2.2.4: Частини довжини сторони в аналогічних трикутниках

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57492

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте знайдемо відсутні довжини сторін в трикутниках.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Two-three-four and Four-five-six

Трикутник\(A\) має довжини сторін 2, 3 і 4. Трикутник\(B\) має довжину сторін 4, 5 та 6. Чи\(A\) схожий трикутник на трикутник\(B\)?

Вправа\(\PageIndex{2}\): Quotients of Sides Within Similar Triangles

\(ABC\)Трикутник схожий на трикутники\(DEF\)\(GHI\), і\(JKL\). Масштабні коефіцієнти для розширень, які показують трикутник\(ABC\) подібний до кожного трикутника, наведені в таблиці.

1. Знайти довжини сторін трикутників\(DEF\)\(GHI\), і\(JKL\). Запишіть їх в таблицю.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
трикутник	масштабний коефіцієнт	довжина короткої сторони	довжина середньої сторони	довжина довгої сторони
\(ABC\)	\(1\)	\(4\)	\(5\)	\(7\)
\(DEF\)	\(2\)
\(GHI\)	\(3\)
\(JKL\)	\(\frac{1}{2}\)

2. Ваш викладач призначить вам одну з трьох стовпців. Для всіх чотирьох трикутників знайдіть частку довжини сторін трикутника, призначених вам, і запишіть його в таблицю. Що ви помічаєте про частки?

Таблиця\(\PageIndex{2}\)
трикутник	(довга сторона)\(\div\) (коротка сторона)	(довга сторона)\(\div\) (середня сторона)	(середня сторона)\(\div\) (коротка сторона)
\(ABC\)	\ (\ div\) (коротка сторона) ">\(\frac{7}{4}\) або\(1.75\)	\ (\ div\) (середня сторона) ">	\ (\ div\) (коротка сторона) ">
\(DEF\)	\ (\ div\) (коротка сторона) ">	\ (\ div\) (середня сторона) ">	\ (\ div\) (коротка сторона) ">
\(GHI\)	\ (\ div\) (коротка сторона) ">	\ (\ div\) (середня сторона) ">	\ (\ div\) (коротка сторона) ">
\(JKL\)	\ (\ div\) (коротка сторона) ">	\ (\ div\) (середня сторона) ">	\ (\ div\) (коротка сторона) ">

3. Порівняйте свої результати з вашим партнером і заповніть таблицю.

Ви готові до більшого?

Трикутник\(ABC\) і\(DEF\) схожі. Поясніть чому\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\).

Вправа\(\PageIndex{3}\): Using Side Quotients to Find Side Lengths of Similar Triangles

Трикутники\(ABC\)\(EFD\), і всі\(GHI\) схожі. Довжини сторін трикутників мають однакові одиниці. Знайдіть невідомі довжини сторін.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Три трикутника. Великі вершини A, B C. Сторони B C і A, C довжина 4. Сторона A, B довжина нижнього регістру c. Вершини великої I H G Сторона I G Довжина нижнього регістру h Сторона I H Довжина дріб 12 більше 5. Сторона H G довжина фракції 6 більше 5. Вершини великі D E F Сторона E F 5, Сторона F D довжина нижнього регістру e, сторона E D довжина нижнього регістру d.

Резюме

Якщо два полігони схожі, то довжини сторін в одному багатокутнику множаться на той самий масштабний коефіцієнт, щоб дати відповідні довжини сторін в іншому багатокутнику.

Для цих трикутників коефіцієнт масштабу дорівнює 2:

Ось таблиця, яка показує співвідношення між короткою і середньою довжиною сторін малого і великого трикутника.

Таблиця\(\PageIndex{3}\)
	маленький трикутник	великий трикутник
середня сторона	\(4\)	\(8\)
коротка сторона	\(3\)	\(6\)
(середня сторона)\(\div\) (коротка сторона)	\(\frac{4}{3}\)	\(\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\)

Довжини середньої сторони і короткої сторони знаходяться в співвідношенні\(4\):\(3\). Це означає, що середня сторона в кожному трикутнику\(\frac{4}{3}\) довга, як коротка сторона. Це вірно для всіх подібних багатокутників; співвідношення між двома сторонами в одному багатокутнику таке ж, як співвідношення відповідних сторін у подібному багатокутнику.

Ми можемо використовувати ці факти для обчислення відсутніх довжин у подібних багатокутниках. Наприклад, трикутники\(A'B'C'\) і\(ABC\) показані тут схожі. Знайдемо довжину відрізка\(B'C'\).

У\(ABC\) трикутнику сторона\(BC\) вдвічі довша за сторону\(AB\), тому це повинно бути вірним для будь-якого трикутника, схожого на трикутник\(ABC\). Оскільки\(A'B'\) довжина 1,2 одиниць і\(2\cdot 1.2 =2.4\) довжина сторони\(B'C'\) становить 2.4 одиниці.

Записи глосарію

Визначення: Схожі

Дві фігури схожі, якщо одна може точно поміститися над іншою після жорстких перетворень і розширень.

На цьому малюнку трикутник\(ABC\) схожий на трикутник\(DEF\).

Якщо\(ABC\) повертати навколо точки,\(B\) а потім розширювати з центральною точкою\(O\), то вона буде точно поміщатися\(DEF\). Це означає, що вони схожі.

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Ці два трикутника схожі. Що таке\(a\) і\(b\)? Примітка: дві фігури не намальовані в масштабі.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Ось трикутник\(ABC\). \(XYZ\)Трикутник схожий на\(ABC\) з масштабним коефіцієнтом\(\frac{1}{4}\).

Намалюйте, як\(XYZ\) може виглядати трикутник.
Як виміри кута трикутника\(XYZ\) порівнюються з трикутником\(ABC\)? Поясніть, як ви знаєте.
Які довжини сторін трикутника\(XYZ\)?
Для трикутника\(XYZ\) обчислити (довга сторона)\(\div\) (середня сторона) і порівняти з трикутником\(ABC\).

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Два показані трикутники схожі. Знайдіть значення\(\frac{d}{c}\).

Вправа\(\PageIndex{7}\)

На діаграмі показано два вкладені трикутники, які мають спільну вершину. Знайдіть центр і масштабний коефіцієнт для розширення, який перемістив би більший трикутник до меншого трикутника.

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Координатна площина, x, від'ємний від 9 до 3, y, негативний від 2 до 7. Рядок через негативну 6 кому 6 і початок. Трикутник, що з'єднує негативний 6 кому 6, до негативного 6 кому 1, до негативного 1 коми 1. Ще один трикутник, що з'єднує негативний 2 кома 2, до негативного 2 кома 1, до негативного 1 кома 1.

(Від блоку 2.1.5)