
    5. \(BC=2\cdot AB\)
    6. \(2\cdot AB=3\cdot BC\)

    (Від блоку 2.2.1)