2.2.3: Подібні трикутники

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57493

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте розглянемо подібні трикутники.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Equivalent Expressions

Створіть три різні вирази, кожне з яких дорівнює 20. Кожен вираз має включати тільки ці три числа: 4, -2 і 10.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Making Pasta Angles and Triangles

Ваш вчитель дасть вам кілька сушених макаронів і набір кутів.

Створіть трикутник за допомогою трьох шматочків макаронів і кута\(A\). Ваш трикутник повинен включати кут, який вам дали, але в іншому випадку ви можете зробити будь-який трикутник, який вам подобається. Приклейте трикутник макаронних виробів до аркуша паперу, щоб він не рухався.
1. Після того, як ви створили свій трикутник, виміряйте довжину кожної сторони лінійкою і запишіть довжину на папері поруч зі стороною. Потім виміряйте кути до найближчих 5 градусів за допомогою транспортира і запишіть ці вимірювання на свій папір.
2. Знайдіть в кімнаті двох інших, які мають однаковий кут\(A\) і порівняйте свої трикутники. Що ж таке? Чим відрізняється? Чи є трикутники конгруентними? Схоже?
3. Як ви вирішили, чи були вони чи не були конгруентними чи подібними?
Тепер використовуйте ще макарони і кути\(A\)\(B\), і\(C\) створіть ще один трикутник. Приклейте цей макаронний трикутник на окремий аркуш паперу.
1. Після того, як ви створили свій трикутник, виміряйте довжину кожної сторони лінійкою і запишіть довжину на папері поруч зі стороною. Потім виміряйте кути до найближчих 5 градусів за допомогою транспортира і запишіть ці вимірювання на свій папір.
2. Знайдіть в кімнаті двох інших, які використовували ваші однакові кути і порівняйте свої трикутники. Що ж таке? Чим відрізняється? Чи є трикутники конгруентними? Схоже?
3. Як ви вирішили, чи були вони чи не були конгруентними чи подібними?
Ось трикутник\(PQR\). Розбийте новий шматок макаронів, відрізняється по довжині ніж відрізок\(PQ\).

Обклейте шматок макаронів так, щоб він лежав зверху лінії\(PQ\) з одним кінцем макаронів на\(P\) (якщо він не поміщається на сторінці, розбийте його далі). Позначте інший кінець шматочка макаронів\(S\).
Стрічку повний шматок макаронних виробів, з одним кінцем на\(S\), роблячи кут, конгруентний до\(\angle PQR\).
Стрічка повний шматок макаронів на верхній частині лінії\(PR\) з одним кінцем макаронів на\(P\). Називайте точку, де зустрічаються два повних шматка макаронів\(T\).
1. Ваш новий трикутник макаронних виробів\(PST\) схожий на\(\Delta PQR\)? Поясніть свої міркування.
2. Якби ваш розбитий шматок макаронів був різної довжини, чи все ще був би трикутник макаронних виробів схожий на\(\Delta PQR\)? Поясніть свої міркування.

Ви готові до більшого?

Чотирикутники\(ABCD\) і\(EFGH\) мають чотири кути вимірювання\(240^{\circ}\),\(40^{\circ}\),\(40^{\circ}\), і\(40^{\circ}\). Чи повинні бути і повинні бути схожими?

Вправа\(\PageIndex{3}\): Similar Figures in a Regular Pentagon

1. Ця діаграма має кілька трикутників, схожих на трикутник\(DJI\).

Три різних масштабних коефіцієнта були використані для створення трикутників, схожих на\(DJI\). На схемі знайдіть хоча б один трикутник кожного розміру, який схожий на\(DJI\).
Поясніть, як ви знаєте, що кожен з цих трьох трикутників схожий на\(DJI\).

2. Знайдіть на схемі трикутник, який не схожий на\(DJI\).

Ви готові до більшого?

З'ясуйте, як намалювати ще кілька ліній на діаграмі п'ятикутника, щоб зробити більше трикутників, схожих на\(DJI\).

Резюме

Раніше ми дізналися, що два полігони схожі, коли існує послідовність перекладів, обертань, відображень та розширень, що приймають один багатокутник до іншого. Коли багатокутники є трикутниками, нам потрібно лише перевірити, що обидва трикутники мають два відповідні кути, щоб показати, що вони схожі - чи можете ви сказати чому?

Ось приклад. Трикутник\(ABC\)\(DEF\) і трикутник мають кут 30 градусів і кут 45 градусів.

Ми можемо\(A\) перевести,\(D\) а потім повернути так, щоб два 30-градусні кути були вирівняні, надаючи таку картину:

Тепер розширення з центром\(D\) і відповідним масштабним коефіцієнтом буде рухатися\(C'\) до\(F\). Це розширення також рухається\(B'\) до\(E\), показуючи, що\(DEF\) трикутники\(ABC\) і схожі.

Записи глосарію

Визначення: Схожі

Дві фігури схожі, якщо одна може точно поміститися над іншою після жорстких перетворень і розширень.

На цьому малюнку трикутник\(ABC\) схожий на трикутник\(DEF\).

Якщо\(ABC\) повертати навколо точки,\(B\) а потім розширювати з центральною точкою\(O\), то він буде точно вписуватися\(DEF\). Це означає, що вони схожі.

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

У кожній парі задані деякі кути двох трикутників в градусах. Використовуйте інформацію, щоб вирішити, чи трикутники схожі чи ні. Поясніть, як ви знаєте.

Трикутник A: 53, 71, ___; Трикутник B: 53, 71, ___
Трикутник С: 90, 37, ___; Трикутник D: 90, 53, ___
Трикутник Е: 63, 45, ___; Трикутник F: 14, 71, ___
Трикутник Г: 121, ___, ___; Трикутник Н: 70, ___, ___

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Намалюйте два рівносторонніх трикутника, які не є конгруентними.
Виміряйте довжини сторін і кути ваших трикутників. Чи схожі два трикутника?
Як ви думаєте, два рівносторонніх трикутника будуть схожі завжди, іноді чи ніколи? Поясніть свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

На малюнку лінія\(BC\) паралельна лінії\(DE\).

Поясніть\(\Delta ABC\), чому схожий на\(\Delta ADE\).

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Чотирикутник\(PQRS\) на схемі - це паралелограм. \(P'Q'R'S'\)Дозволяти зображення\(PQRS\) після застосування розширення по центру в точці O (не показано) з коефіцієнтом масштабування 3.

Що з наступного вірно?

\(P'Q'=PQ\)
\(P'Q'=3PQ\)
\(PQ=3P'Q'\)
Неможливо визначити за наданою інформацією

(Від блоку 2.1.4)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Опишіть послідовність перетворень, для яких чотирикутник P є зображенням чотирикутника Q.

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Два чотирикутника у площині x y. Походження 0. Вертикальна вісь від негативних 5 до 6 на 1с. Горизонтальна вісь від негативних 2 до 12 на 1с. Чотирикутник, позначений P, має точки на 3 кома 3, 6 кома 6, 4 кома 1 і 4 кома 4. Чотирикутник, позначений Q, має точки на 7 кома негативний 4, 12 кома негативний 6, 10 кома негативний 3, 10 кома негативний 4.

(Від одиниці 1.1.6)